2013答案-拓撲學(xué)基礎(chǔ)A

1、裝 訂 線裝 訂 線 內(nèi) 不 要 答 題學(xué) 號姓 名班 級 東 北 大 學(xué) 秦 皇 島 分 校課程名稱： 拓撲學(xué)基礎(chǔ) （答案） 試卷： A 考試形式：閉卷授課專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 考試日期： 2013年 7月 試卷：共 3 頁 題號一二三四五總分得分閱卷人一、 填空題：（每空2分，共20分）1設(shè)，寫出5個拓撲，使得每個拓撲中的所有集合按包含關(guān)系構(gòu)成一個升鏈 平凡拓撲 ， ，。（注：答案不唯一，正確即可）2. 漢字“東” 的連通分支的個數(shù)是 3 ，拋物線的連通分支的個數(shù)是 1 。3字母Y的割點個數(shù)為 無窮 。字母T中指數(shù)為3的點個數(shù)為 1 。4敘述同胚映射的定義 拓撲空間之間的連續(xù)映射稱為同胚映

2、射，若它是一一對應(yīng)且它的逆也是連續(xù)的 。二、選擇題：（每題2分，共8分）1下列說法中正確的是（ B ） A 連通空間一定是道路連通空間 B 道路連通空間一定是連通空間C 道路連通空間一定局部道路連通 D 以上說法都不對2下列說法正確的是（ A ） A 緊空間的閉子集緊致 B 緊致空間未必局部緊致 C 有限空間一定不緊致 D 列緊空間是緊致空間3下列說法錯誤的是（ A ）A 離散空間都是空間 B 空間中單點集是閉集 C 賦予余有限拓撲不是空間 D 第二可數(shù)空間可分4下列不具可乘性的是（ D ）A 緊致性 B 連通性 C 道路連通性 D 商映射三、計算題：（共16分）1在上賦予余有限拓撲，記為有理

3、數(shù)集合，。試求和。（4分）答：，。2確定歐式平面上子集的內(nèi)部、外部、邊界和閉包。（8分） 答：內(nèi)部，； 外部， 邊界，； 閉包 。3在上賦予歐式拓撲。（4分）（1）計算道路與的乘積在處的值。 答：在處的值是。（2）計算道路與的乘積在處的值。答：在處的值是1。裝 訂 線裝 訂 線 內(nèi) 不 要 答 題學(xué) 號姓 名班 級四、問答題：（每題10分，共30分）1. 敘述拓撲空間的定義并舉例說明任意多個開集的交未必是開集。（10分）答：集合上的一個拓撲是由的子集構(gòu)成的子集族，即，其中是一個指標(biāo)集。它們滿足三個條件：1 集合與空集在中。2 中任意多個集合的并集在中。3 中有限多個集合的交集在中。定義了拓撲的

4、集合稱為拓撲空間。 （7分）注：例子不唯一，正確即可。2. 敘述空間、空間的定義。設(shè)，試定義一個等價關(guān)系使得商空間是空間但不是空間。 （10分）答：設(shè)是拓撲空間，若對任兩點存在其中一點的開鄰域不包含另外一點，則稱其為空間； （3分） 設(shè)是拓撲空間，若對任兩點存在每點的開鄰域不包含另外一點，則稱其為空間。 （6分） 舉例4分。 注：例子不唯一，正確即可。 3. 談?wù)勀銓ν負鋵W(xué)的內(nèi)容方法的認(rèn)識。（10分）注：無唯一標(biāo)準(zhǔn)答案。五、證明題：（共26分）1. 敘述并證明開集判定定理。（7分）定理 是開集當(dāng)且僅當(dāng)它是它的每個點的鄰域。 （3分）證明：“”由鄰域的定義，這是顯然的。 “”，因為是的鄰域，由鄰

5、域的定義，存在開集，使得。 所以。 所以 因為開集的任意并集是開集，所以是開集。 （7分）裝 訂 線裝 訂 線 內(nèi) 不 要 答 題學(xué) 號姓 名班 級2. 敘述并證明連續(xù)映射的粘接引理。（7分）答：粘接引理 設(shè)是拓撲空間的一個有限閉覆蓋，若在每個上的限制都連續(xù)，則是連續(xù)映射。 （3分） 證明：只要驗證的每個閉集的原像是閉集。 設(shè)是的閉集，記是在上的限制。則。 由連續(xù)，是中的閉集，又是的閉集，所以是中的閉集。所以作為有限個閉集的并也是閉集。 （7分）3. 設(shè)是空間的緊致子集。證明也是空間。（7分）證明：設(shè)，是中不同于的兩點。不妨將其在中在投影映射下的原像仍記為，。因是空間，故存在各自的開鄰域不相交。記為和。又因是空間的緊子集，所以是閉集，是開集。從而與也為，的不相交的開鄰域，且在投影映射下不變，從而也是，的在中的不相交的開鄰域。 (3分) 任取中元素，對于任意的中元素，由是Hausdorff空間，分別存在與的不相交的開鄰域與。 顯然是的開覆蓋。由的緊致性，存在有限的子覆蓋。 記，則是的開鄰域，且。易知在投影映射下不變，仍為中的開集，在投影映射下的像為中包含點的開集，且。 所以也是空間。 （7分）4設(shè)，在上取余可數(shù)拓撲。在商空間上定義“+”為。證明“+”是連續(xù)映射。（5分） 證明：由商空間的定義可