初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題選講.doc

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題選講（初三.2）完全平方數(shù)和完全平方式一、內(nèi)容提要一定義1. 如果一個(gè)數(shù)恰好是某個(gè)有理數(shù)的平方，那么這個(gè)數(shù)叫做完全平方數(shù).例如0，1，0.36，121都是完全平方數(shù).在整數(shù)集合里，完全平方數(shù)，都是整數(shù)的平方.2. 如果一個(gè)整式是另一個(gè)整式的平方，那么這個(gè)整式叫做完全平方式. 如果沒(méi)有特別說(shuō)明，完全平方式是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究的.例如：在有理數(shù)范圍m2, (a+b2)2, 4x212x+9, 144都是完全平方式.在實(shí)數(shù)范圍（a+）2, x2+2x+2, 3也都是完全平方式.二. 整數(shù)集合里，完全平方數(shù)的性質(zhì)和判定1. 整數(shù)的平方的末位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位數(shù)字為2，3，7，8的整數(shù)必不是平方數(shù).2. 若n是完全平方數(shù)，且能被質(zhì)數(shù)p整除, 則它也能被p2整除.若整數(shù)m能被q整除，但不能被q2整除, 則m不是完全平方數(shù).例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方數(shù).又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方數(shù).三. 完全平方式的性質(zhì)和判定 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)如果ax2+bx+c (a0)是完全平方式，則b24ac=0且a0；如果 b24ac=0且a0；則ax2+bx+c (a0)是完全平方式. 在有理數(shù)范圍內(nèi)當(dāng)b24ac=0且a是有理數(shù)的平方時(shí)，ax2+bx+c是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方數(shù)的關(guān)系1. 完全平方式（ax+b）2 中當(dāng)a, b都是有理數(shù)時(shí), x取任何有理數(shù)，其值都是完全平方數(shù)；當(dāng)a, b中有一個(gè)無(wú)理數(shù)時(shí)，則x只有一些特殊值能使其值為完全平方數(shù).2. 某些代數(shù)式雖不是完全平方式，但當(dāng)字母取特殊值時(shí)，其值可能是完全平方數(shù). 例如： n2+9, 當(dāng)n=4時(shí)，其值是完全平方數(shù).所以，完全平方式和完全平方數(shù)，既有聯(lián)系又有區(qū)別.五. 完全平方數(shù)與一元二次方程的有理數(shù)根的關(guān)系1. 在整系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a0)中 若b24ac是完全平方數(shù)，則方程有有理數(shù)根； 若方程有有理數(shù)根，則b24ac是完全平方數(shù).2. 在整系數(shù)方程x2+px+q=0中 若p24q是整數(shù)的平方，則方程有兩個(gè)整數(shù)根； 若方程有兩個(gè)整數(shù)根，則p24q是整數(shù)的平方.二、例題例1. 求證：五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù).證明：設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)為m2, m1, m, m+1, m+2. 其平方和為S.那么S（m2）2（m1）2m2（m+1）2（m+2）25（m2+2）.m2的個(gè)位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9m2+2的個(gè)位數(shù)只能是2，3，6，7，8，1m2+2不能被5整除.而5（m2+2）能被5整除，即S能被5整除，但不能被25整除.五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù). 例2 m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式？解：根據(jù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)完全平方式的判定，得 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式=0，即（2m）24(m1)(3m2)=0.解這個(gè)方程， 得 m1=0.5, m2=2.解不等式m10 ， 得m1.即 它們的公共解是m=2.答：當(dāng)m=2時(shí)，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求證： a=b=c.證明：把已知代數(shù)式整理成關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，得原式3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc它是完全平方式， 0. 即4(a+b+c)212(ab+ac+bc)=0. 2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0,(ab)2+(bc)2+(ca)2=0.要使等式成立，必須且只需： 解這個(gè)方程組，得a=b=c.例4. 已知方程x25x+k=0有兩個(gè)整數(shù)解，求k的非負(fù)整數(shù)解.解：根據(jù)整系數(shù)簡(jiǎn)化的一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根時(shí)，是完全平方數(shù).可設(shè)= m2 (m為整數(shù))，即（5）24k=m2 (m為整數(shù))，解得，k=.k是非負(fù)整數(shù)， 由25m20，得，即5m5；由25m2是4的倍數(shù)，得m=1, 3, 5.以 m的公共解1, 3, 5，分別代入k=.求得k= 6, 4, 0.答：當(dāng)k=6, 4, 0時(shí)，方程x25x+k=0有兩個(gè)整數(shù)解例5. 求證：當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，方程4x2+8kx+(k2+1)=0沒(méi)有有理數(shù)根. 證明：（用反證法）設(shè)方程有有理數(shù)根，那么是整數(shù)的平方.（8k）216(k2+1)16（3k21）.設(shè)3k21m2 (m是整數(shù)).由3k2m21，可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性討論3k2m21能否成立.當(dāng)k為偶數(shù)，m為奇數(shù)時(shí)，左邊k2是4的倍數(shù)，3k2也是4的倍數(shù)；右邊m2除以4余1，m21除以4余2.等式不能成立.； 當(dāng)k為奇數(shù)，m為偶數(shù)時(shí)，左邊k2除以4余1，3k2除以4余3右邊m2是4的倍數(shù)，m21除以4余1等式也不能成立.綜上所述，不論k, m取何整數(shù)，3k2m21都不能成立.3k21不是整數(shù)的平方，16（3k21）也不是整數(shù)的平方.當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，方程4x2+8kx+(k2+1)=0沒(méi)有有理數(shù)根三、練習(xí)1. 如果m是整數(shù)，那么m2+1的個(gè)位數(shù)只能是. 分析: m2的個(gè)位數(shù)是0,1,4,5,6,9 m2+1的個(gè)位數(shù)是1,2,5,7,02. 如果n是奇數(shù)，那么n21除以4余數(shù)是，n2+2除以8余數(shù)是，3n2除以4的余數(shù)是.分析：（1） n21=（n+1）(n-1)且n為奇數(shù) n+1與n-1同為偶數(shù)，故被4整除，n21除以4余數(shù)是0 （2）設(shè)n=2k+1(k為正整數(shù))， n2+2=（2k+1）2+2=4k(k+1)+3, 而k(k+1)是偶數(shù)，4k(k+1)是8的倍數(shù)， n2+2除以8余數(shù)是3， （3）設(shè)n=2k+1(k為正整數(shù))，3n2=3（2k+1）2=34k(k+1)+1=12 k(k+1)+3 而k(k+1)是偶數(shù)，12k(k+1)是4的倍數(shù)，3n2除以4的余數(shù)是33. 如果k不是3的倍數(shù)，那么k21 除以3余數(shù)是.分析: k不是3的倍數(shù), k被3除的余數(shù)是1或2，不妨設(shè)k=3m+1或k=3m+2， 當(dāng)k=3m+1時(shí)，k21=（k+1）(k-1)=3m(3m+2)是3的倍數(shù)， 那么k21 除以3余數(shù)是0； 當(dāng)k=3m+2時(shí)，k21=（k+1）(k-1)=(3m+3)(3m+1)是3的倍數(shù)， 那么k21 除以3余數(shù)也是0；綜上所述，k21 除以3余數(shù)是0。4. 一個(gè)整數(shù)其中三個(gè)數(shù)字是1，其余的都是0，問(wèn)這個(gè)數(shù)是平方數(shù)嗎？為什么？ 分析：不是平方數(shù)，原因是能被3整除，卻不能被9整除。5. 一串連續(xù)正整數(shù)的平方12，22，32，1234567892的和的個(gè)位數(shù)是.分析: 因?yàn)槠椒綌?shù)的個(gè)位數(shù)是（14965694+1+0）12345678（14965694+1）即個(gè)位數(shù)為5856. m取什么值時(shí)，代數(shù)式x22m(x4)15是完全平方式？分析：7. m取什么正整數(shù)時(shí)，方程x27x+m=0的兩個(gè)根都是整數(shù)？8. a, b, c滿足什么條件時(shí),代數(shù)式(cb)x2+2(ba)x+ab是一個(gè)完全平方式？9. 判斷下列計(jì)算的結(jié)果，是不是一個(gè)完全平方數(shù)： 四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積； 兩個(gè)奇數(shù)的平方和.10. 一個(gè)四位數(shù)加上38或減去138都是平方