2020中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)題17 二次函數(shù)的面積問(wèn)題

專(zhuān)題17二次函數(shù)的面積問(wèn)題【考點(diǎn)1】二次函數(shù)的線段最值問(wèn)題【例1】如圖，拋物線yax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)，D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，DEBC于點(diǎn)E（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求線段DE長(zhǎng)度的最大值【答案】（1）yx2+x+3；（2）最大值是【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得DM，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得DE的長(zhǎng)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案【詳解】解：（1）由題意得，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx2+x+3；（2）過(guò)點(diǎn)D作DMx軸交BC于M點(diǎn)，由勾股定理得，BC5，設(shè)直線BC的解析是為ykx+b，則，解得，直線BC的解析是為yx+3，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，a+3），DM（a2+a+3）（a+3）a2+3a，DMEOCB，DEMBOC，DEMBOC，即，解得，DEDMDEa2+a（a2）2+，當(dāng)a2時(shí)，DE取最大值，最大值是【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式的一般步驟是解題的關(guān)鍵【變式1-1】已知拋物線y=mx2+2mx+m-1和直線y=mx+m-1，且m0（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）試說(shuō)明拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）已知點(diǎn)T（t，0），且-1t1，過(guò)點(diǎn)T作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)P，與直線交于點(diǎn)Q，當(dāng)0m3時(shí)，求線段PQ長(zhǎng)的最大值【答案】（1）（-1，-1）；（2）見(jiàn)解析；（3）PQ的最大值為6.【解析】【分析】（1）化為頂點(diǎn)式即可求頂點(diǎn)坐標(biāo);（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn); （3）由（2）可得：拋物線與直線交于（-1，-1）和（0，m-1）兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，mt2+2mt+m-1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，mt+m-1） 故分兩種情況進(jìn)行討論：如圖1，當(dāng)-1t0時(shí)；如圖2，當(dāng)0t1時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的最大值即可【詳解】解：（1）y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1）（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，mx2+mx=0，mx（x+1）=0，m0，x1=0，x2=-1拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)（3）由（2）可得：拋物線與直線交于（-1，-1）和（0，m-1）兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，mt2+2mt+m-1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，mt+m-1）如圖1，當(dāng)-1t0時(shí)，PQ=m0，當(dāng)時(shí)，PQ有最大值，且最大值為0m3，即PQ的最大值為如圖2，當(dāng)0t1時(shí)，PQ=m0，當(dāng)t=1時(shí)，PQ有最大值，且最大值為2m0m3，02m6，即PQ的最大值為6綜上所述，PQ的最大值為6【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，（1）（2）題相對(duì)簡(jiǎn)單，（3）題要分情況進(jìn)行討論方右解答，因此做此類(lèi)題型，在進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，盡量通過(guò)大致圖象數(shù)型結(jié)合進(jìn)行解答【變式1-2】如圖1，已知拋物線y=x2+mx+m2的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，3）（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)（2）若P是拋物線上且位于直線OB上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求OPB的面積的最大值及比時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將原拋物線沿射線OA方向進(jìn)行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：在拋物線平移的過(guò)程中，線段CD的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）（1，1）；（2）P（32，34）；（3）2.【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交OB與點(diǎn)Q，求出直線BP的解析式，表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值可得P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)平移規(guī)律，可得新拋物線，根據(jù)聯(lián)立拋物線與OA的解析式，可得C、D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得答案【詳解】解：（1）把B（3，3）代入y=x2+mx+m2得：3=32+3m+m2，解得m=2，y=x2+2x=（x+1）2+1，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，1）；（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交OB與點(diǎn)Q.直線OB的解析式為y=x，故設(shè)P（n，n2+2n），Q（n，n），PQ=n2+2n（n）=n2+3n，SOPB=（n2+3n）=（n）+，當(dāng)n=時(shí)，SOPB的最大值為此時(shí)y=n2+2n=，P（，）；（3）直線OA的解析式為y=x，可設(shè)新的拋物線解析式為y=（xa）2+a，聯(lián)立，（xa）2+a=x，x1=a，x2=a1，即C、D兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)的差為1，CD=【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積公式，利用二次函數(shù)求最值，勾股定理二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，難度適中，是常見(jiàn)題型.【考點(diǎn)2】二次函數(shù)的面積定值問(wèn)題【例2】已知二次函數(shù)（1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，則_；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；（3）以?huà)佄锞€的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正三角形（M，N兩點(diǎn)在拋物線上），請(qǐng)問(wèn)：的面積是與m無(wú)關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）4；（2）m2；（3）的面積是與m無(wú)關(guān)的定值，SAMN.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式即可求出m；（2）求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為xm，由拋物線的開(kāi)口向上，在對(duì)稱(chēng)軸的左邊y隨x的增大而減小，可求出m的取值范圍；（3）在拋物線內(nèi)作出正三角形，求出正三角形的邊長(zhǎng)，然后計(jì)算三角形的面積，可得到AMN的面積是與m無(wú)關(guān)的定值【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入可得：，解得：m=4；（2）二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是：xm，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，m2；（3）的面積是與m無(wú)關(guān)的定值；如圖：頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m24m8），AMN是拋物線的內(nèi)接正三角形，MN交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)B，tanAMBtan60，ABBMBN，設(shè)BMBNa，則ABa，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ma，am24m8），點(diǎn)M在拋物線上，am24m8（ma）22m（ma）4m8，整理得：，解得：a或a0（舍去），AMN是邊長(zhǎng)為的正三角形，AB=3，SAMN，與m無(wú)關(guān).【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及特殊角三角函數(shù)的應(yīng)用，其中（3）問(wèn)有一定難度，根據(jù)點(diǎn)M在拋物線上，求出正三角形的邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵【變式2-1】如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），OC=2，OB=3，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以B、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若拋物線上有且僅有三個(gè)點(diǎn)M1、M2、M3使得M1BC、M2BC、M3BC的面積均為定值S，求出定值S及M1、M2、M3這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）y=x2+x+2；(2)見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【解析】【詳解】分析：（1）由OC與OB的長(zhǎng)，確定出B與C的坐標(biāo)，再由A坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定出拋物線解析式即可；（2）分三種情況討論：當(dāng)四邊形CBPD是平行四邊形；當(dāng)四邊形BCPD是平行四邊形；四邊形BDCP是平行四邊形時(shí)，利用平移規(guī)律確定出P坐標(biāo)即可；（3）由B與C坐標(biāo)確定出直線BC解析式，求出與直線BC平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)交點(diǎn)坐標(biāo)，確定出交點(diǎn)與直線BC解析式，進(jìn)而確定出另一條與直線BC平行且與BC距離相等的直線解析式，確定出所求M坐標(biāo)，且求出定值S的值即可詳解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x3），把C（0，2）代入得：2=3a，即a=，則拋物線解析式為y=（x+1）（x3）=x2+x+2；（2）拋物線y=（x+1）（x3）=x2+x+2=（x1）2+，D（1，），當(dāng)四邊形CBPD是平行四邊形時(shí)，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；當(dāng)四邊形CDBP是平行四邊形時(shí)，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，）；當(dāng)四邊形BCPD是平行四邊形時(shí)，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，）；（3）設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，把B（3，0），C（0，2）代入得：，解得：，y=x+2，設(shè)與直線BC平行的解析式為y=x+b，聯(lián)立得：，消去y得：2x26x+3b6=0，當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，=368（3b6）=0，解得：b=，即y=x+，此時(shí)交點(diǎn)M1坐標(biāo)為（，）；可得出兩平行線間的距離為，同理可得另一條與BC平行且平行線間的距離為的直線方程為y=x+，聯(lián)立解得：M2（，），M3（，），此時(shí)S=1點(diǎn)睛：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，利用了分類(lèi)討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵【變式2-2】如圖：已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與交于點(diǎn)C，拋物線對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)D，為軸上一點(diǎn)（1）寫(xiě)出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)（用表示）；（2）若以DE為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與拋物線交于另一點(diǎn)F，求拋物線解析式；P為線段DE上一動(dòng)（不與D、E重合），過(guò)P作作，判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30，與相交于點(diǎn)，連接.點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接.若點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)若的面積等于的面積的，求線段的長(zhǎng)【答案】（1）A(-3m，0)，B(m，0)，C(0，)（2）， ，理由見(jiàn)解析；（3）線段的長(zhǎng)為2或【解析】（1）A（-3m，0），B（m，0），C（0，）（2）DCE為直角三角形OC2=ODOE，m=，DE為直徑，DCE=DFE=90，PQEC，PHDF，PQDC，PHEF，（3）A（，0），B（，0），又OAM=60 ，cos30=，OM=6，M（0，6）又tanABM=，OBM=60 ，AMB=90 ，是線段的中點(diǎn)，OSM=60 ，AOS=30 ，又SOT=90 ，AOT=60 ，直線TK：y=-x；BM：y=x-6，聯(lián)立兩個(gè)方程，解得：K（，-3）設(shè)MN=a，TK=TO+OK=a+2，KTN的高h(yuǎn)=TKsin60=NK=，SKTN=SABM， a=2或a=點(diǎn)睛：本題考查二次函數(shù)綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、解直角三角形等知識(shí)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，屬于中考?jí)狠S題【考點(diǎn)3】二次函數(shù)的面積最值問(wèn)題【例3】已知拋物線（1）求證：拋物線與軸必定有公共點(diǎn)；（2）若P（，y1），Q（2，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)，且y1y2，求的取值范圍；（3）設(shè)拋物線與x軸交于點(diǎn)、，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且，若點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，連接AD交BC于點(diǎn)E，記ACE的面積為S1，DCE的面積為S2，求是否有最值？若有，求出該最值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或，（3）沒(méi)有最小值；有最大值是【解析】分析：（1）本題需先根據(jù)判別式解出無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)都大于零，再判斷出物線與x軸總有交點(diǎn)（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí)，隨的增大而減小，得；當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，隨的增大而增大，故得解.詳解：（1）令 得 無(wú)論取何值， 拋物線與軸必定有公共點(diǎn) （2），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí)，隨的增大而減小，y1y2， 當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，隨的增大而增大，Q（2，y2）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（3，y2）y1y2， 綜上所述：或（3）， 、 ，解得或 、， 直線BC的解析式是設(shè)點(diǎn)A到直線BC的距離是，點(diǎn)D到直線BC的距離是，ACE的面積S1，DCE的面積S2 ， 求的最值轉(zhuǎn)化為求的最值設(shè)過(guò)點(diǎn)D與直線BC平行的直線解析式為當(dāng)點(diǎn)D在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，無(wú)最小值，僅當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，有最大值即方程組有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ， ，此時(shí) 沒(méi)有最小值；有最大值是、 點(diǎn)睛：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，在解題時(shí)要注意找出各點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，再把各點(diǎn)代入解析式是解題的關(guān)鍵【變式3-1】如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn).求點(diǎn)的坐標(biāo)；求拋物線的解析式；如圖，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)和面積的最大值.【答案】；點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，的面積最大，最大面積是.【解析】【分析】利用利用x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)代入一次函數(shù)即可.根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解析式即可.根據(jù)“鉛垂高，水平寬”方法求面積.過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，利用E、M橫坐標(biāo)相等及所在函數(shù)關(guān)系式設(shè)出坐標(biāo)，求出EM的長(zhǎng)，再利用，把EM看作BEM和MEC的底，求出面積寫(xiě)出關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】解：直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)y=0時(shí)，解得x=4C點(diǎn)坐標(biāo)為：直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)x=0時(shí)，解得y=3點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，解得,拋物線的解析式為.如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，.，.即當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，的面積最大，最大面積是.【點(diǎn)睛】此題考查的是一次函數(shù)的與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；用“鉛垂高，水平寬”求面積最值問(wèn)題.【變式3-2】如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn).(1)求這個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)；(2)的最大值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)可得出函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)列出S關(guān)于x的二次函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】解：（1）將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得，解得故拋物線的表達(dá)式為：；（2）連接，設(shè)點(diǎn)，由（1）中表達(dá)式可得點(diǎn)， 則，故有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)表達(dá)式的求法以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，有一定的綜合性.對(duì)于二次函數(shù)中的面積問(wèn)題，常需用到“割補(bǔ)法”.【考點(diǎn)4】二次函數(shù)面積的其它問(wèn)題【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn).（1）求拋物線解析式及點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接，求的面積；（3）若點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，面積為的面積的倍，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1），；（2）；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為， ，見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用兩點(diǎn)是一次函數(shù)上的點(diǎn)求出兩點(diǎn)，再代入二次函數(shù)求解即可.（2）根據(jù)，求出，求出ABC.（3）根據(jù)面積為的面積的倍，求出，得出求出此時(shí)M的坐標(biāo)即可.【詳解】（1）解：直線令，則，解得令，則， 將點(diǎn)，代入中得，解得拋物線的解析式為：； 令，則，解得. （2）解：， （3）面積為的面積的倍，AB=4 ,， 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為符合條件，當(dāng)時(shí)，解的，x1=，x2=，點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-4）， ，.【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.【變式4-1】如圖，拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸交于另一點(diǎn)N，直線ykx4與兩坐標(biāo)軸分別交于A、D兩點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)B(1，m)、C(2，2)1. 求直線與拋物線的解析式2.若拋物線在x軸上方的部分有一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，設(shè)PON，求當(dāng)PON的面積最大時(shí)tan的值3. 若動(dòng)點(diǎn)P保持（2）中的運(yùn)動(dòng)線路，問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使得POA的面積等于PON的面積的815？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1) 所求的拋物線為y=-2x2+5x (2)tan=52 (3) 存在點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（1，3）【解析】【分析】（1）根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)可確定直線AD的解析式，進(jìn)而可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，將B、C、O三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中，即可求得此二次函數(shù)的解析式；（2）此題的關(guān)鍵是求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；PON中，ON的長(zhǎng)為定值，若PON的面積最大，那么P點(diǎn)離ON的距離最遠(yuǎn)，即P點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)（1）所得的拋物線解析式即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的正切值；（3）設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可表示出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)；根據(jù)直線AD和拋物線的解析式可求出A、N的坐標(biāo)；以O(shè)N為底，P點(diǎn)縱坐標(biāo)為高可得到OPN的面積，以O(shè)A為底，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為高可得到OAP的面積，根據(jù)題目給出的POA和PON的面積關(guān)系即可求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】（1）將點(diǎn)C（2，2）代入直線y=kx+4，可得k=-1所以直線的解析式為y=-x+4當(dāng)x=1時(shí)，y=3，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）將B、C、O三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線y=ax2+bx+c，可得a+b+c=34a+2b+c=2c=0解得a=-2b=5c=0，所以所求的拋物線為y=-2x2+5x（2）因?yàn)镺N的長(zhǎng)是一定值，所以當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，PON的面積最大，又該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（54,258)，此時(shí)tan=yx=258:54=52（3）存在；把x=0代入直線y=-x+4得y=4，所以點(diǎn)A（0，4）把y=0代入拋物線y=-2x2+5x得x=0或x=52，所以點(diǎn)N（52，0）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），其中y=-2x2+5x （0x52）則得：SOAP=12|OA|x=2xSONP=12|ON|y=1252（-2x2+5x）=54（-2x2+5x）由SOAP=815SONP，即2x=81554（-2x2+5x）解得x=0（舍去）或x=1， 得x=1，由此得y=3所以得點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1，3）【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形面積的求法等知識(shí)，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法【變式4-2】如圖，拋物線與直線交于、兩點(diǎn)，過(guò)作軸交拋物線于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)求、三點(diǎn)的坐標(biāo)；若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作軸交拋物線于點(diǎn)，連接、，當(dāng)時(shí)，求的值；如圖，連接，及，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，將沿邊翻折得到，求當(dāng)為何值時(shí)，與重疊部分的面積是面積的【答案】（1）點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)；（2）；（3）當(dāng)或時(shí)，與重疊部分的面積是面積的【解析】【分析】（1）列方程組可知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，列方程可求得點(diǎn)C坐標(biāo)（2）如圖1中，設(shè)，則，根據(jù) 列出方程求出點(diǎn)H的橫坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可解決問(wèn)題（3）分兩種情形若翻折后，點(diǎn)G在直線OC下方時(shí)，連接CG如圖2，可證四邊形PFCG是平行四邊形，得，在RtPBO中，根據(jù)，即可解決問(wèn)題若翻折后，點(diǎn)G在直線OC上方時(shí)，連接CG如圖3，可證四邊形PFGC是平行四邊形，得即可解決問(wèn)題【詳解】解：由解得或，點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，軸，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，由，解得或，點(diǎn)坐標(biāo)如圖中，設(shè)，則，由題意，解得或（舍棄），若翻折后，點(diǎn)在直線下方時(shí)，連接如圖，四邊形是平行四邊形，在中，若翻折后，點(diǎn)在直線上方時(shí)，連接如圖，四邊形是平行四邊形，綜上所述:當(dāng)或時(shí)，與重疊部分的面積是面積的【點(diǎn)睛】屬于二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合性比較強(qiáng)，難度較大.一、解答題1如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn).（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖，連接，點(diǎn)在拋物線上，且滿(mǎn)足求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖，點(diǎn)為軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與軸的交點(diǎn)，直線、分別交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)、請(qǐng)問(wèn)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）（2）或（3）為定值【解析】【分析】（1）把點(diǎn)、坐標(biāo)代入拋物線解析式即求得、的值（2）點(diǎn)可以在軸上方或下方，需分類(lèi)討論若點(diǎn)在軸下方，延長(zhǎng)到，使構(gòu)造等腰，作中點(diǎn)，即有，利用的三角函數(shù)值，求、的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)坐標(biāo)若點(diǎn)在軸上方，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)坐標(biāo)（3）設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，用表示直線、的解析式，把分別代入即求得點(diǎn)、的縱坐標(biāo)，再求、的長(zhǎng)，即得到為定值【詳解】（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.，解得：.拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.（2）若點(diǎn)在軸下方，如圖1，延長(zhǎng)到，使，過(guò)點(diǎn)作軸，連接，作中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).當(dāng)，解得：，.，中，為中點(diǎn)，即，中，.，中，.，即，設(shè)直線解析式為，解得：，直線：.，解得：（即點(diǎn)），.若點(diǎn)在軸上方，如圖2，在上截取，則與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線解析式為，解得：，直線：.，解得：（即點(diǎn)），.綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或（3）為定值.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：直線，設(shè)，設(shè)直線解析式為，解得：，直線：，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線解析式為，解得：，直線：，當(dāng)時(shí)，為定值【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程、二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用解題關(guān)鍵在于第（2）題由于不確定點(diǎn)位置需分類(lèi)討論；（2）（3）計(jì)算量較大，應(yīng)認(rèn)真理清線段之間的關(guān)系再進(jìn)行計(jì)算.2如圖，邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A、C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PFBC于點(diǎn)F，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（0，6），（4，0），連接PD，PE，DE（1）求拋物線的解析式；（2）小明探究點(diǎn)P的位置是發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值，進(jìn)而猜想：對(duì)于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差為定值，請(qǐng)你判定該猜想是否正確，并說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出PDE周長(zhǎng)的最大值和最小值【答案】（1）yx2+8；（2）正確，d|PDPF|為定值2；理由見(jiàn)解析；（3）PDE周長(zhǎng)的最大值是2+14，最小值是2+10【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（2）首先表示出P，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間距離公式得出PD，PF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出即可；（3）過(guò)E作EFx軸，交拋物線于點(diǎn)P，求得CPDEEDPEPDEDPEPF2ED2（PEPF），當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，PEPF最?。划?dāng)P與A重合時(shí)，PEPF最大；即可解答【詳解】（1）邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C（0，8），A（8，0），設(shè)拋物線解析式為：yax2+c，則，解得：拋物線解析式為yx2+8（2）設(shè)P（x，x2+8），則F（x，8），則PF8（x2+8）x2PD2x2+6（x2+8）2x4+x2+4（x2+2）2PDx2+2，d|PDPF|x2+2x2|2d|PDPF|為定值2；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EFx軸，交拋物線于點(diǎn)P，由d|PDPF|為定值2，得CPDEED+PE+PDED+PE+PF+2ED+2+（PE+PF），又D（0，6），E（4，0）DECPDE2+2+（PE+PF），當(dāng)PE和PF在同一直線時(shí)PE+PF最小，得CPDE最小值2+2+82 +10設(shè)P為拋物線AC上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過(guò)P作PMx軸，交AB于點(diǎn)M，連接ME，如圖2由于E是AO的中點(diǎn)，易證得MEPE（當(dāng)點(diǎn)P接近點(diǎn)A時(shí)，在PME中，顯然MPE是鈍角，故MEPE，與A重合時(shí)，等號(hào)成立），而MEAE+AM，所以PEAE+AM所以當(dāng)P與A重合時(shí)，PE+PF最大，AE844，PD10得CPDE最大值2+4+102+14綜上所述，PDE周長(zhǎng)的最大值是2+14，最小值是2+10【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及兩點(diǎn)距離公式以及配方法求二次函數(shù)最值等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出符合題意的答案是解題關(guān)鍵3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=16 cm，OC=8cm，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、C同時(shí)出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）用含t的式子表示OPQ的面積S；（2）判斷四邊形OPBQ的面積是否是一個(gè)定值，如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)OPQABP時(shí)，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)B、P兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；（4）在（3）的條件下，過(guò)線段BP上一動(dòng)點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于N，求線段MN的最大值【答案】（1）；（2）是；（3）；（4）9【解析】試題分析：（1）根據(jù)速度與時(shí)間的關(guān)系分別表示出CQ、OP、OQ的長(zhǎng)度，然后利用三角形的面積公式列列式整理即可得解；（2）用矩形OABC的面積減去ABP與BCQ的面積，根據(jù)面積公式分別列式進(jìn)行整理即可得解；（3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，然后代入數(shù)據(jù)求解即可得到t值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）先求出直線BP的解析式，然后根據(jù)直線解析式與拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離表示出MN的長(zhǎng)度，根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答（1）CQ=t，OP=2t，CO=8，OQ=8-t，=128-64+8t-8t=64，四邊形OPBQ的面積為一個(gè)定值，且等于64；（3）當(dāng)OPQABP時(shí)，./解得：t1=2，t2=8（舍去），此時(shí)P（4，0），B（16，8），拋物線解析式是；（4）設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b直線BP的解析式是M在BP上運(yùn)動(dòng)，4m16，當(dāng)時(shí)，MN有最大值是9考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般作為壓軸題，題目比較典型4如圖1所示，拋物線交x軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交y軸于點(diǎn) 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；如圖2所示，若點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；如圖3所示，設(shè)點(diǎn)N是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，作軸，交拋物線于點(diǎn)P，求線段PN長(zhǎng)度的最大值【答案】（1）；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為或或或； 線段PN長(zhǎng)度最大值為4【解析】【分析】（1）把函數(shù)設(shè)為交點(diǎn)式，代入C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出a的值即可；（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x2-3x+4），根據(jù)SAOM=3SBOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+4，再設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+4），則P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x2-3x+4），然后用含x的代數(shù)式表示PN，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段PN長(zhǎng)度的最大值【詳解】解：（1）把函數(shù)設(shè)為交點(diǎn)式，由，得，把代入，得，故拋物線的解析式為；（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為，整理得或，解得或，則符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或或或；（3）設(shè)直線AC的解析式為，將，代入，解得，即直線AC的解析式為，設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為，則P點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，即當(dāng)時(shí)，y有最大值4，故線段PN長(zhǎng)度最大值為4【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，面積問(wèn)題以及線段最值問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0）（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱(chēng)軸；（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使PAB的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）該拋物線有一點(diǎn)D（x，y），使得SABCSDBC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)【答案】（1）y，x3；（2）P（3，）；（3）D的坐標(biāo)為（6，4）【解析】【分析】（1）因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，0），C（5，0），可以假設(shè)拋物解析式為y=a（x-1）（x-5），把A（0，4）代入即可解決問(wèn)題，對(duì)稱(chēng)軸根據(jù)圖象即可解決（2）連接AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)PAB周長(zhǎng)最小求出直線AC的解析式即可解決問(wèn)題；（3）根據(jù)面積相等且底邊相等的三角形的高也應(yīng)該相等得出D的縱坐標(biāo)為4，代入拋物線的解析式即可求得【詳解】（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，0），C（5，0），可以假設(shè)拋物解析式為ya（x1）（x5），把A（0，4）代入得45a，a，拋物線解析式為y（x1）（x5）x2x+4拋物線對(duì)稱(chēng)軸x3（2）連接AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)PAB周長(zhǎng)最小設(shè)直線AC的解析式為ykx+b，A（0，4），C（5，0），解得，直線AC解析式為yx+4，把x3代入得，y，交點(diǎn)P為（3，）；（3）根據(jù)題意得D的縱坐標(biāo)為4，把y4代入yx2x+4得，x2x+44，解得x0或6，把y4代入yx2x+4得，x26x+100，b24ac3641100，無(wú)解，(0,4)為A點(diǎn)(舍)，D的坐標(biāo)為（6，4）【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、兩點(diǎn)之間線段最短、一次函數(shù)、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題6如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)（1，0）、（3，0），與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線與拋物線及線段分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在軸正半軸上，=2，連接、（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)的直線將（2）中的平行四邊形分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式（不必說(shuō)明平分平行四邊形面積的理由）【答案】（1）拋物線的解析式為：；(2) 點(diǎn)坐標(biāo)為或；(3) 當(dāng)時(shí)，所求直線的解析式為：；當(dāng)時(shí)，所求直線的解析式為：.【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線函數(shù)中，可求出未知量，.則可求出該拋物線解析式；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可知，用含未知量的代數(shù)式表示的長(zhǎng)度。則可得點(diǎn)坐標(biāo) ；（3）平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)（或?qū)蔷€的中點(diǎn)），過(guò)對(duì)稱(chēng)中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過(guò)點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)中心的直線平分的面積求得此直線，首先要求得對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo).則兩點(diǎn)坐標(biāo)可確定該直線.試題解析：（1）點(diǎn)、在拋物線上，解得，拋物線的解析式為：（2）在拋物線解析式中，令，得，設(shè)直線BC的解析式為，將，坐標(biāo)代入得：，解得，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，四邊形是平行四邊形，即，解得或，點(diǎn)坐標(biāo)為或（3）平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)（或?qū)蔷€的中點(diǎn)），過(guò)對(duì)稱(chēng)中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過(guò)點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)中心的直線平分的面積當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，又設(shè)對(duì)角線的中點(diǎn)為，則設(shè)直線的解析式為，將，坐標(biāo)代入得：，解得， ，所求直線的解析式為：；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，又，設(shè)對(duì)角線的中點(diǎn)為，則設(shè)直線的解析式為，將，坐標(biāo)代入得：，解得，所求直線的解析式為:綜上所述，所求直線的解析式為：或【考點(diǎn)】1.一次函數(shù)解析式的解法；2.二次函數(shù)解析式的解法.7平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(0，3)、(，0)，將此平行四邊形繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到平行四邊形(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)C，A，求此拋物線的解析式；(2)求平行四邊形ABOC和平行四邊形重疊部分的周長(zhǎng)；(3)點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，間：點(diǎn)M在何處時(shí)的面積最大?最大面積是多少?并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)【答案】解：(1)由ABOC旋轉(zhuǎn)得到，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)所以?huà)佄锞€過(guò)點(diǎn)C(-1，0)，A(0，3)，(3，0)設(shè)拋物線的解析式為，可得解得過(guò)點(diǎn)C，A，的拋物線的解析式為(2)因?yàn)锳BCO，所以O(shè)AB=AOC=90,又.,又,又ABO的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為（3）連接OM，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)M在拋物線上，=因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，AMA的面積有最大值所以當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為()時(shí)，AMA的面積有最大值，且最大值為【解析】（1）由圖形翻折性質(zhì)可知點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，把有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，求得待定系數(shù)，即可知拋物線解析式；（2）相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比；（3）（3）求面積最大值，可把面積化為二次函數(shù)形式，然后求最大值8如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、.（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8，求四邊形的面積（3）定點(diǎn)在軸上，若將拋物線的圖象向左平移2各單位，再向上平移3個(gè)單位得到一條新的拋物線，點(diǎn)在新的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間距離的最小值（用含的代數(shù)式表示）【答案】（1），;（2）36;（3）【解析】【分析】（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y=（x+1）（x-5），即可求解；（2）S四邊形AMBC=AB（yC-yD），即可求解；（3）拋物線的表達(dá)式為：y=x2，即可求解【詳解】（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，-3）；（2）當(dāng)x=8時(shí)，y=（x+1）（x-5）=9，即點(diǎn)C（8，9），S四邊形AMBC=AB（yC-yD）=6（9+3）=36；（3）y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=（x-2）2-3，拋物線的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到一條新的拋物線，則新拋物線表達(dá)式為：y=x2，則定點(diǎn)D與動(dòng)點(diǎn)P之間距離PD=，0，PD有最小值，當(dāng)x2=3m-時(shí)，PD最小值d=【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到圖形平移、面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，難度不大9如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)在拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖，設(shè)點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，作軸，交拋物線于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值，并求出面積的最大值.【答案】（1）；（2）符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或；（3）面積的最大值為.【解析】【分析】（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過(guò)解方程組求得系數(shù)的值；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x2-2x+3），根據(jù)SAOP=4SBOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3，再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x2-2x+3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長(zhǎng)度的最大值,再根據(jù)求得最大面積【詳解】（1）把，代入，得，解得.故該拋物線的解析式為：. （2）由（1）知，該拋物線的解析式為，則易得.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x2-2x+3），.整理，得或，解得或.則符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或； （3）設(shè)直線的解析式為，將，代入，得， 解得.即直線的解析式為.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，有最大值. 此時(shí)，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長(zhǎng)度問(wèn)題此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想10拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0）、B（4,0），與y軸交于點(diǎn)C（0,4）.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P為直線BC上方拋物線的一點(diǎn)，分別連接PB、PC，若直線BC恰好平分四邊形COBP的面積，求P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，是否在該拋物線上存在一點(diǎn)Q,該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)N，使得以A、P、Q、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（2,6）；（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，-)或（，）.【解析】分析：（1）把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx+c中，求出a、b、c的值即可；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x2+3x+4），根據(jù)四邊形COBP的面積=SCOP+ SBOP以及四邊形COBP的面積=2SCOB求解即可；(3)分AQ和AN分別為對(duì)角線時(shí)進(jìn)行討論可得解.詳解：（1）把A（-1，0）、B（4，0）、C（0，4）三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx+c得， ,解得： 故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+3x+4；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x2+3x+4），如圖，四邊形COBP的面積=SCOP+ SBOP=-2x2+8x+8直線BC平分四邊形COBP的面積四邊形COBP的面積=2SCOB 即：-2x2+8x+8= 解得x=2 將x=2代入拋物線表達(dá)式得y=6故點(diǎn)P坐標(biāo)為（2,6）(3)存在當(dāng)AQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故Q（）當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故Q（）綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（)或（）點(diǎn)睛：本題綜合考查了二次函數(shù)和平行四邊形存在性的判定等相關(guān)知識(shí)，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.11如圖，頂點(diǎn)為的拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于另一點(diǎn)，作軸，垂足為點(diǎn).雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，連接，.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)，分別是軸，軸上的兩點(diǎn)，當(dāng)以，為頂點(diǎn)的四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)；【答案】(1)；(2)；【解析】【分析】（1）先求D的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)解析式解析式求解；（2）分別作點(diǎn)，關(guān)于軸，軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸，軸于點(diǎn)，.即，F(xiàn),N，在同同一直線上時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，用待定系數(shù)法求直線的表達(dá)式，再求N,F的坐標(biāo)；【詳解】解：(1)由題意，得點(diǎn)的坐標(biāo)，.，.點(diǎn)的坐標(biāo).將點(diǎn)，分別代人拋物線，得解得拋物線的表達(dá)式為.(2)分別作點(diǎn)，關(guān)于軸，軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸，軸于點(diǎn)，.由拋物線的表達(dá)式可知，頂點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)直線為，點(diǎn)的坐標(biāo)，解得直線的表達(dá)式為.令，則，解得，點(diǎn)的坐標(biāo).令，則，點(diǎn)的坐標(biāo).【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合運(yùn)用.數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題是關(guān)鍵.12如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，其對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)連接，求的周長(zhǎng)；(3)若是拋物線位于直線的下方且在其對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）；（3）【解析】【分析】（1）將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出.（2）首先求出D點(diǎn)、A點(diǎn)、B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線DB的解析式，再利用勾股定理得出BM的長(zhǎng)，即可得出ABM的周長(zhǎng)；（3）首先表示出P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出S四邊形DPHMSDPMSPMH，利用二次函數(shù)最值求出即可【詳解】將，點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得，解