投資風(fēng)險(xiǎn)和收益的建模

投資風(fēng)險(xiǎn)和收益摘要：對市場上的多種風(fēng)險(xiǎn)投資和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（存銀行）進(jìn)行組合投資策略的的設(shè)計(jì)需要考慮連個(gè)目標(biāo)，總體收益盡可能大和總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，然而，這兩目標(biāo)并不是相輔相成的，在一定意義上是對立的。模型一應(yīng)用多目標(biāo)決策方法建立模型，以投資效益沒目標(biāo)，對投資問題建立個(gè)一個(gè)優(yōu)化模型，不同的投資方式具有不同的風(fēng)險(xiǎn)和效益，該模型根據(jù)優(yōu)化模型的原理，提出了兩個(gè)準(zhǔn)則，并從眾多的投資方案中選出若干個(gè)，使在投資額一定的條件下，經(jīng)濟(jì)效益盡可能大，風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。在實(shí)際投資中，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不一樣，若給定風(fēng)險(xiǎn)一個(gè)界限a，使最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)qixi/Ma，可找到相應(yīng)的投資方案. 這樣把多目標(biāo)規(guī)劃變成一個(gè)目標(biāo)的線性規(guī)劃模型二若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平k以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合. 固定盈利水平，極小化風(fēng)險(xiǎn)模型三給出了組合投資方案設(shè)計(jì)的一個(gè)線性規(guī)劃模型，主要思想是通過線性加權(quán)綜合兩個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)：假設(shè)在投資規(guī)模相當(dāng)大的基礎(chǔ)上，將交易費(fèi)函數(shù)近似線性化，通過決策變量化解風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的非線性?！娟P(guān)鍵字】：多目標(biāo)規(guī)劃模型 有效投資方案 賦權(quán)一 問題的提出投資的效益和風(fēng)險(xiǎn)(1998年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題)市場上有n種資產(chǎn)（如股票、債券、）Si ( i=1,n) 供投資者選擇，某公司有數(shù)額為M的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評估，估算出在這一時(shí)期內(nèi)購買Si的平均收益率為并預(yù)測出購買Si的風(fēng)險(xiǎn)損失率為。考慮到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。購買Si要付交易費(fèi)，費(fèi)率為，并且當(dāng)購買額不超過給定值時(shí)，交易費(fèi)按購買計(jì)算。另外，假定同期銀行存款利率是, 且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。（=5%）已知n = 4時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：Si(%)(%)(%)(元)S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金M，有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。二 模型的假設(shè)與符號說明2.1模型的假設(shè)：（1）在短時(shí)期內(nèi)所給出的平均收益率,損失率和交易的費(fèi)率不變。（2）在短時(shí)期內(nèi)所購買的各種資產(chǎn)（如股票，證券等）不進(jìn)行買賣交易。即在買入后就不再賣出。（3）每種投資是否收益是相互獨(dú)立的。（4）在投資的過程中，無論盈利與否必須先付交易費(fèi)。2.2符號說明：參數(shù)范圍說明Sii=1,2n欲購買的第i種資產(chǎn)的種類M相當(dāng)大公司現(xiàn)有的投資總額xii=1,2n公司購買Si的金額rii=1,2n公司購買Si的平均收益率qii=1,2n公司購買Si的平均損失率pii=1,2n公司購買Si超過ui時(shí)所付的交易費(fèi)uii=1,2nxiui 交易費(fèi) = piui xiui而題目所給定的定值ui(單位:元)相對總投資M很小, piui更小,可以忽略不計(jì),這樣購買Si的凈收益為(ri-pi)xi3要使凈收益盡可能大，總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小,這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃模型: 目標(biāo)函數(shù) max minmax qixi 約束條件 =M xi0 i=0,1,n4. 模型簡化a 在實(shí)際投資中，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不一樣，若給定風(fēng)險(xiǎn)一個(gè)界限a，使最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)qixi/Ma，可找到相應(yīng)的投資方案. 這樣把多目標(biāo)規(guī)劃變成一個(gè)目標(biāo)的線性規(guī)劃.模型1 固定風(fēng)險(xiǎn)水平，優(yōu)化收益 目標(biāo)函數(shù)： Q=max 約束條件 ： a ， xi 0 i=0,1, nb若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平k以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合.模型2 固定盈利水平，極小化風(fēng)險(xiǎn) 目標(biāo)函數(shù)： R= minmax qixi 約束條件： k， ， xi 0 i=0，1，n c投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時(shí)，希望選擇一個(gè)令自己滿意的投資組合.因此對風(fēng)險(xiǎn)、收益賦予權(quán)重s（0s1)，s稱為投資偏好系數(shù).模型3 目標(biāo)函數(shù)：min smaxqixi -（1-s） 約束條件 =M， xi0 i= 0,1,2，n四、模型求解4.1模型1的求解 模型1為: minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0 x1 x2 x3 x 4 ) T x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1 0.025x1 a 0.015x2 as.t. 0.055x3 a 0.026x4 a xi 0 (i = 0，1，4)由于a是任意給定的風(fēng)險(xiǎn)度，到底怎樣給定沒有一個(gè)準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的風(fēng)險(xiǎn)度.我們從a=0開始，以步長a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：a=0;while(1.1-a)1 c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026; b=a;a;a;a; vlb=0,0,0,0,0;vub=; x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x Q=-val plot(a,Q,.)，axis(0 0.1 0 0.5)，hold on a=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)計(jì)算結(jié)果：a = 0.0030 x = 0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q = 0.1266a = 0.0060 x = 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 Q = 0.2019a = 0.0080 x = 0.0000 0.3200 0.5333 0.1271 0.0000 Q = 0.2112a = 0.0100 x = 0 0.4000 0.5843 0 0 Q =0.2190a = 0.0200 x = 0 0.8000 0.1882 0 0 Q =0.2518a = 0.0400 x = 0.0000 0.9901 0.0000 0 0 Q =0.2673結(jié)果分析1.風(fēng)險(xiǎn)大，收益也大.2.當(dāng)投資越分散時(shí)，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小，這與題意一致.即: 冒險(xiǎn)的投資者會(huì)出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資.3.曲線上的任一點(diǎn)都表示該風(fēng)險(xiǎn)水平的最大可能收益和該收益要求的最小風(fēng)險(xiǎn).對于不同風(fēng)險(xiǎn)的承受能力，選擇該風(fēng)險(xiǎn)水平下的最優(yōu)投資組合.4.在a=0.006附近有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這一點(diǎn)左邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很少時(shí)，利潤增長 很快.在這一點(diǎn)右邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很大時(shí)，利潤增長很緩慢，所以對于風(fēng)險(xiǎn)和 收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點(diǎn)作為最優(yōu)投資組合， 大約是a*=0.6%，Q*=20% ，所對應(yīng)投資方案為:風(fēng)險(xiǎn)度 收益 x0 x1 x2 x3 x40.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 4.2模型2的求解 令x5= maxqixi則有x5大于或等于qixi中的任意一個(gè)，可得模型2為：min f=x5 xi 0 (i = 0，1，4)由于k是任意給定的收益，到底怎樣給定沒有一個(gè)準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的收益.我們從k=0開始，以步長k=0.002進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：k=0;while k0.5 c=0 0 0 0 0 1; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065 0; beq=1; A=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185 0; 0 0.025 0 0 0 -1;0 0 0.015 0 0 -1; 0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1; b=-k;0;0;0;0; vlb=0,0,0,0,0,0; vub=; x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); k x=x R=val plot(k,R,.) axis(0 0.25 0 0.015) hold on k=k+0.002;endxlabel(k),ylabel(R);計(jì)算結(jié)果：kRx0x1x2x3x40.20000.00590.01070.23500.3917 0.10680.22600.20200.00600.00000.2408 0.40130.10940.21890.20400.00640.0000 0.25780.42970.11720.16800.02060.00690.00000.27480.45810.12490.1171 0.02080.00730.00000.29190.48640.13270.0662 結(jié)果分析：有實(shí)驗(yàn)結(jié)果和圖可得以下結(jié)論：1 收益越大，風(fēng)險(xiǎn)也越大。2當(dāng)投資越分散時(shí)，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小3曲線上任意一點(diǎn)都表示該投資下的最小風(fēng)險(xiǎn)，選擇該投資下的最優(yōu)組合。4在k=0.206附近有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在它的右邊，風(fēng)險(xiǎn)隨投資的變化明顯比左邊的快得多，所以對于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點(diǎn)作為最優(yōu)投資組合，大約是R*=0.6%，k*=20% ，所對應(yīng)投資方案為:收益風(fēng)險(xiǎn)度x0x1x2x3x40.20600.00690.0000 0.27480.45810.12490.11714.3模型3的求解令x5= maxqixi則有x5大于或等于qixi中的任意一個(gè)，可得模型為：Min f=0.05(s-1) 0.25(s-1) 0.15(s-1) 0.55(s-1) 0.26(s-1) s（x0 x1 x2 x3 x4 x5）各個(gè)投資者的投資偏好不一，所以s沒有一個(gè)定值，就從s=0開始，以步長k=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：i=1;for s=0.1:0.1:1;f=-0.05*(1-s) -0.27*(1-s) -0.19*(1-s) -0.185*(1-s) -0.185*(1-s) s; A=0 0.025 0 0 0 -1;0 0 0.015 0 0 -1; 0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1;b=0 0 0 0;aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065 0;beq=1;lb=zeros(6,1);x,fval,exitflag,options,output=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb);xy(i)=-fval;i=i+1;endk=0.1:0.1:1;figure(1);plot(k,y,g-);xlabel(s 權(quán)因子) ;ylabel(y收益);title(凈收益和風(fēng)險(xiǎn)關(guān)于權(quán)因子的函數(shù))計(jì)算結(jié)果：使用線性加權(quán)法分別求解當(dāng)s=0.11.0時(shí)的最優(yōu)決策及風(fēng)險(xiǎn)和收益如下表：Sis=0.1.0.7s=0.8s=0.9s=1.0S10.99010.36900.23760.0000S20.00000.61500.39600.0000S30.00000.00000.10800.0000S40.00000.00000.22840.0000存銀行0.00000.00000.00001.0000凈收益0.26730.21650.20140.0500風(fēng)險(xiǎn)0.02480.00920.00590.0000結(jié)果分析1 凈收益和風(fēng)險(xiǎn)是s(權(quán)因子)的單調(diào)下降函數(shù)，即謹(jǐn)慎程度越強(qiáng)，風(fēng)險(xiǎn)越小，但是收益也越小，具有明確的實(shí)際意義。五 模型評價(jià)5.1模型優(yōu)點(diǎn)（1）本文通過將風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式約束，建立了線性規(guī)劃模型，直接采用程序進(jìn)行計(jì)算，得出優(yōu)化決策方案，并且給出了有效投資曲線，根據(jù)投資者的主觀偏好，選擇投資方向。（2）模型一采用線性規(guī)劃模型，將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃，選取了風(fēng)險(xiǎn)上限值來決定收益，根據(jù)收益風(fēng)險(xiǎn)圖，投資者可根據(jù)自己的喜好來選擇投資方向。（3