截面慣性矩(材料力學) 教育學習

4.構件的強度計算,1,一類參考,4.1截面的幾何特征,-4的平行移軸公式,-2慣性矩和慣性半徑,-3慣性積,-2慣性矩和慣性半徑,-3慣性積,-2慣性矩和慣性半徑,2,一類參考,dz,定義Sy=AzdASz=AydA,例：矩形截面，面積為A。求：Sy、Sz、SzC,解：,(與力矩類似)是面積與它到軸的距離之積。,1、靜面矩（也叫面積矩簡稱靜矩）,-1靜矩和形心,1）同一截面對不同軸的靜矩不同；,2）靜矩可為正，負值或零；,3）靜矩的單位為m3;,1）同一截面對不同軸的靜矩不同；,2）靜矩可為正，負值或零；,1）同一截面對不同軸的靜矩不同；,3）靜矩的單位為m3;,2）靜矩可為正，負值或零；,1）同一截面對不同軸的靜矩不同；,3,一類參考,1）形心公式：,2、形心：(等厚均質板的質心與形心重合。),等于形心坐標,4,一類參考,3.結論,當坐標軸過形心時，圖形對自身形心軸的面積矩等于零；反之，若圖形對某軸的面矩為零時，此軸必過圖形的形心。,2.形心公式,5,一類參考,3.組合圖形的形心和面積矩,1）組合圖形,由簡單圖形（如三角形，圓形，矩形等）組合而成的圖形。,2）組合圖形面積矩及形心的計算公式,等于各簡單圖形對同一軸的面積矩的代數和。即,6,一類參考,例1：求圖示T形截面的形心及對z軸的靜矩,選坐標軸z1作為參考軸,方法3）負面積法Sz=(12010060)-2(1004050)=3210mm3,1.求形心,Sz(50+30)2(10020)3210mm3,方法2）不求形心Sz=AiyCi2010011020100503210mm3,知A=A1+A2yC60yC0,、求靜矩,方法1）,7,一類參考,I-2慣性矩、慣性積、極慣性矩,1、慣性矩：(慣性矩是一個物理量，通常被用作描述一個物體抵抗扭動，扭轉的能力）,它是圖形面積與它對軸的距離的平方之積表達式為,注意：,1）同一截面對不同的軸慣性矩不同；,2）慣性矩永遠為正值；,3）慣性矩的單位為m4;,8,一類參考,3、極慣性矩：,它是圖形面積對極點的二次矩。,2、慣性半徑(單位為m),表達式為,圖形對正交坐標軸的慣性矩之和等于它對此二軸交點的極慣性矩,9,一類參考,例求圓形截面對形心軸的慣性矩。,解：,I-3慣性積,1.定義：圖形對兩個坐標軸的兩個坐標之積的積分。,10,一類參考,I-3慣性積,2.表達式：,3.說明：,1）同一圖形對不同軸的慣性積不同；,2）慣性積可正，可負，可為零。,3）慣性積的單位：m4,4.結論：,當坐標系的兩軸中的任一軸為圖形的對稱軸時，圖形對此軸的慣性積為零，反之，若圖形對坐標系的慣性積為零時，此坐標軸中必有一軸為圖形的對稱軸。,11,一類參考,返,1.平行移軸定理：,以形心為原點，建立與原坐標軸平行的坐標軸如圖,-4平行移軸公式,12,一類參考,r,-4平行移軸公式,2.結論：,B)當圖形至少有一條軸是圖形的對稱軸時,則有,A)在所有的平行軸中,圖形對自身形心軸的慣性矩為最小。,13,一類參考,例組合截面慣性矩的計算,求截面對ZC軸的慣性矩。,返回,解：1）寫出A1，A2及其形心坐標a1；a2,2)求出A1和A2分別對自身形心軸的慣性矩,3）求對整個截面形心ZC軸的慣性矩,14,一類參考,I-5轉軸公式及主慣性矩(簡介),1.轉軸公式:,當坐標軸繞原點轉一個角度后,得到一個新的坐標軸時,轉軸公式給出在新舊坐標軸下的慣矩及慣積的關系.,15,一類參考,2)主慣性矩:相對主軸的慣性矩就稱為主慣性矩.,2.三個公式:設新坐標系由原坐標系逆轉角而得,且有,3.主軸及主慣性矩:,1)主軸:圖形若對坐標軸的慣矩為零時,這對坐標軸就稱為主軸.且當主軸為形心軸時,就稱為形心主軸.用0來表示主軸的方向.,16,一類參考,桿件的拉壓變形及強度計算,17,一類參考,目錄,一、概述二、桿件的軸向拉壓變形分析三、材料在拉伸和壓縮時的力學性質四、拉（壓）桿的強度計算,桿件的拉壓變形及強度計算,18,一類參考,古代建筑結構,建于唐末（857年）的山西五臺山佛光寺東大殿,一、概述,19,一類參考,古代建筑結構,建于遼代（1056年）的山西應縣佛宮寺釋迦塔,塔高9層共67.31米，用木材7400噸,900多年來歷經數次地震不倒，現存唯一木塔,20,一類參考,古代建筑結構,2200年以前建造的都江堰安瀾索橋,21,一類參考,古代建筑結構,建于隋代（605年）的河北趙州橋,橋長64.4米，跨徑37.02米，用石2800噸,22,一類參考,橋梁結構,二,23,一類參考,航空航天,24,一類參考,強度：即抵抗破壞的能力,剛度：即抵抗變形的能力,穩(wěn)定性：即保持原有平衡狀態(tài)的能力,構件的強度、剛度和穩(wěn)定性不僅與構件的形狀有關，而且與所用材料的力學性能有關，因此在進行理論分析的基礎上，實驗研究是完成材料力學的任務所必需的途徑和手段。,構件的承載能力,25,一類參考,四川彩虹橋坍塌,26,一類參考,美國紐約馬爾克大橋坍塌,27,一類參考,拉壓變形,拉（壓）、剪切、扭轉、彎曲,剪切變形,桿件的基本變形：,28,一類參考,扭轉變形,彎曲變形,29,一類參考,二、桿件的軸向拉壓變形分析,30,一類參考,一、軸向拉伸和壓縮的概念,31,一類參考,32,一類參考,33,一類參考,34,一類參考,特點：作用在桿件上的外力合力的作用線與桿件軸線重合，桿件變形是沿軸線方向的伸長或縮短。,桿的受力簡圖為,35,一類參考,36,一類參考,1、軸力：橫截面上的內力2、截面法求軸力,切:假想沿m-m橫截面將桿切開留:留下左半段或右半段代:將拋掉部分對留下部分的作用用內力代替平:對留下部分寫平衡方程求出內力即軸力的值,二、拉伸和壓縮時的內力、截面法和軸力,37,一類參考,3、軸力正負號：拉為正、壓為負4、軸力圖：軸力沿桿件軸線的變化,由于外力的作用線與桿件的軸線重合，內力的作用線也與桿件的軸線重合。所以稱為軸力。,38,一類參考,軸力和軸力圖,已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;試畫出圖示桿件的軸力圖。,例題3-1,解：1、計算各段的軸力。,AB段,BC段,CD段,2、繪制軸力圖。,39,一類參考,三、應力概念、拉（壓）桿橫截面上的應力,桿件的強度不僅與軸力有關，還與橫截面面積有關。必須用應力來比較和判斷桿件的強度。,40,一類參考,橫截面上的應力,41,一類參考,橫截面上的應力,42,一類參考,橫截面上的應力,該式為橫截面上的正應力計算公式。正應力和軸力FN同號。即拉應力為正，壓應力為負。,根據桿件變形的平面假設和材料均勻連續(xù)性假設可推斷：軸力在橫截面上的分布是均勻的，且方向垂直于橫截面。所以，橫截面的正應力計算公式為：,43,一類參考,拉(壓)桿橫截面上的應力,=,MPa,FN表示橫截面軸力（N）A表示橫截面面積（mm2）,F,F,m,m,n,n,F,FN,44,一類參考,橫截面上的應力,45,一類參考,截面上的應力,例題3-2,圖示結構，試求桿件AB、CB的應力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為1515的方截面桿。,解：1、計算各桿件的軸力。（設斜桿為1桿，水平桿為2桿）用截面法取節(jié)點B為研究對象,45,46,一類參考,截面上的應力,2、計算各桿件的應力。,47,一類參考,三、材料在拉伸和壓縮時的力學性質教學目標：1.拉伸、壓縮試驗簡介；2.應力-應變曲線分析；3.低碳鋼與鑄鐵的拉、壓的力學性質；4.試件的伸長率、斷面收縮率計算。教學重點：1.應力-應變曲線分析；2.材料拉、壓時的力學性質。教學難點：應力-應變曲線分析。小結:塑性材料與脆性材料拉伸時的應力-應變曲線分析。作業(yè):復習教材相關內容。,48,一類參考,1、材料拉伸時的試件,力學性質：在外力作用下材料在變形和破壞方面所表現出的力學性能,試件和實驗條件,常溫、靜載,2-4,49,一類參考,2、材料拉伸時的設備,50,一類參考,3、材料拉伸時的應力應變曲線,低碳鋼的拉伸,51,一類參考,明顯的四個階段,1、彈性階段ob,比例極限,彈性極限,2、屈服階段bc（失去抵抗變形的能力）,屈服極限,3、強化階段ce（恢復抵抗變形的能力）,強度極限,4、局部徑縮階段ef,52,一類參考,材料拉伸時的兩個塑性指標,兩個塑性指標:,斷后伸長率,斷面收縮率,為塑性材料,為脆性材料,低碳鋼的,為塑性材料,53,一類參考,4.卸載定律及冷作硬化,卸載定律及冷作硬化,1、彈性范圍內卸載、再加載,2、過彈性范圍卸載、再加載,即材料在卸載過程中應力和應變是線形關系，這就是卸載定律。,材料的比例極限增高，延伸率降低，稱之為冷作硬化或加工硬化。,54,一類參考,5、其他材料拉伸時的力學性質,其它材料拉伸時的力學性質,對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，用名義屈服極限p0.2來表示。,55,一類參考,6、鑄鐵材料拉伸時的力學性質,對于脆性材料（鑄鐵），拉伸時的應力應變曲線為微彎的曲線，沒有屈服和頸縮現象，試件突然拉斷。斷后伸長率約為0.5%。為典型的脆性材料。,bt拉伸強度極限（約為140MPa）。它是衡量脆性材料（鑄鐵）拉伸的唯一強度指標。,56,一類參考,7、材料壓縮時的力學性質,試件和實驗條件,常溫、靜載,2-5,57,一類參考,8、塑性材料壓縮時的力學性質,塑性材料（低碳鋼）的壓縮,屈服極限,比例極限,彈性極限,拉伸與壓縮在屈服階段以前完全相同。,E-彈性摸量,58,一類參考,9、脆性材料壓縮時的力學性質,脆性材料（鑄鐵）的壓縮,脆性材料的抗拉與抗壓性質不完全相同,壓縮時的強度極限遠大于拉伸時的強度極限,59,一類參考,60,一類參考,四、拉（壓）桿的強度計算教學目標：1.許用應力和安全系數；2.拉、壓桿的強度條件；3.拉、壓桿的變形計算。教學重點：1.拉、壓桿的強度校核；2.桿件截面尺寸設計。教學難點：拉、壓桿的變形量計算。小結:桿件強度校核及尺寸設計。,61,一類參考,許用應力和安全系數,極限應力：材料喪失正常工作能力時的應力。塑性變形是塑性材料破壞的標志。屈服點為塑性材料的極限應力。斷裂是脆性材料破壞的標志。因此把抗拉強度和抗壓強度，作為脆性材料的極限應力。,許用應力：構件安全工作時材料允許承受的最大應力。構件的工作應力必須小于材料的極限應力。,塑性材料：,=,脆性材料：,=,ns、nb是安全系數:ns=1.22.5nb2.03.5,1.許用應力和安全系數,五、拉（壓）桿的強度計算,62,一類參考,2、拉壓桿的強度條件,根據強度條件，可以解決三類強度計算問題,1、強度校核：,2、設計截面：,3、確定許可載荷：,63,一類參考,拉壓桿的強度條件,例題3-3,解：1、研究節(jié)點A的平衡，計算軸力。,由于結構幾何和受力的對稱性，兩斜桿的軸力相等，根據平衡方程,得,2、強度校核由于斜桿由兩個矩形桿構成，故A=2bh，工作應力為,斜桿強度足夠,64,一類參考,拉壓桿的強度條件,例題3-4,D=350mm，p=1MPa。螺栓=40MPa，求直徑。,每個螺栓承受軸力為總壓力的1/6,解：油缸蓋受到的力,根據強度條件,即螺栓的軸力為,螺栓的直徑為,65,一類參考,拉壓桿的強度條件,例題3-5,AC為50505的等邊角鋼，AB為10號槽鋼，=120MPa。求F。,解：1、計算軸力。（設斜桿為1桿，水平桿為2桿）用截面法取節(jié)點A為研究對象,2、根據斜桿的強度，求許可載荷,查表得斜桿AC的面積為A1=24.8cm2,66,一類參考,拉壓桿的強度條件,3、根據水平桿的強度，求許可載荷,查表得水平桿AB的面積為A2=212.74cm2,4、許可載荷,67,一類參考,六、拉壓桿的變形虎克定律,一縱向變形,二橫向變形,鋼材的E約為200GPa，約為0.250.33,E為彈性摸量,EA為抗拉剛度,泊松比,橫向應變,68,一類參考,拉壓桿的變形虎克定律,69,一類參考,拉壓桿的變形虎克定律,70,一類參考,拉(壓)桿的變形,1.絕對變形:,規(guī)定：L等直桿的原長d橫向尺寸L1拉(壓)后縱向長度d1拉(壓)后橫向尺寸,軸向變形：,橫向變形：,拉伸時軸向變形為正，橫向變形為負；壓縮時軸向變形為負，橫向變形為正。,軸向變形和橫向變形統(tǒng)稱為絕對變形。,71,一類參考,拉(壓)桿的變形,2.相對變形：,單位長度的變形量。,-,和都是無量綱量，又稱為線應變，其中稱為軸向線應變，稱為橫向線應變。,3.橫向變形系數：,/,72,一類參考,虎克定律：實驗表明，對拉(壓)桿，當應力不超過某一限度時，桿的軸向變形與軸力FN成正比，與桿長L成正比，與橫截面面積A成反比。這一比例關系稱為虎克定律。引入比例常數E，其公式為:,E為材料的拉(壓)彈性模量，單位是GPaFN、E、A均為常量，否則，應分段計算。,由此，當軸力、桿長、截面面積相同的等直桿,E值越大，就越小，所以E值代表了材料抵抗拉(壓)變形的能力，是衡量材料剛度的指標。,或,73,一類參考,例題3-6：如圖所示桿件，求各段內截面的軸力和應力，并畫出軸力圖。若桿件較細段橫截面面積，較粗段，材料的彈性模量，求桿件的總變形。,L,L,10KN,40KN,30KN,A,B,C,解：分別在AB、BC段任取截面，如圖示，則：,FN1=10KN,10KN,FN1,10KN,1=FN1/A1=50MPa,30KN,FN2,FN2=-30KN,2=FN2/A2=100MPa,軸力圖如圖：,x,FN,10KN,30KN,74,一類參考,由于AB、BC兩段面積不同，變形量應分別計算。由虎克定律：,可得：,AB,10KNX100mm,200GPaX200mm,2,=,=0.025mm,BC,-30KNX100mm,200GPaX300mm,2,=,=-0.050mm,=-0.025mm,75,一類參考,