黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）

黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.設(shè)，則圖中陰影部分表示的集合是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】試題分析：，陰影部分表示為，故選c.考點(diǎn)：1、韋恩圖；2、集合的運(yùn)算.2.下列函數(shù)中與函數(shù)相等的函數(shù)是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】分析各選項(xiàng)中函數(shù)的定義域與解析式，從而可得出與函數(shù)相等的函數(shù).【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?對(duì)于a選項(xiàng)中的函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，該函?shù)與函數(shù)不相等；對(duì)于b選項(xiàng)中的函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，且，該函?shù)與函數(shù)不相等；對(duì)于c選項(xiàng)中的函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，該函?shù)與函數(shù)不相等；對(duì)于d選項(xiàng)中的函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)椋遥摵瘮?shù)與函數(shù)相等.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)相等概念的理解，一般要求兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則一致，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.3.三個(gè)數(shù)，之間的大小關(guān)系是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較各數(shù)與和的大小關(guān)系，即可得出這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，則，且；對(duì)數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，則；指數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù)，則.因此，.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪和對(duì)數(shù)式的大小比較，常利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用中間值法來得出大小關(guān)系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.4.設(shè)函數(shù)f(x)則f(f(3)()a. b. 3c. d. 【答案】d【解析】【詳解】,故選d.5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】試題分析：函數(shù)為奇函數(shù)，不合題意；函數(shù)是偶函數(shù)，但是在區(qū)間上單調(diào)遞減，不合題意；函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。故選c?？键c(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)的奇偶性。6.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像可能是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】通過分析冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的特征可得解.【詳解】函數(shù)，與，答案a沒有冪函數(shù)圖像，答案b.中，中，不符合，答案c中，中，不符合，答案d中，中，符合，故選d.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征，屬于基礎(chǔ)題.7.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用真數(shù)大于零求出該函數(shù)的定義域，然后利用復(fù)合函數(shù)同增異減法得出該函數(shù)的增區(qū)間.詳解】由題意可得，解得或，函數(shù)的定義域?yàn)?內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.外層函數(shù)為增函數(shù)，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，首先要求出函數(shù)的定義域，然后利用復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可得出所求單調(diào)區(qū)間，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】分析出函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且，由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式化為，然后由函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)得出，解出該不等式即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且，由于函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則.由，得，得或，解得或，因此，不等式的解集為.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式的求解，解題的關(guān)鍵就是分析出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并借助偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.9.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】換元，然后將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在上的值域問題，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出即可.【詳解】換元，則.可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.因此，函數(shù)的值域?yàn)?故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)值域的求解，解題的關(guān)鍵就是利用換元思想，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.10.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由題意結(jié)合分段函數(shù)的解析式分類討論即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)為減函數(shù)，則，解得：，且在處，有：，解得：，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題選擇c選項(xiàng).【點(diǎn)睛】對(duì)于分段函數(shù)的單調(diào)性，有兩種基本的判斷方法：一保證各段上同增(減)時(shí)，要注意上、下段間端點(diǎn)值間的大小關(guān)系；二是畫出這個(gè)分段函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象、性質(zhì)進(jìn)行直觀的判斷11.已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】解出方程在時(shí)的兩根，可得出方程在時(shí)的唯一根，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，解方程，即，解得；由于方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則方程在時(shí)的唯一實(shí)根，當(dāng)時(shí)，解方程，得，解得.由題意可得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)，考查代數(shù)法的應(yīng)用，屬于中等題.12.已知定義在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，由，可得出不等式對(duì)任意的恒成立，可得出，由此可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，則函數(shù)在上也為增函數(shù)，易知函數(shù)在上為連續(xù)函數(shù)，由，得，即.由題意知，不等式對(duì)任意的恒成立.當(dāng)時(shí)，則有，解得，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，則有，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式問題，同時(shí)也考查了二次不等式在上恒成立問題的求解，解題時(shí)要注意對(duì)首項(xiàng)系數(shù)和判別式符號(hào)進(jìn)行分析，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)f(x)的定義域是_.【答案】 【解析】【分析】函數(shù)的定義域滿足，解此不等式組能求出結(jié)果【詳解】要使函數(shù)有意義，需滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題主要考查了具體函數(shù)的定義域問題，屬于基礎(chǔ)題；常見的形式有：1、分式函數(shù)分母不能為0；2、偶次根式下大于等于0；3、對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)部分大于0；4、0的0次方無意義；5、對(duì)于正切函數(shù)，需滿足等等，當(dāng)同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，取其交集.14.如果冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，那么_.【答案】【解析】【分析】設(shè)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，可求出的值，從而可得出函數(shù)的解析式，由此可計(jì)算出的值.【詳解】設(shè)，由題意可得，即，得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)求函數(shù)值，在涉及冪函數(shù)的問題時(shí)，一般通過待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.函數(shù)在是單調(diào)遞減的，則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】由題意可知，內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得出，且使得在處的函數(shù)值非負(fù)，由此可得出關(guān)于的不等式組，解出不等式組即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，則二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線.由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則有，由于在為正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，于是有，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，在分析出內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性后，還應(yīng)保證真數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上恒為正數(shù)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16.下列說法中，正確的是_(填序號(hào))任取x0，均有3x2x；當(dāng)a0，且a1時(shí)，有a3a2；y()x是增函數(shù)；y2|x|的最小值為1；在同一坐標(biāo)系中，y2x與y2x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱【答案】【解析】對(duì)于，當(dāng)0a1時(shí)，a3a2，故不正確對(duì)于，y()x，因?yàn)?1，故y()x是減函數(shù)，故不正確易知正確答案：.點(diǎn)睛：1.指數(shù)函數(shù)圖象的比較，可以放入第一象限，即當(dāng)x0時(shí)，底數(shù)越大圖象越高，即“底大圖高”；2.指數(shù)函數(shù)yx中，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；3.對(duì)于函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱得到，關(guān)于x軸對(duì)稱得到.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答時(shí)寫出必要的文字說明，證明過程或解題步驟）17.（1）計(jì)算；（2）設(shè)，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用平方差公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算律、指數(shù)運(yùn)算律以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算可得出結(jié)果；（2）將等式兩邊平方可得出，再將所得等式平方可求出的值，代入可求出的值.【詳解】（1）原式 ；（2）對(duì)等式兩邊平方得，得，對(duì)等式兩邊平方得，得.因此，.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，解題時(shí)要熟悉指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算律，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知函數(shù)，且.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求使成立的的值【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求出，可得出函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，由得出，解出即可；（2）由題意得出，解該方程即可.【詳解】（1），則，解得，是上的增函數(shù)，由，得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2），得，化簡(jiǎn)得，解得或.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算以及利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，在底數(shù)范圍不確定的情況下還需對(duì)底數(shù)的范圍進(jìn)行分類討論，同時(shí)在解題時(shí)還應(yīng)注意真數(shù)大于零，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.19.已知函數(shù)（、為常數(shù)且，）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，.（1）試求、的值；（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1），；（2）.【解析】分析】（1）將、兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，可得出關(guān)于、的方程組，由此解出、的值；（2）由題意得出，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意可得，解得，；（2）由于不等式在時(shí)恒成立，則，由于指數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪的運(yùn)算，同時(shí)也考查了指數(shù)函數(shù)不等式恒成立問題，在含單參數(shù)的不等式恒成立問題，可以利用參變量分離法來求解，簡(jiǎn)化計(jì)算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20.已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）求集合；（2）若，求函數(shù)的最值【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）由得，可解出實(shí)數(shù)的范圍，即可得出集合；（2）換元，可得出，則，問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在上最值問題，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）由，得，解的，因此，；（2），則，二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)不等式求解，同時(shí)也考查了對(duì)數(shù)型函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵就是利用換元法將對(duì)數(shù)型函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題來求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.21.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（1）求與的解析式；（2）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1） （2） 【解析】試題分析：（1）代入點(diǎn)，得，由得，所以，又函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以；（2）由（1），分類討論.試題解析：（1）的圖象過點(diǎn)，又對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，又函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，（2），在上是增函數(shù)，當(dāng)，即時(shí)，符合題意；當(dāng)，且，即符合題意；當(dāng)，且，即符合題意綜上可知考點(diǎn)：二次函數(shù)22.已知函數(shù)是上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，則不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若且在上的最小值為，求的值【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由題意得出，求出的值，然后再利用奇函數(shù)的定義驗(yàn)證函數(shù)為奇函數(shù)即可；（2）由可得出，分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，再由為奇函數(shù)，由得出關(guān)于的不等式在上有解，可得出，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）由且，可得出，可得出，換元，可得出，然后對(duì)分和，分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合題中條件可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，因此，；（2）由（1）可知，又