傳染病模型完整版

.,傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型,模型一：最簡單的情況,假設(shè)：,(1)每個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)；,(2)一人得病后，經(jīng)久不愈，人在傳染期不會死亡。,記表示t時刻病人數(shù)，,表示每個病人單位時間內(nèi)傳染人數(shù)，,，即最初有個傳染病人。,則在t到tt時間內(nèi)增加的病人數(shù)為,.,于是得微分方程,其解為,結(jié)果表明：傳染病的傳播是按指數(shù)函數(shù)增加的。,這個結(jié)果與傳染病傳播初期比較吻合。,但由(8-1)的解可以推出，當(dāng)t+時，+，這顯然是不符合實際情況的，問題在于兩條假設(shè)均不合理。,.,模型二：,用表示t時刻傳染病人數(shù)和未被傳染的人數(shù)，；,假設(shè)：,(1)每個病人單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)與這時未被傳染的人數(shù)成正比，即,(2)一人得病后經(jīng)久不愈，人在傳染期不會死亡；,(3)總?cè)藬?shù)為n，即；,由以上假設(shè)得微分方程,.,用分離變量法得其解為,其圖形如圖,模型(8-2)可以用來預(yù)報傳染較快的疾病前期傳染病高峰到來的時間。,由(8-3)式可得,.,其圖形如圖,醫(yī)學(xué)上稱為傳染病曲線（它表示傳染病人增加率與時間的關(guān)系）。,.,得極大值點：,由此可知,1)當(dāng)傳染病強度k或總?cè)藬?shù)n增加時，都將變小，即傳染病高峰來得快，這與實際情況吻合。,2)如果知道了傳染強度k（k由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得出），即可預(yù)報傳染病高峰到來的時間，這對于防治傳染病是有益處的。,.,模型二的缺點是：,當(dāng)t時，由(8-3)式可知n，即最后人人都要生病，這顯然是不符合實際情況。造成的原因是假設(shè)(2)中假設(shè)了人得病后經(jīng)久不愈。,為了與實際問題更加吻合，我們對上面的數(shù)學(xué)模型再進(jìn)一步修改，這就要考慮人得病后有的會死亡，另外不是每個人被傳染后都會傳染別人，因為其中一部分會被隔離。還要考慮人得了傳染病由于醫(yī)治和人的自身抵抗力會痊愈，并非象前面假設(shè)那樣人得病后經(jīng)久不愈。為此作出新的假設(shè)，建立新的模型。,.,模型三：,在此模型中，雖然要考慮比前面兩個模型復(fù)雜得多的因素，但仍要把問題簡化。設(shè)患過傳染病而完全病愈的任何人具有長期的免疫力，并設(shè)傳染病的潛伏期很短，可以忽略不計，即是一個人患了病之后立即成為傳染者。在這種情況下把居民分成三類：,第一類是有能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的，用I(t)表示t時刻第一類人的人數(shù)。,第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的，用S(t)表示t時刻第二類人的人數(shù)。,.,第三類是包括患病死去的人、病愈后具有長期免疫力的人以及在病愈并出現(xiàn)長期免疫力以前被隔離起來的人，用R(t)表示t時刻第三類人的人數(shù)。,假設(shè)疾病傳染服從下列法則：,(1)在所考慮的時期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水平N，即不考慮出生及其它原因引起的死亡以及遷入、遷出情況。,(2)易受傳染者人數(shù)S(t)的變化率正比于第一類人的人數(shù)I(t)與第二類人的人數(shù)S(t)的乘積。,(3)由第一類向第三類轉(zhuǎn)變的速率與第一類人的人數(shù)成正比。,由此得下關(guān)系式,.,其中、為兩比例常數(shù)，為傳染率，為排除率。,由(8-6)的三個方程相加得,又S(t)I(t)R(t)N（常數(shù)）,所以R(t)NS(t)I(t),由此知，只要知道了S(t)和I(t)，即可求出R(t)。,.,由(8-6)中第一、三兩式得,由此推出,所以,當(dāng)tt。時I(t。)I。，S(t。)S。，,.,下面我們討論積分曲線(8-9)的性質(zhì)：,由(8-8)式知,所以當(dāng)S時，I(S)是S的減函數(shù)。,而I(0)，I(S。)I。0，,由連續(xù)函數(shù)的零點定理及單調(diào)性知，,存在唯一使得，且當(dāng)時，I(S)0。,.,當(dāng)tt。時，方程(8-9)的圖形如圖,由此知，當(dāng)t由t。變化到時，點(S(t),I(t)沿曲線(8-9)移動，并沿S減少方向移動，因為S(t)隨時間的增加而單調(diào)減少。因此如果S。小于，則I(t)單調(diào)減少到零，S(t)單調(diào)減少到。所以，如果為數(shù)不多的一群傳染者I。分散在居民S。中，且，則這種疾病會很快被消滅；如果S。，則隨著S(t)減少到，I(t)增加，且當(dāng)S時I(t)達(dá)到最大值；當(dāng)S(t)時，I(t)才開始減少。,.,由上分析可得如下結(jié)論：,只有當(dāng)?shù)鼐用裰械囊资軅魅菊叩娜藬?shù)超過閾值時，傳染病才會蔓延。,用一般的常識來檢驗上面的結(jié)論也是符合的。當(dāng)人口擁擠、密度高，缺乏應(yīng)有的科學(xué)文化知識，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時，傳染病會很快蔓延；反之，人口密度低