十)數(shù)學(xué)分析1考試試題

（十）數(shù)學(xué)分析1考試試題一、敘述題1敘述閉區(qū)間套定理；2用肯定的形式敘述函數(shù)在數(shù)集D上無(wú)上階；3敘述Rolle微分中值定理；二、計(jì)算題1 求極限 ；2 求擺線 ， 在處的二階導(dǎo)數(shù)的值；3 設(shè)，求不定積分 ；4 求不定積分 ；三、討論題1討論函數(shù) 在點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)；2設(shè) ， ， ，討論在上的單調(diào)性的最大值點(diǎn)；四、證明題1用定義證明 ； 2證明：方程，（其中為常數(shù)）在上可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；3若數(shù)列收斂于（有限數(shù)），它的任何子列也收斂于。（十一） 一年級(jí)數(shù)學(xué)分析考試題一（ 滿分 1 0 分，每小題 2 分）判斷題：1 設(shè)數(shù)列遞增且 （有限）. 則有. ( )2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義. 若對(duì),當(dāng)時(shí), 數(shù)列都收斂于同一極限. 則函數(shù)在點(diǎn)連續(xù). ( )3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義. 若存在實(shí)數(shù),使時(shí),則存在且. ( )4 若則有( )5 設(shè) . 則當(dāng)時(shí),有. ( )二（ 滿分 1 5 分，每小題 3 分）填空題:1 .2 函數(shù) 的全部間斷點(diǎn)是 .3. , 已知 , .4. 函數(shù)的既遞減又下凸的區(qū)間是 . 5. .二 （ 滿分 3 6 分，每小題 6 分）計(jì)算題:1 .2 求函數(shù)的極值 .3 .4 . 5 .6 在邊長(zhǎng)為 的正三角形的三個(gè)角上剪去長(zhǎng)為的四邊形(如右上圖),然后折起來(lái)做成底為正三角形的盒子. 求最大體積 .三 （ 滿分 7 分）驗(yàn)證題: 用“”定義驗(yàn)證函數(shù) 在點(diǎn)連續(xù) .四 （ 滿分 3 2 分，每小題 8 分）證明題:1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) , 且 . 試證明 :, 使 .2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上可導(dǎo), 且導(dǎo)函數(shù) 在該區(qū)間上有界 .試證明函數(shù) 在區(qū)間 上一致連續(xù) .3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上二階可導(dǎo),且 . .試證明: , 使 .4 試證明: 對(duì) , 有不等式 . （十二） 一年級(jí)數(shù)學(xué)分析考試題一 判斷題（正確的記（ ），錯(cuò)誤的記（）（共18分，每題3分）：1. 設(shè)在上連續(xù)，與分別是的最大值和最小值，則對(duì)于任何數(shù)，均存在，使得。（ ）2. 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，則。 （ ）3. 設(shè)的極限存在，的極限不存在，則的極限未必不存在。 （ ）4. 如是函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)，則。 （ ）二 證明：歐氏空間的收斂點(diǎn)列必是有界的。（10分）三 證明： 中任意有界的點(diǎn)列中必有收斂的子點(diǎn)列。（10分）四 計(jì)算下列極限：（9分）1 ； 2 ；3 ；五 計(jì)算下列偏導(dǎo)數(shù)：（10分）（1）；（2）；六（10分）計(jì)算下列函數(shù) 的Jacobian ：（1）；（2）；七 （10分）設(shè)隱函數(shù) 由方程定義，求 及 。八（11分）在橢球內(nèi)嵌入有最大體積的長(zhǎng)方體，問長(zhǎng)方體的尺寸如何？九、（10分）求橢球面過(guò)其上的點(diǎn) 處的切平面的方程。十、（10分）設(shè)函數(shù)是定義在平面開區(qū)域內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)，在內(nèi)均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且在內(nèi)任意點(diǎn)處，均有又設(shè)有界閉，試證：在 中滿足方程組的點(diǎn)至多有有限個(gè)。（十三）一年級(jí)數(shù)學(xué)分析考試題一 判斷題（正確的記（ ），錯(cuò)誤的記（）（共18分，每題3分）：1設(shè)在上連續(xù)，與分別是的最大值和最小值，則對(duì)于任何數(shù)，均存在，使得。 （ ）5. 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，則。 （ ）6. 設(shè)的極限存在，的極限不存在，則的極限未必不存在。 （ ）7. 如是函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)，則。 （ ）8. 存在這樣的函數(shù)，它在有限區(qū)間中有無(wú)窮多個(gè)極大點(diǎn)和無(wú)窮多個(gè)極小點(diǎn)。 （ ）9. 對(duì)于函數(shù)，由于不存在，根據(jù)洛必達(dá)法制，當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí)，的極限不存在。 （ ）二 計(jì)算下列極限：（18分） 1 2 ；3 ；4 ；5 ；6 。三 計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（20分） （1）；（2）；（3）；（4）（5）設(shè)二次可導(dǎo)，求。四 計(jì)算不定積分（12分）：（1）；（2）；（3）；（4）。五 （8分）求函數(shù)在處的5次Taylor多項(xiàng)式：六 （8分