行列式典型例題_第1頁
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1、.,第五節(jié) 典型例題,n階行列式的計(jì)算是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的基礎(chǔ)，在以后的各章中都要用到它。這里主要應(yīng)該掌握的基本方法是：,1. 用n階行列式的性質(zhì)把一般行列式化成特殊行列式（如上三角行列式等）來計(jì)算。,2. 用n階行列式的展開定理，把行列式按某一行（列）展開，即化高階行列式為低階行列式來計(jì)算。(Laplace定理),3. 其他方法：對(duì)于具有特殊形式的行列式，有一些特殊的方法：遞推、歸納、加邊等.,.,證明,用數(shù)學(xué)歸納法,證明范得蒙(Vandermonde)行列式,例1,(1),.,.,n-1階范德蒙行列式,注意：范德蒙行列式是等于零a1, a2, , an中至少有兩元素相等.,.,例2計(jì)算,利用范

2、德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德 蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列 式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。,.,解,.,上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知,.,例3,計(jì)算n階行列式,加邊法：行列式的每行或每列除對(duì)角線上元素外分別是某個(gè)數(shù)的倍數(shù).,.,.,這種形式的行列式簡(jiǎn)稱“兩邊加一對(duì)角線”行列式，它必可利用行列式性質(zhì)化為三角形行列式而求得其值，所以,.,.,.,例4,計(jì)算n階行列式,.,解,將左上角的x改寫為(xa)a，第一列的(a)均改寫為0( a)，于是第一列各元素均為兩項(xiàng)之和，于是,即,（1）,.,利用類似的方法，可得,（2）,故從式（1）與（2）中可以消

3、去Dn-1,.,例5,計(jì)算n階行列式,.,解法1,化為三角行列式,此題的特點(diǎn)與2例6相同. 把各行都加到第一行上，然后提出公因式x+(n 1)a，得,(-a),(-a),(-a),.,.,解法2,化為兩邊加一對(duì)角線行列式,(-1),(-1),(-1),.,.,.,加邊法,將Dn添加一行、一列，構(gòu)成n+1階行列式。,解法3,(-1),(-1),(-1),.,把行列式的第2、3、n+1列分別提出公因子x-a，得,.,.,解法4,遞推法,將Dn的第一列元素都寫成兩個(gè)元素之和，然后將Dn拆成兩個(gè)n階行列式的和，再利用遞推關(guān)系,.,.,例6 計(jì)算行列式,.,解：此類型行列式稱為三對(duì)角線型，常采用方法是將兩條次對(duì)角線中某一

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