基于軸對(duì)稱(chēng)四邊形薄片導(dǎo)體模型的薄片電阻估算法

1、 基于軸對(duì)稱(chēng)四邊形薄片導(dǎo)體模型的薄片電阻估算法薛芃，昝鑫，鄒軍（清華大學(xué) 電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系，北京 100084）摘要：本文提出一種利用軸對(duì)稱(chēng)薄片導(dǎo)體模型近似等效處理不規(guī)則的薄片導(dǎo)體轉(zhuǎn)角電阻的估算方法。首先從理論出證了所有軸對(duì)稱(chēng)的四邊形薄片導(dǎo)體，其對(duì)邊之間的電阻等于其方阻。以該結(jié)論為依據(jù)，得到了一種以近似劃分為手段的薄片電阻估算法。作為實(shí)例，將該方法應(yīng)用于L 型薄片電阻的估算，并對(duì)這種估算的有效性和精確性進(jìn)行了分析和討論。 關(guān)鍵詞：L 型薄導(dǎo)體；電阻估算；薄片電阻；方阻 Estimation Method of Resistance of an L-shaped Thin Conduct

2、or Basedon Quadrilateral Axisymmetric Thin Conductor ModelXUE Peng, ZAN Xin, ZOU Jun(Electrical Engineering Dept., Tsinghua University, Beijing 100084, China)Abstract : In this paper, the method of using axisymmetric thin conductor model as an equivalent to estimate corner resistance of irregular sh

3、aped conductor is discussed. Starting from theoretical analysis, this paper demonstrates that the resistances between the opposite sides of all kinds of quadrilateral thin conductors are equal to their square resistances. The method can be used to estimate the resistance of L-shaped thin conductor,

4、and the effectiveness and accuracy of the method is analyzed and discussed when estimating.Keywords : L-shaped thin conductor; resistance estimation; thin resistance; square resistance0引言 薄片導(dǎo)體材料在現(xiàn)今的生產(chǎn)生活中并該方法思確且計(jì)算簡(jiǎn)單，同時(shí)相較傳統(tǒng)估算法具有更高的精度，具有較好的普 適性。 不罕見(jiàn)。對(duì)于形狀不規(guī)則的薄片導(dǎo)體的電阻， 求得解析解往往比較困難。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題， 精確求解往往采用實(shí)驗(yàn)?zāi)M法獲得或

5、利用 軟件進(jìn)行數(shù)值求解。然而上述方法較為繁瑣， 因此對(duì)精度要求不高的場(chǎng)合，也可用估算的 方法。 此前已有一些估算改進(jìn)法，如利用圓弧導(dǎo)體等效處理進(jìn)行估算，也在特定場(chǎng)合取得了較好的效果1。本文提出一種利用關(guān)于對(duì)角 線軸對(duì)稱(chēng)的四邊形薄片導(dǎo)體，其對(duì)邊間電阻等于方阻的性質(zhì)，將原不規(guī)則圖形近似劃分為矩形與軸對(duì)稱(chēng)四邊形薄片導(dǎo)體的估算 方法。 1軸對(duì)稱(chēng)薄片導(dǎo)體的電阻計(jì)算1.1 方塊電阻 對(duì)于邊長(zhǎng)為 a，厚度為 h，電導(dǎo)率為 的方形薄片導(dǎo)體，可知其對(duì)邊間的電阻為 aaR = g ha = g h1方形薄片的電阻只和材料與厚度有關(guān)， 該電阻稱(chēng)為方塊電阻。 1.2 四邊形薄片導(dǎo)體的電阻 對(duì)于如圖 1 的四邊形平面導(dǎo)

6、體，形狀不規(guī)則，難以直接求解其對(duì)邊間的電阻。 j2 的邊界條件為j2 |AD = C1j2 |BC = C21011j2 |= 012nAB、BD其中C1 、C2 為常數(shù)。 圖 1 四邊形薄片導(dǎo)體由于 h 很小，可認(rèn)為電場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。若在 AB 邊與 CD 邊之間加電壓 U，以 CD 邊為電位零點(diǎn)，則導(dǎo)體內(nèi)，電位滿(mǎn)足 可看出，此時(shí)的j 與 E 此時(shí)能對(duì)應(yīng)另 22一種電場(chǎng)模型，即不在 AB 邊與 CD 邊之間加電壓，而在 AD 與 BC 邊之間加電壓通電。在 AB 邊與 CD 邊之間加電壓 U 時(shí)，有2j = -gE = 0導(dǎo)體邊界上，邊界條件為 2g EgdSI =jAB邊截面 = U313

7、AB= hg EdlAB邊 j= 04CDU =Egdl =Edl14jnB至CBC邊= 05在 AD 與 BC 邊之間加電壓通電時(shí)，有g(shù) E g(-dS )AD、BCI =22為推導(dǎo)方便，在導(dǎo)體區(qū)域內(nèi)構(gòu)建如下矢 量場(chǎng) BC邊截面 15= hg E dl2BC邊E = E k62U2 =E2 gdl =E2 dl16B至ABA邊其中 k 是 z 軸正向單位矢量。則 E 也 2E 與 E2 分別為矢量的模，由在式（6）在 xy 平面內(nèi)，可證其在導(dǎo)體內(nèi)的旋度為 E2 = ( E k ) = 0對(duì) E2 的定義可知有 E E2 。 7說(shuō)明 E2 在電阻區(qū)域內(nèi)是無(wú)旋場(chǎng)，則可I2g hU =17構(gòu)建勢(shì)函

8、數(shù)j2 ，使之滿(mǎn)足E2 = -j2 I g h8U =182又可得則在兩種情況下，導(dǎo)體分別對(duì)應(yīng)的電阻 之間滿(mǎn)足 2j = -gE= -g(E k)= 0922說(shuō)明j2 在區(qū)域內(nèi)部滿(mǎn)足拉普拉斯方程。 又由于 E2 與 E 處處垂直，則導(dǎo)體邊界上 對(duì)L 型薄片電阻進(jìn)行近似等效。如圖 4， 利用對(duì)稱(chēng)性，連接 CE，取 L 型薄片電阻的一半 ABCE 考慮，過(guò)E 作AEC 的角平分線， 過(guò)C 作BCE 的角平分線，兩線交于 G 點(diǎn)。過(guò) R R = U U 2 = U U22IIII2219 1 2= = R2方 g h G 分別作 AE 的垂線與 AE、BC 分別相交于 H、I 點(diǎn)，再過(guò) G 作 EC

9、 的垂線交于 J 點(diǎn)。由幾何知識(shí)可得，GH GI GJ 1/2AB 0.5L， RtGEHRtGEJ，RtGCJRtGCI。對(duì)圖形 R 即方塊電阻，即分別在其兩組對(duì)邊 方間施加電壓時(shí)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)電阻值，其乘積為方塊電阻的平方。 1.3 軸對(duì)稱(chēng)薄片導(dǎo)體的電阻 如圖 2，當(dāng)四邊形薄片導(dǎo)體關(guān)于某條對(duì)角線軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，應(yīng)用上述結(jié)論，又由對(duì)稱(chēng)性有 AB0.5L22.5IGH1R1= R2 = g h = R 方 CD20J說(shuō)明對(duì)軸對(duì)稱(chēng)四邊形薄片導(dǎo)體，對(duì)邊間的電阻即方塊電阻。 EF圖 4 直角轉(zhuǎn)角 L 型薄片導(dǎo)體的分割由于線段 HI 離轉(zhuǎn)角有一定距離，則可近似是等勢(shì)線。由于線段 GJ 主要落在轉(zhuǎn)角部分而且與等勢(shì)

10、線 CE 垂直，則可近似認(rèn)為是一條電流線。 經(jīng)過(guò)以上近似， L 型薄片導(dǎo)體劃分為兩個(gè)矩形、兩個(gè)大的對(duì)稱(chēng)四邊形和兩個(gè)小的對(duì)稱(chēng)四邊形。已知對(duì)稱(chēng)四邊形電阻即方塊電 阻，故 L 型薄片電阻的電阻為 圖 2 軸對(duì)稱(chēng)薄片導(dǎo)體對(duì)邊間電阻2 L 型薄片電阻估算 2.1 等寬直角轉(zhuǎn)角 L 型薄片導(dǎo)體電阻估算如圖 3，考慮如下寬度相等直角轉(zhuǎn)角的 L 型薄片導(dǎo)體，AB DF BC CD， AEF = 90 ，設(shè) AB L，薄片電阻厚R= 2R + 2R / /2R21估矩方方又可知矩形部分電阻為= L - 0.5L tan22.5ABLRhLg矩221- 0.5tan22.5hg=D則估算電阻值為 1- 0.5ta

11、n22.51= 2+hgR估23hgEF2.2 等寬且非直角轉(zhuǎn)角的 L 型薄片導(dǎo)體電阻估算 將上一問(wèn)題由直角轉(zhuǎn)角推廣到非直角轉(zhuǎn)角。考慮如圖 5 的等寬且轉(zhuǎn)角非直角的 L圖 3 直角轉(zhuǎn)角 L 型薄片導(dǎo)體估算在 AB 邊與 DF 邊間加電壓時(shí)的電阻。LC 型薄片導(dǎo)體電阻，仍設(shè)AB DF BC CD，AEF ，AB DF BC CD，AEF 設(shè) AB L。同樣討論在 AB 邊與 DF 邊間加析，將某條線近似化作等勢(shì)線，從物理模型上看，相當(dāng)于在該面額外布置了一層理想導(dǎo)體，結(jié)果是改善了原導(dǎo)體的導(dǎo)電性能。同理， 將某條線近似化作電流線，則相當(dāng)于在該面布置了一層絕緣體，結(jié)果是降低了原來(lái)電阻的導(dǎo)電性能。兩個(gè)手

12、段并用可使誤差在一定程度上正負(fù)相消。該方法同時(shí)利用這兩種手段近 似，因此能夠使結(jié)果更加精確。 另外應(yīng)指出，轉(zhuǎn)角角度 越大，這兩個(gè)近似條件越接近實(shí)際。特別的，在 達(dá)到ABLLC DE180 度時(shí)，L 型薄片導(dǎo)體為矩形，兩個(gè)近似條件變?yōu)閲?yán)格成立，此時(shí)估算值與理論值相等。 使用 Matlab 的 PDEtool 工具為仿真手段，對(duì)上述的 L 型薄片導(dǎo)體電阻數(shù)值求解， 并以該結(jié)果作為精確值。 L 型薄片導(dǎo)體的具體參數(shù)為： 8 106Sm2，L 0.5m，h 0.01m。 轉(zhuǎn)角分別取為 30，60，90，120， 150，180。其中部分仿真的圖像，如 F圖 5 非直角轉(zhuǎn)角 L 型薄片導(dǎo)體近似等效分割過(guò)

13、程與直角轉(zhuǎn)角時(shí)完全類(lèi)似。分割的結(jié)果如圖 6，同樣有 EG 是AEC的角平分線，CG 是BCE 的角平分線。結(jié)論也與之前類(lèi)似，同樣可得到式與直角轉(zhuǎn)角時(shí)的區(qū)別在于角IGJ 由 22.5變?yōu)?0.25。則式（23）變?yōu)?= 1- 0.5tan(0.25a )R 24hg矩則估算結(jié)果為1- 0.5tan0.25a1hg= 2+R估25hgBA圖 7 轉(zhuǎn)角為 120的 L 型薄導(dǎo)體仿真圖像 將 PDEtool 計(jì)算出的精確電阻值，與估算電阻值比較，比較的結(jié)果如表 1。 表 1 非直角轉(zhuǎn)角 L 型薄片導(dǎo)體的分割 0.25CDF圖 6 非直角轉(zhuǎn)角 L 型薄片導(dǎo)體的分割估算的誤差分析 對(duì) L 型薄片導(dǎo)體，該方

14、法的誤差來(lái)源主 3可見(jiàn)，該方法對(duì)于轉(zhuǎn)角為各種角度的 L型薄片電阻，估算的誤差都能保持在較小范圍，而且轉(zhuǎn)角越大，估算越為準(zhǔn)確，在對(duì)角 要在兩個(gè)近似，即將 HI 邊近似為等勢(shì)線和將 GJ 邊近似為一條電流線。從近似手段分?jǐn)?shù)值計(jì)算結(jié)果/估算結(jié)果/相對(duì)誤差 3034.84335.8542.9%6033.43934.1512.1%9031.89332.3221.3%12030.12830.2830.51%15027.86427.9080.16%18025250%0.5LGIJ 度超過(guò) 90的情況中，這種估算方法的結(jié)果已經(jīng)十分接近數(shù)值計(jì)算結(jié)果。 4結(jié)語(yǔ) 本文首先通過(guò)理論分析推導(dǎo)出對(duì)于四邊形薄片導(dǎo)體，分別在其兩組對(duì)邊間通電時(shí)， 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)電阻值的乘積總為其方塊電阻 的平方。在此基礎(chǔ)上得到了對(duì)關(guān)于對(duì)角線軸對(duì)稱(chēng)的四邊形薄片導(dǎo)體，其對(duì)邊之間電阻等于方塊電阻的推論?；谏鲜鐾普?，提出了對(duì)不規(guī)則形狀薄片電阻的一種新的估算方法。并以 L 型薄片導(dǎo)體為例對(duì)該方法進(jìn)行了理論說(shuō)明和誤差分析。 本文提出的估算方法具有分割簡(jiǎn)單，計(jì)算簡(jiǎn)潔，普適性強(qiáng)，精度較高的特點(diǎn)。此方法不僅可以估算