偏微分方程數(shù)值解 教育學(xué)習(xí)

第五章偏微分方程數(shù)值解NumericalMethodsforPartialDifferentialEquations,5.1偏微分方程簡介5.2離散化公式5.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算5.4吸附床傳熱傳質(zhì)模型中偏微分方程求解,本章要求,教學(xué)目的講解：偏微分方程離散格式及求解的一般過程教學(xué)要求熟記一階及二階偏微分方程的離散格式；精通用EXCEL迭代對(duì)偏微分方程求解；探索用兩數(shù)組交替更新的辦法進(jìn)行編程求解；延伸對(duì)化學(xué)反應(yīng)工程中物理場的模擬進(jìn)行嘗試。教學(xué)重點(diǎn)各種偏微分方程的離散與求解EXCEL循環(huán)迭代問題教學(xué)難點(diǎn)特殊邊界條件的引入與應(yīng)用,5.1偏微分方程簡介,偏微分方程如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程。在化工或化學(xué)動(dòng)態(tài)模擬方程中，常常有一個(gè)自變量是時(shí)間，其它的自變量為空間位置。如果只考慮一維空間，則只有兩個(gè)自變量；如果考慮兩維空間，則有3個(gè)自變量。許多化工過程均是通過對(duì)偏微分方程的求解進(jìn)行工藝參數(shù)的確定或數(shù)值模擬。,5.1偏微分方程簡介,偏微分方程的分類,線性微分方程Linearpartialdifferencialequation擬線性微分方程Quasilinearpartialdifferencialequation非線性微分方程N(yùn)onlinearpartialdifferencialequation,5.1偏微分方程簡介,數(shù)學(xué)上的分類：橢圓方程Elliptic拋物線方程Parabolic雙曲線方程Hyperbolic物理實(shí)際問題的歸類：波動(dòng)方程(雙曲型）一維弦振動(dòng)模型：熱傳導(dǎo)方程（拋物線型）一維線性熱傳導(dǎo)方程拉普拉斯方程（橢圓型）穩(wěn)態(tài)靜電場或穩(wěn)態(tài)溫度分布場）,5.1微分方程的求解思路,求微分方程數(shù)值解的一般步驟：Step1區(qū)域剖分：首先按一定規(guī)則將整個(gè)定義域分成若干小塊Step2微分方程離散：構(gòu)造離散點(diǎn)或片的函數(shù)值遞推公式或方程Step3初始、邊界條件離散：根據(jù)遞推公式，將初值或邊界值離散化，補(bǔ)充方程，啟動(dòng)遞推運(yùn)算Step4數(shù)值解計(jì)算：求解離散系統(tǒng)問題微分方程的定解問題離散系統(tǒng)的求解問題,5.2離散化公式,將自變量在時(shí)間和空間上以一定的間隔進(jìn)行離散化，則應(yīng)變量就變成了這些離散變量的函數(shù)。一階偏導(dǎo)的離散化公式一般采用歐拉公式表示有時(shí)為了保證系統(tǒng)和穩(wěn)定性，對(duì)時(shí)間的差分往往采用向后公式,5.2離散化公式,對(duì)于二階偏導(dǎo)，我們可以通過對(duì)泰勒展開式處理技術(shù)得到下面離散化計(jì)算公式：,5.2離散化公式推導(dǎo),將uk+1在uk處按二階泰勒式展開：將uk-1在uk處按二階泰勒式展開：二式相加得：,5.3幾種常見偏微分方程的離散化計(jì)算,1、波動(dòng)方程其中：為初值條件為邊值條件當(dāng)該波動(dòng)方程只提供初值條件時(shí)，稱此方程為波動(dòng)方程的初值問題，二者均提供時(shí)稱為波動(dòng)方程的混合問題。,5.3.1波動(dòng)方程求解,對(duì)于初值問題，是已知t=0時(shí)，u與依賴于x的函數(shù)形式，求解不同位置，不同時(shí)刻的u值。而u是定義在的二元函數(shù)，即上半平面的函數(shù)。對(duì)于混合問題除初值外，還有邊值。是已知初值及x=0及x=l時(shí)u依賴于t的函數(shù)，求解不同位置x，不同時(shí)刻的u值。此時(shí)u是定義在的帶形區(qū)域上的二元函數(shù)。,5.3.1波動(dòng)方程求解,方程離散化,整理可得：,邊界條件初始條件離散化,5.3.1波動(dòng)方程求解,例5.1:用數(shù)值法求解下面偏微分方程。,此微分方程，是在不考慮流體本身熱傳導(dǎo)時(shí)的套管傳熱微分方程.由計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)計(jì)算的時(shí)間序列進(jìn)行到72時(shí)，傳熱過程已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，各點(diǎn)上的溫度已不隨時(shí)間的增加而改變。如果改變套管長度或傳熱系數(shù)，則達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間亦會(huì)改變。,EXCEL,5.3.2一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程,與波動(dòng)方程的情形類似，用差商近似代替偏商，可以得到一維流動(dòng)傳熱傳導(dǎo)方程的混合問題的差分方程，以其解作為流動(dòng)傳熱傳導(dǎo)方程的近似解。,2、一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程的混合問題,離散化,將上式進(jìn)行處理得到：該式是顯式格式。只要保證式中各項(xiàng)系數(shù)大于零，一般情況下是穩(wěn)定的，可以獲得穩(wěn)定的解。分析上式可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)為了提高數(shù)值精度取適當(dāng)小的x時(shí)，最有可能小于零的系數(shù)是uin的系數(shù)，若要保證此項(xiàng)系數(shù)大于零，此時(shí)t必須相應(yīng)地更小,會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量將大大增加，這是顯式格式的缺點(diǎn)，為了克服此缺點(diǎn)，下面提出一種隱式格式：偏微分方程在點(diǎn)上進(jìn)行離散化，且對(duì)時(shí)間的偏微分采用向后歐拉公式得到原偏微分方程的離散化公式：,5.3.2一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程,從圖5-3中可見要由初值及邊界條件一排一排推上去是不行的，需解線性方程組,同時(shí)添上二邊界條件：正好共有m+2個(gè)方程，同時(shí)有m+2個(gè)變量，就能解出n+1排上各點(diǎn)值。這樣，每解一個(gè)線性方程組，就可以往上推算一排點(diǎn)的u值，雖然引入了方程組的求解，有可能增加計(jì)算量，但由于隱式格式無條件穩(wěn)定，t的取法與x無關(guān)，可以少計(jì)算許多排節(jié)點(diǎn)上的u值，相應(yīng)于顯式格式來說，最終反而節(jié)省了計(jì)算量。,5.3.2一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程,例5.2考慮縱向?qū)岬奶坠軗Q熱器內(nèi)管各點(diǎn)溫度分布微分方程：解：首先根據(jù)前面的知識(shí)，將所求的方程離散化：代入微分方程并化簡得：分析上式可知，如果知道了某一時(shí)刻的各點(diǎn)t，（j=0,1,2.10,11），就可以求下一時(shí)刻的各點(diǎn)溫度值t(j=1,2.10),現(xiàn)在已經(jīng)知道了零時(shí)刻管內(nèi)各點(diǎn)的溫度分布及入口處在任何時(shí)刻的溫度，如想求下一時(shí)刻的溫度值，根據(jù)上面的離散化計(jì)算公式，還需知道在j=11處的溫度，這個(gè)溫度可利用給定的邊界條件離散化求得：有了以上各式，上面的微分方程就可以求解了。,5.3.2一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程,EXCEL,5.3.3穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程,3、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程在化工導(dǎo)熱及擴(kuò)散過程中，沒有物流的流動(dòng)，僅靠導(dǎo)熱及擴(kuò)散進(jìn)行熱量及質(zhì)量的傳遞。如果此時(shí)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，也就是說系統(tǒng)中每一個(gè)控制單元的各項(xiàng)性質(zhì)如溫度、濃度等不再隨時(shí)間的改變而改變，系統(tǒng)中的各種性質(zhì)只與其所處的位置有關(guān)，利用化工知識(shí)，我們可以得到下面二維、三維的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱或擴(kuò)散偏微分方程：二維：三維：二維的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱或擴(kuò)散偏微分方程又稱調(diào)和方程。,常見有三種邊界條件：第一類邊界條件：第二類邊界條件：第三類邊界條件：,離散化公式：取，經(jīng)化簡得：外節(jié)點(diǎn)（邊界節(jié)點(diǎn)）和內(nèi)節(jié)點(diǎn)求解方法劃分網(wǎng)格建立節(jié)點(diǎn)離散方程迭代求解（或解稀疏方程組）,5.3.3穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程求解,5.3.3穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程求解,常用的3種迭代格式：(1)同步迭代：(2)異步迭代：(3)超松弛迭代：當(dāng)計(jì)算范圍R為矩陣區(qū)域，x方向m等分，y方向n等分，最佳松弛因子為：由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，用這些迭代法求解上面的偏微分方程均收斂。,緊湊迭代,5.3.3穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程求解,例5.3：處于傳熱平衡狀態(tài)的某保溫，假設(shè)其形狀為長方體，在x，y兩個(gè)方向上存在熱傳導(dǎo)，且導(dǎo)熱系數(shù)相等，已知邊界溫度分布如下圖所示：解：取某一微元進(jìn)行能量衡算，由于已達(dá)傳熱平衡狀態(tài)，故可得：傳導(dǎo)入熱量-傳導(dǎo)出熱量=0,溫度分布,5.3.3穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程求解,MicrosoftExcel迭代計(jì)算公式中的循環(huán)引用在“工具”菜單上，單擊“選項(xiàng)”，再單擊“重新計(jì)算”選項(xiàng)卡。選中“迭代”復(fù)選框。若要設(shè)置MicrosoftExcel進(jìn)行重新計(jì)算的最大次數(shù)，請(qǐng)?jiān)凇白疃嗟螖?shù)”框中鍵入迭代次數(shù)。迭代次數(shù)越高，Excel用于計(jì)算工作表的時(shí)間越多。若要設(shè)置兩次迭代結(jié)果之間可以接受的最大誤差，請(qǐng)?jiān)凇白畲笳`差”框中鍵入所需的數(shù)值。數(shù)值越小，結(jié)果越精確，Excel用于計(jì)算工作表的時(shí)間也越多。,5.4吸附床傳熱傳質(zhì)模型中偏微分方程求解實(shí)例,5.4.1基本設(shè)定及假設(shè)1.吸附器結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)定上圖所示的是套筒式吸附器，該吸附器的有效長度為L，其有效內(nèi)徑為D,環(huán)隙寬度為，吸附器壁厚為b。導(dǎo)熱流體通過環(huán)隙將熱量傳入或傳出吸附器，吸附質(zhì)通過吸附器上端的小管進(jìn)入或離開吸附器。,5.4.1基本設(shè)定及假設(shè),2.吸附床外流體傳熱的一些基本假設(shè)：1).忽略流體在環(huán)隙寬度上的溫度梯度；2).忽略熱損失；3).忽略吸附器壁厚b上的溫度梯度，用集中參數(shù)法求取吸附器壁面溫度。.吸附床內(nèi)傳熱傳質(zhì)的一些基本假設(shè)：1).吸附床內(nèi)的吸附質(zhì)氣體處于氣滯狀態(tài)；2).忽略蒸發(fā)器、冷凝器和吸附床之間的壓力差；3).吸附床內(nèi)各計(jì)算微元內(nèi)達(dá)到吸附平衡。吸附量可利用回歸方程計(jì)算；4.吸附熱利用微分吸附熱，隨吸附量和吸附溫度的改變而改變；比熱采用有效比熱，亦隨溫度改變，但在計(jì)算微元內(nèi)，可認(rèn)為是常數(shù)；5.床層活性炭導(dǎo)熱系數(shù)采用當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)，可由實(shí)驗(yàn)測量得到。,5.4.2流體傳熱模型的建立,在軸方向上取一環(huán)隙微元，作能量分析如下：1.流體通過流動(dòng)流入環(huán)隙微元的能量為2.流體通過流動(dòng)流出環(huán)隙微元的能量3.流體熱傳導(dǎo)在x處的熱量導(dǎo)入7總能量平衡方程,其中：f流體的密度uf環(huán)隙的流體速度，Sf環(huán)隙的橫截面積，Cpf流體的比熱。,4.流體熱傳導(dǎo)在x+x處的熱量導(dǎo)入5.微元體傳遞給吸附床的熱量qt6.微元體內(nèi)的能量變化率為流體的橫截面積,5.4.3吸附床內(nèi)吸附劑傳熱傳質(zhì)模型的建立,吸附床內(nèi)發(fā)生著熱量和質(zhì)量的傳遞，但質(zhì)量的傳遞是建立在熱量傳遞基礎(chǔ)上的，故只要建立熱量傳遞方程，就可以根據(jù)平衡吸附量方程求出各處的吸附量。吸附床內(nèi)的熱量傳遞主要以熱傳導(dǎo)為主，既有經(jīng)向的熱傳導(dǎo)，也有軸向的熱傳導(dǎo)，為了便于建模分析，選取如圖所示的吸附床微元體，進(jìn)行衡算：,1.軸向?qū)霟崃?,2.軸向?qū)С鰺崃?.徑向?qū)霟崃?.徑向?qū)С鰺崃?.微元體內(nèi)的能量變化率其中為吸附床層內(nèi)的有效比熱。6.總能量平衡方程,5.4.4吸附器內(nèi)/外無量綱化方程,吸附器內(nèi)/外無量綱化方程,