雞兔同籠問(wèn)題五種基本公式和例題講解

1、雞兔同籠問(wèn)題五種基本公式和例題講解【雞兔問(wèn)題公式】（1）已知總頭數(shù)和總腳數(shù)，求雞、兔各多少：（總腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)總頭數(shù)）（每只兔的腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)。或者是（每只兔腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù)）（每只兔腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。例如，“有雞、兔共36只，它們共有腳100只，雞、兔各是多少只？”解一 （100-236）（4-2）=14（只）兔；36-14=22（只）雞。解二 （436-100）（4-2）=22（只）雞；36-22=14（只）兔。（答 略）（2）已知總頭數(shù)和雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)雞的總腳數(shù)比兔的總腳數(shù)多時(shí)，可用公式（每只雞腳數(shù)總頭數(shù)-腳數(shù)之差）（

2、每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)或（每只兔腳數(shù)總頭數(shù)+雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只免的腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。（例略）（3）已知總數(shù)與雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)兔的總腳數(shù)比雞的總腳數(shù)多時(shí)，可用公式。（每只雞的腳數(shù)總頭數(shù)+雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)?；颍恐煌玫哪_數(shù)總頭數(shù)-雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。（例略）（4）得失問(wèn)題（雞兔問(wèn)題的推廣題）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分?jǐn)?shù)產(chǎn)品總數(shù)-實(shí)得總分?jǐn)?shù)）（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）=不合格品數(shù)。或者是總產(chǎn)品數(shù)-（每

3、只不合格品扣分?jǐn)?shù)總產(chǎn)品數(shù)+實(shí)得總分?jǐn)?shù)）（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）=不合格品數(shù)。例如，“燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產(chǎn)一個(gè)合格品記4分，每生產(chǎn)一個(gè)不合格品不僅不記分，還要扣除15分。某工人生產(chǎn)了1000只燈泡，共得3525分，問(wèn)其中有多少個(gè)燈泡不合格？”解一 （41000-3525）（4+15）=47519=25（個(gè)）解二 1000-（151000+3525）（4+15）1000-1852519=1000-975=25（個(gè)）（答略）（“得失問(wèn)題”也稱“運(yùn)玻璃器皿問(wèn)題”，運(yùn)到完好無(wú)損者每只給運(yùn)費(fèi)元，破損者不僅不給運(yùn)費(fèi)，還需要賠成本元。它的解法顯然可套用上述公式。）（

4、5）雞兔互換問(wèn)題（已知總腳數(shù)及雞兔互換后總腳數(shù)，求雞兔各多少的問(wèn)題），可用下面的公式：（兩次總腳數(shù)之和）（每只雞兔腳數(shù)和）+（兩次總腳數(shù)之差）（每只雞兔腳數(shù)之差）2=雞數(shù)；（兩次總腳數(shù)之和）（每只雞兔腳數(shù)之和）-（兩次總腳數(shù)之差）（每只雞兔腳數(shù)之差）2=兔數(shù)。例如，“有一些雞和兔，共有腳44只，若將雞數(shù)與兔數(shù)互換，則共有腳52只。雞兔各是多少只？”解 （52+44）（4+2）+（52-44）（4-2）2=202=10（只）雞（52+44）（4+2）-（52-44）（4-2）2=122=6（只）兔（答略）雞兔同籠目錄 1總述 2假設(shè)法 3方程法 一元一次方程 二元一次方程4抬腿法 5列表法 6詳

5、解 7詳細(xì)解法 基本問(wèn)題 特殊算法 習(xí)題8雞兔同籠公式1總述雞兔同籠是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名題之一。大約在1500年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭,從下面數(shù)，有94只腳。問(wèn)籠中各有幾只雞和兔？算這個(gè)有個(gè)最簡(jiǎn)單的算法。（總腳數(shù)-總頭數(shù)雞的腳數(shù)）（兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù)）=兔的只數(shù) （94352）2=12(兔子數(shù)) 總頭數(shù)（35）兔子數(shù)（12）=雞數(shù)（23） 解釋：讓兔子和雞同時(shí)抬起兩只腳，這樣籠子里的腳就減少了頭數(shù)2只，由于雞只有2只腳，所以籠子里只剩下兔

6、子的兩只腳，再除以2就是兔子數(shù)。雖然現(xiàn)實(shí)中沒(méi)人雞兔同籠。2假設(shè)法假設(shè)全是雞：235=70（只） 雞腳比總腳數(shù)少：9470=24 （只） 兔：24(4-2)=12 （只） 雞：3512=23（只） 假設(shè)法（通俗） 假設(shè)雞和兔子都抬起一只腳，籠中站立的腳： 94-35=59（只） 然后再抬起一只腳，這時(shí)候雞兩只腳都抬起來(lái)就摔倒了，只剩下用兩只腳站立的兔子，站立腳：59-35=24（只） 兔：242=12（只） 雞：35-12=23（只）3方程法一元一次方程解：設(shè)兔有x只，則雞有(35-x）只。 4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=94-70 2x=24 x=242 x=12

7、35-12=23(只） 或 解：設(shè)雞有x只，則兔有（35-x）只。 2x+4(35-x)=942x+140-4x=94 2x=46 x=23 35-23=12(只） 答：兔子有12只，雞有23只。注：通常設(shè)方程時(shí)，選擇腿的只數(shù)多的動(dòng)物，會(huì)在套用到其他類似雞兔同籠的問(wèn)題上，好算一些。二元一次方程解：設(shè)雞有x只，兔有y只。x+y=352x+4y=94（x+y=35)2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把y=12代入（x+y=35)x+12=35x=35-12（只）x=23（只）。答：兔子有12只，雞有23只4抬腿法 法一 假如讓雞抬起一只腳，兔子抬

8、起2只腳，還有94除以2=47只腳?；\子里的兔就比雞的頭數(shù)多1，這時(shí)，腳與頭的總數(shù)之差47-35=12，就是兔子的只數(shù)。法二假如雞與兔子都抬起兩只腳，還剩下94352=24只腳 ， 這時(shí)雞是屁股坐在地上，地上只有兔子的腳，而且每只兔子有兩只腳在地上，所以有242=12只兔子，就有3512=23只雞5列表法腿數(shù)雞（只數(shù)）兔（只數(shù)）6詳解中國(guó)古代孫子算經(jīng)共三卷，成書大約在公元5世紀(jì)。這本書淺顯易懂，有許多有趣的算術(shù)題，比如“雞兔同籠”問(wèn)題： 今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？ 題目中給出雉兔共有35只，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來(lái)，看作是一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來(lái)，看

9、作是一只腳，那么，兔子就成了2只腳，即把兔子都先當(dāng)作兩只腳的 雞。雞兔總的腳數(shù)是352=70（只），比題中所說(shuō)的94只要少94-70=24（只）。 現(xiàn)在，我們松開一只兔子腳上的繩子，總的腳數(shù)就會(huì)增加2只，即70+2=72（只），再松開一只兔子腳上的繩子，總的腳數(shù)又增加2，2，2，2，一直繼續(xù)下去，直至增加24，因此兔子數(shù)：242=12（只），從而雞有35-12=23（只）。 我們來(lái)總結(jié)一下這道題的解題思路：如果先假設(shè)它們?nèi)请u，于是根據(jù)雞兔的總數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看看差多少，每差2只腳就說(shuō)明有1只兔，將所差的腳數(shù)除以2，就可以算出共有多少只兔

10、。概括起來(lái)，解雞兔同籠題的基本關(guān)系式是：兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)雞兔總數(shù)）（每只兔子腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）。類似地，也可以假設(shè)全是兔子。 我們也可以采用列方程的辦法：設(shè)兔子的數(shù)量為x，雞的數(shù)量為y 那么：x+y=35那么4x+2y=94 這個(gè)算方程解出后得出：兔子有12只，雞有23只。7詳細(xì)解法基本問(wèn)題 雞兔同籠是一類有名的中國(guó)古算題。最早出現(xiàn)在孫子算經(jīng)中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問(wèn)題，或者用解它的典型解法-假設(shè)法來(lái)求解。因此很有必要學(xué)會(huì)它的解法和思路. 例1 有若干只雞和兔子，它們共有88個(gè)頭，244只腳，雞和兔各有多少只 解：我們?cè)O(shè)想，每只雞都是金雞獨(dú)立,一只腳站著；而每只兔子都

11、用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著?，F(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，也就是2442=122（只）. 在122這個(gè)數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次。因此從122減去總頭數(shù)88，剩下的就是兔子頭數(shù) 122-88=34（只）， 有34只兔子.當(dāng)然雞就有54只。 答：有兔子34只,雞54只。 上面的計(jì)算，可以歸結(jié)為下面算式： 總腳數(shù)2-總頭數(shù)=兔子數(shù). 總頭數(shù)-兔子數(shù)=雞數(shù)特殊算法上面的解法是孫子算經(jīng)中記載的。做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡(jiǎn)單！能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2,4又是2的2倍.可是，當(dāng)其他問(wèn)題轉(zhuǎn)化成這類問(wèn)題時(shí)，腳數(shù)就不一定是4和2，上面的計(jì)算方

12、法就行不通。因此，我們對(duì)這類問(wèn)題給出一種一般解法. 還說(shuō)例1. 如果設(shè)想88只都是兔子，那么就有488只腳，比244只腳多了 884-244=108（只）. 每只雞比兔子少(4-2)只腳，所以共有雞 (884-244)(4-2)= 54（只）. 說(shuō)明我們?cè)O(shè)想的88只兔子中，有54只不是兔子。而是雞.因此可以列出公式 雞數(shù)=（兔腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）. 當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88只都是雞,那么共有腳288=176（只），比244只腳少了 244-176=68（只）. 每只雞比每只兔子少(4-2)只腳， 682=34（只）. 說(shuō)明設(shè)想中的雞,有34只是兔子，也可以列出公式 兔數(shù)=（總

13、腳數(shù)-雞腳數(shù)總頭數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）. 上面兩個(gè)公式不必都用，用其中一個(gè)算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個(gè)數(shù)。 假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，有人稱為假設(shè)法. 現(xiàn)在，拿一個(gè)具體問(wèn)題來(lái)試試上面的公式。 例2 紅鉛筆每支0.19元，藍(lán)鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元。問(wèn)紅，藍(lán)鉛筆各買幾支？ 解：以分作為錢的單位.我們?cè)O(shè)想，一種雞有11只腳，一種兔子有19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳。 現(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成雞兔同籠問(wèn)題了.利用上面算兔數(shù)公式，就有 藍(lán)筆數(shù)=(1916-280)(19-11) =248 =3（支）. 紅筆數(shù)=16-3=1

14、3（支）. 答：買了13支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆。 對(duì)于這類問(wèn)題的計(jì)算，常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性.例2中的腳數(shù)19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是兔子,8只是雞,根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是 8(11+19)=240（支）。 比280少40. 40(19-11)=5（支）。 就知道設(shè)想中的8只雞應(yīng)少5只，也就是雞(藍(lán)鉛筆）數(shù)是3. 308比1916或1116要容易計(jì)算些。利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來(lái)完成計(jì)算. 實(shí)際上，可以任意設(shè)想一個(gè)方便的兔數(shù)或雞數(shù)。例如，設(shè)想16只中，兔數(shù)為10,雞數(shù)為6，就有腳數(shù) 1910+116=256. 比280少24. 24(19-11)=3, 就知道設(shè)想6

15、只雞,要少3只。 要使設(shè)想的數(shù)，能給計(jì)算帶來(lái)方便，常常取決于你的心算本領(lǐng). 下面再舉四個(gè)稍有難度的例子。 例3 一份稿件，甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成，現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干小時(shí)后，因有事由乙接著打完，共用了7小時(shí)。甲打字用了多少小時(shí)？ 解：我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù)），甲每小時(shí)打306=5（份），乙每小時(shí)打3010=3（份）. 現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成兔頭數(shù)，乙打字的時(shí)間看成雞頭數(shù)，總頭數(shù)是7.兔的腳數(shù)是5,雞的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30，就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成雞兔同籠問(wèn)題了。 根據(jù)前面的公式 兔數(shù)=(30-37)(5-3) =4.5, 雞數(shù)=7-4.5 =2.

16、5, 也就是甲打字用了4.5小時(shí)，乙打字用了2.5小時(shí)。 答：甲打字用了4小時(shí)30分. 例4 今年是1998年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲。四年后(2002年）父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，是公元哪一年？ 解：4年后，兩人年齡和都要加8.此時(shí)兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作雞頭數(shù)，弟的年齡看作兔頭數(shù)。25是總頭數(shù).86是總腳數(shù).根據(jù)公式，兄的年齡是 (254-86)(4-3)=14（歲）. 1998年，兄年齡是 14-4=10（歲）. 父年齡是 (25-14)4-4=

17、40（歲）. 因此，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，兄的年齡是 (40-10)(3-1)=15（歲）. 這是2003年。 答：公元2003年時(shí)，父年齡是兄年齡的3倍. 例5蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀?，F(xiàn)在這三種小蟲共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀.每種小蟲各幾只？ 解：因?yàn)轵唑押拖s都有6條腿，所以從腿的數(shù)目來(lái)考慮，可以把小蟲分成8條腿與6條腿兩種。利用公式就可以算出8條腿的 蜘蛛數(shù)=(118-618)(8-6) =5（只）. 因此就知道6條腿的小蟲共 18-5=13（只）. 也就是蜻蜓和蟬共有13只，它們共有20對(duì)翅膀。再利用一次公式 蟬數(shù)=(132-20)(2

18、-1)=6（只）. 因此蜻蜓數(shù)是13-6=7（只）. 答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬。 例6 某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參加，共做對(duì)181道題，已知每人至少做對(duì)1道題，做對(duì)1道的有7人，5道全對(duì)的有6人，做對(duì)2道和3道的人數(shù)一樣多，那么做對(duì)4道的人數(shù)有多少人？ 解：對(duì)2道，3道，4道題的人共有 52-7-6=39（人）. 他們共做對(duì) 181-17-56=144（道）. 由于對(duì)2道和3道題的人數(shù)一樣多，我們就可以把他們看作是對(duì)2.5道題的人（(2+3)2=2.5).這樣 兔腳數(shù)=4，雞腳數(shù)=2.5, 總腳數(shù)=144，總頭數(shù)=39. 對(duì)4道題的有 (144-2.539)(4-2.5)=31（人）. 答：做對(duì)4道題的有31人。 以例1為例 有若干只雞和兔子，它們共有88個(gè)頭，244只腳，雞和