數(shù)學(xué)建模-傳染病模型ppt課件

傳染病模型,傳染病是人類(lèi)的大敵，通過(guò)疾病傳播過(guò)程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點(diǎn)來(lái)看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。,醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)民族或地區(qū)，當(dāng)某種傳染病流傳時(shí)，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個(gè)常數(shù)。即既非所有人都會(huì)得病也非毫無(wú)規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會(huì)相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來(lái)加以證明。,問(wèn)題的提出：,設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時(shí)刻共有i人得病，t時(shí)刻已感染（infective）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位時(shí)間內(nèi)將疾病傳播給k個(gè)人（k稱(chēng)為該疾病的傳染強(qiáng)度），且設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會(huì)康復(fù),模型1,此模型即Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長(zhǎng)情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價(jià)值，但隨著時(shí)間的推移，將越來(lái)越偏離實(shí)際情況。,已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對(duì)每一類(lèi)中的個(gè)體則不加任何區(qū)分，來(lái)建立兩房室系統(tǒng)。,模型2,記t時(shí)刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)（susceptible）分別為i(t)與s(t)，初始時(shí)刻的病人數(shù)為i。根據(jù)病人不死也不會(huì)康復(fù)的假設(shè)及（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）統(tǒng)計(jì)籌算律，,其中：,統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，(3.17)預(yù)報(bào)結(jié)果比(3.15)更接近實(shí)際情況。醫(yī)學(xué)上稱(chēng)曲線(xiàn)為傳染病曲線(xiàn)，并稱(chēng)最大值時(shí)刻t1為此傳染病的流行高峰。,模型2仍有不足之處，它無(wú)法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當(dāng)時(shí)間趨與無(wú)窮時(shí)，模型預(yù)測(cè)最終所有人都得病，與實(shí)際情況不符。,為了使模型更精確，有必要再將人群細(xì)分，建立多房室系統(tǒng),（3.18）,求解過(guò)程如下：,對(duì)（3）式求導(dǎo)，由（1）、（2）得：,解得：,將人群劃分為三類(lèi)（見(jiàn)右圖）：易感染者、已感染者和已恢復(fù)者（recovered）。分別記t時(shí)刻的三類(lèi)人數(shù)為s(t)、i(t)和r(t)，則可建立下面的三房室模型：,模型3,由(1)式可得：,從而解得：,為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（3.18）中的第（1）式改寫(xiě)成：,其中通常是一個(gè)與疾病種類(lèi)有關(guān)的較大的常數(shù)。,下面對(duì)進(jìn)行討論，請(qǐng)參見(jiàn)右圖,如果，則開(kāi)始時(shí)，i(t)單增。但在i(t)增加的同時(shí)，伴隨地有s(t)單減。當(dāng)s(t)減少到小于等于時(shí)，i(t)開(kāi)始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。,鑒于在本模型中的作用，被醫(yī)生們稱(chēng)為此疾病在該地區(qū)的閥值。的引入解釋了為什么此疾病沒(méi)有波及到該地區(qū)的所有人。,圖3-14,綜上所述，模型3指出了傳染病的以下特征：,（1）當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病并不一定流傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過(guò)閥值時(shí)，疾病才會(huì)流傳起來(lái)。,（2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因?yàn)槿鄙賯鞑フ卟磐Ｖ箓鞑サ?，否則將導(dǎo)致所有人得病。,（3）種群不可能因?yàn)槟撤N傳染病而絕滅。,模型檢驗(yàn)：,醫(yī)療機(jī)構(gòu)一般依據(jù)r(t)來(lái)統(tǒng)計(jì)疾病的波及人數(shù)，從廣義上理解，r(t)為t時(shí)刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復(fù)還是死亡對(duì)模型并無(wú)影響。,及：,注意到：,通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會(huì)太大，故一般是小量。利用泰勒公式展開(kāi)取前三項(xiàng)，有：,代入（3.20）得近似方程：,積分得：,其中：,這里雙曲正切函數(shù)：,而：,圖3-14（a）給出了（3.21）式曲線(xiàn)的圖形，可用醫(yī)療單位每天實(shí)際登錄數(shù)進(jìn)行比較擬合得最優(yōu)