中考復(fù)習(xí)直角三角形和勾股定理

第24課時(shí)直角三角形和勾股定理,12015淮安下列四組線段中，能組成直角三角形的是()Aa1，b2，c3Ba2，b3，c4Ca2，b4，c5Da3，b4，c52在RtABC中，C90，B30，斜邊AB的長(zhǎng)為2cm，則AC長(zhǎng)為(),小題熱身,D,C,32014昆明如圖241，在RtABC中，ACB90，AB10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則CD_cm,5,圖241,42015永康模擬如圖242為一圓柱體工藝品，其底面周長(zhǎng)為60cm，高為25cm，從點(diǎn)A出發(fā)繞該工藝品側(cè)面一周鑲嵌一根裝飾線到點(diǎn)B，則該裝飾線最短長(zhǎng)為_(kāi)cm.,圖242,65,一、必知3知識(shí)點(diǎn)1直角三角形定義：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形直角三角形性質(zhì)：(1)直角三角形的兩個(gè)銳角_；(2)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的_；(3)在直角三角形中，30的角所對(duì)的邊等于斜邊的_直角三角形判定：有兩個(gè)角互余的三角形是_三角形,考點(diǎn)管理,互余,一半,一半,直角,2勾股定理勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2b2_.,c2,【智慧錦囊】勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的兩條邊，求第三邊；(2)已知直角三角形的一邊，確定另外兩邊的關(guān)系；(3)證明帶有平方關(guān)系的問(wèn)題；(4)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中應(yīng)用勾股定理的問(wèn)題,3勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是_三角形勾股數(shù)：能構(gòu)成直角三角形的三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù),直角,【智慧錦囊】勾股定理逆定理的應(yīng)用：(1)判斷三角形的形狀；(2)證明兩條線段垂直；(3)實(shí)際應(yīng)用,二、必會(huì)2方法1面積法用面積法證明是常用的技巧之一，勾股定理的證明通常用面積法即利用某個(gè)圖形的多種面積求法或面積之間的和差關(guān)系列出等式，從而得到證明的結(jié)論2數(shù)形結(jié)合思想在一些實(shí)際問(wèn)題中，如解決立體圖形側(cè)面兩點(diǎn)的距離問(wèn)題，折疊問(wèn)題，航海問(wèn)題，梯子下滑問(wèn)題等，常直接或間接運(yùn)用勾股定理及其逆定理，在解決這些問(wèn)題時(shí)，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，是中考的熱點(diǎn)考題,三、必明3易錯(cuò)點(diǎn)1在利用勾股定理時(shí)，確定所給的邊是直角邊還是斜邊，如果題中未說(shuō)明，需要分類(lèi)討論2在已知三角形三邊的前提下，判斷這個(gè)三角形是否為直角三角形，首先要確定三條邊中的最大邊，再根據(jù)勾股定理的逆定理來(lái)判定解題時(shí)，往往受思維定式的影響，誤認(rèn)為如果是直角三角形，則c是斜邊，從而造成誤解3直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，這個(gè)性質(zhì)定理常用于證明一條線段是另一條線段的一半的數(shù)量關(guān)系注意直角三角形這一前提條件,類(lèi)型之一直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用2015黃岡如圖243，在ABC中，C90，B30，邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，CD3，則BC的長(zhǎng)為(),圖243,C,【解析】線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等，ADBD，可得DAE30，易得ADC60，CAD30，則AD為BAC的角平分線，由角平分線的性質(zhì)得DECD3，再根據(jù)直角三角形30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得BD2DE6.所以BC9.,2015湖北如圖244，在ABC中，B30，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，垂足為D，CE平分ACB.若BE2，則AE的長(zhǎng)為()【解析】在ABC中，B30，BC的垂直平分線交AB于E，BE2，BECE2，BDCE30，CE平分ACB，,圖244,B,ACEDCE30，ACB2DCE60，A180BACB90.在RtCAE中，,類(lèi)型之二勾股定理的應(yīng)用2015常州如圖245是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標(biāo)系，公園的入口位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，古塔位于點(diǎn)A(400，300)，從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m是盆景園B，從盆景園B向左轉(zhuǎn)90后直行400m到達(dá)梅花閣C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是_,(400，800),圖245,【解析】根據(jù)題意結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出AODACB(SAS)，進(jìn)而得出C，A，D也在一條直線上，求出CD的長(zhǎng)即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)如答圖，連結(jié)AC，由題意可得AB300m，BC400m，在AOD和ACB中，,例2答圖,AODACB(SAS)，CABOAD，B，O在一條直線上，C，A，D也在一條直線上，ACAO500m，則CDACAD800m，C點(diǎn)坐標(biāo)為(400，800),2014東營(yíng)如圖246，有兩棵樹(shù)，一棵高12m，另一棵高6m，兩樹(shù)相距8m一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行_m.【解析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，小鳥(niǎo)沿著兩棵樹(shù)的樹(shù)梢進(jìn)行直線飛行，飛行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出如答圖，大樹(shù)高為AB12m，小樹(shù)高為CD6m，過(guò)C點(diǎn)作CEAB于E，則四邊形EBDC是矩形，連結(jié)AC，,10,圖246,EB6m，EC8m，AEABEB6(m)，故小鳥(niǎo)至少飛行10m.,變式跟進(jìn)答圖,類(lèi)型之三勾股定理與拼圖2015株洲如圖247是“趙爽弦圖”，ABH，BCG，CDF和DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形如果AB10，EF2，那么AH等于_.【解析】設(shè)DE為a，由四個(gè)直角三角形全等可得DFDE2AE，AD2AE2DE2.a2(a2)2100a6，a8(舍去)，AH6.,圖247,6,1如圖248是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為2，5，1，2，則最大的正方形E的面積是_.【解析】根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A，B的面積和為S1，C，D的面積和為S2，S1S2S3，即S3251210.,圖248,10,2如圖249，四邊形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，邊長(zhǎng)分別為a，b，c，A，B，N，E，F(xiàn)五點(diǎn)在同一條直線上，則c_(用含有a，b的代數(shù)式表示),圖249,32015煙臺(tái)如圖2410，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2015的值為(),圖2410,C,【解析】根據(jù)題意，第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2；,【點(diǎn)悟】勾股定理既反映了直角三角形三邊關(guān)系，同時(shí)也反映了以直角三角形三邊為正方形的面積關(guān)系，是勾股定理另一種表現(xiàn)形式,類(lèi)型之四平面展開(kāi)最短線段問(wèn)題2015資陽(yáng)如圖2411，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是(),A,圖2411,【解析】如答圖，將容器側(cè)面展開(kāi)，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知AB的長(zhǎng)度即最短路徑如答圖，高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對(duì)的點(diǎn)A處，AD5cm，BD123AE12cm，將容器側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A，連結(jié)AB，則AB即為最短距離，,例4答圖,12015杭州模擬如圖2412是一塊長(zhǎng)、寬、高分別是6cm，4cm和3cm的長(zhǎng)方體木塊一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和A點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是(),圖2412,C,【解析】如答圖，AB就是螞蟻爬的最短路線但有三種情況：當(dāng)AD3，DB4610，,變式跟進(jìn)1答圖,22014濰坊我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？”題意是：如圖2413所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長(zhǎng)為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是_尺,25,圖2413,【解析】如答圖，一條直角邊(即枯木的高)長(zhǎng)20尺，另一條直角邊長(zhǎng)5315(尺)，故答案為25.【點(diǎn)悟】在求幾何體表面上兩點(diǎn)之間的最短距離時(shí)，可以通過(guò)把立體圖形展開(kāi)成平面圖形，利用勾股定理求出幾何體表面上兩點(diǎn)之間的距離,變式跟進(jìn)2答圖,類(lèi)型之五勾股定理中的逆定理如圖2414，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)AE，BE，CE，將ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到CBE的位置若AE1，BE2，CE3，則BEC_.【解析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出EBE90，BEBE2，AEEC1，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理求出EEC是直角三角形，進(jìn)而得出答案,135,圖2414,如答圖，連結(jié)EE，將ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到CBE的位置，AE1，BE2，CE3，EBE90，BEBE2，AEEC1，EE2EC2819，EC29，EE2EC2EC2，EEC是直角三角形，EEC90，BEC135.,例5答圖,如圖2415，已知AB4，BC3，AD12，DC13，B90，則四邊形ABCD的面積為_(kāi).【解析】連結(jié)AC，B90，AC2AB2BC216925，AD2144，DC21