集合知識點歸納78020.doc

1、集合的基礎(chǔ)知識一、重點知識歸納及講解1集合的有關(guān)概念一組對象的全體形成一個集合，集合里的各個對象叫做集合的元素集合中的元素具有以下的特性確定性：任給一元素可確定其歸屬即給定一個集合,任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了.例如，給出集合1，2，3，4，它只有1、2、3、4四個元素，其他對象都不是它的元素；而“所有的好人”、“視力比較差的全體學(xué)生”、“我國的所有小河流”就不能視為集合，因為組成它們的對象是不能確定的. 互異性：集合中的任何兩個元素都是不同的對象，也就是說，集合中的元素必須是互不相同的（即沒有重復(fù)現(xiàn)象），相同的元素在集合中只能算作一個.例如，不能有1，1，2，而必須寫成1，2.

2、 無序性：集合中的元素間是無次序關(guān)系的.例如，1，2，3與3，2，1表示同一個集合.（2）集合的元素某些指定的對象集在一起就成為一個集合，集合中的每個對象叫做這個集合的元素.若a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作aA.不含任何元素的集合叫做空集，記作.（3）集合的分類：有限集與無限集.（4）集合的表示法：列舉法、描述法和圖示法.列舉法：將所給集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號里，元素與元素之間用逗號分開，常用于表示有限集.描述法：將所給集合中全部元素的共同特性和性質(zhì)用文字或符號語言描述出來常用于表示無限集.使用描述法時，應(yīng)注意六點：寫清集合中元素的代號；說明該集合中元素的性質(zhì)；不能出現(xiàn)未

3、被說明的字母；多層描述時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”，“或”；所有描述的內(nèi)容都要寫在大括號內(nèi)；用于描述的語句力求簡明、確切.圖示法：畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個集合，常用于表示又需給具體元素的抽象集合，對已給出了具體元素的集合當(dāng)然也可用圖示法來表示.如：A=1，2，3，4例1、設(shè)集合A=a，a+b, a+2b,B=a,ac,ac2 ,且A=B，求實數(shù)c值分析：欲求c值，可列關(guān)于c的方程或方程組，根據(jù)兩集合相等的意義及集合元素的互異性，有下面兩種情況：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac兩種情況解析：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a

4、+ ac2-2ac=0a=0時，集B中三元素均為零，根據(jù)集合元素互異性舍去a=0c2-2c+1=0，即c=1，但 c=1時，B中的三個元素也相同，舍去c=1，此時無解（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得： 2ac2-ac-a=0a=0時，集B中三元素均為零，根據(jù)集合元素互異性舍去a=02c2-c-1=0，即c=1或，但 c=1時，B中的三個元素也相同，舍去c=1，點評： 兩集合相等的意義是兩集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值時，可能產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗，去偽存真（5）常用數(shù)集及專用記號（1）非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）N=0，1，2，（2）正整數(shù)集N*

5、（或N）=1，2，3，（3）整數(shù)集Z=0，1，2，（4）有理數(shù)集Q=整數(shù)與分?jǐn)?shù)（5）實數(shù)集R=數(shù)軸上的點所對應(yīng)的數(shù).強(qiáng)調(diào)：實數(shù)集不可記為R或?qū)崝?shù)集，0 ，0，空集.強(qiáng)調(diào)：排除0和負(fù)數(shù)的數(shù)集也可表示為R*、Z*、Q*或R、Z、Q2基本運算1. 交集（1）定義：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組合的集合叫A與B的交集記作，即，且（2）交集的圖示上圖陰影部分表示集合A與B的交集（3）交集的運算律， ，2. 并集（1）定義：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，記作，即，或（2）并集的圖示以上陰影部分表示集合A與B的并集（3）并集的運算律 ，3、補(bǔ)集（1）定義：設(shè)S是一個集合，A是S的一

6、個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）.記作，即 CSA=（2）補(bǔ)集的圖示4、常用性質(zhì)AA=A，A=，AB=BA，ABA， ABBAA=A，A=A，AB=BA，ABA，ABB，例2、集合，且，AU，BU，且4，5，1，2，3，6，7，8，求集合A和B分析：利用集合圖示較為直觀解：由4，5，則將4，5寫在中，由1，2，3，則將1，2，3寫在集A中，由6，7，8，則將6，7，8寫在A、B之外，由與中均無9，10，則9，10在B中，故A=1，2，3，4，5，B=4，5，9，105、容斥原理：有限集A的元素個數(shù)記作card(A).對于兩個有限集A，B，有card(A

7、B)= card(A)+card(B)- card(AB)二、難點知識剖析1、要注意區(qū)分一些容易混淆的符號（1）與的區(qū)別：表示元素與集合之間的關(guān)系，例如1N，-1N等；表示集合與集合之間的關(guān)系，例如NR，等（2）a與a的區(qū)別：一般在，a表示一個元素，a而表示只有一個元素a的集合例如，00,11,2,3等，不能寫成0=0，11,2,3，11,2,3（3）0與的區(qū)別：是含有一個元素0的集合，是不含任何元素的集合，因此0但不能寫成=0，0例3、已知集合M=x|x3，集合P=x|x2，設(shè)，則下列關(guān)系式中正確的一個是（）A、PM B、aMC、PMD、a3P解析：集合M、P都是部分實數(shù)組成的集合，而a是一

8、個具體的實數(shù)，故M、P間的關(guān)系應(yīng)用“包含”，“不包含”來確定，而對a與集合M、P的關(guān)系只能用“屬于”，“不屬于”來確定，比較實數(shù)的大小，易判斷C正確.小結(jié)：正確使用集合的符號是正確分析、解答問題的關(guān)鍵2理解集合所表示的意義（1）對由條件給出的集合，要明白它所表示的意義，即元素指什么，是什么范圍如yR|y=表示的為函數(shù)y=中y的取值范圍，故yR|y=yR|y;而xR|y=表示y=的x的取值范圍，故xR|y=R（2）用集合表示不等式（組）的解集時，要注意分辨是交集還是并集，結(jié)合數(shù)軸或韋恩圖的直觀性幫助思維判斷空集是任何集合的子集，但因為不好用韋恩圖表示，容易被忽視，如在關(guān)系式BA中，易漏掉B=的情

9、況例4、 設(shè)A=，B=（1）若AB=B，求的值；（2）若AB=B，求的值分析： 明確AB=B和A B=B的含義，根據(jù)問題的需要，將AB=B和AB=B轉(zhuǎn)化為等價的關(guān)系式：和，是解決本題的關(guān)鍵解析：首先化簡集合A，得A=-4，0（1）由于A B=B，則有可知集合B或為空集，或只含有根0或-4若B=，由得若，代入得：，當(dāng)時，B=，合題意當(dāng)時，B=，也符合題意若，代入得：，當(dāng)時，中已討論，合題意當(dāng)時，B=不合題意由、得，（2）因為AB=B，所以，又A=-4，0，而B至多只有兩個根，因此應(yīng)有A=B由（1）知，【點評】：一般對于AB=B和AB=B這種類型的問題，都要注意轉(zhuǎn)化為等價的關(guān)系式：和 ，且在包含關(guān)

10、系中，注意不要漏掉B=的情況并且當(dāng)A、B中的元素的個數(shù)相同時，還存在或的情況時，只有A=B這一種情況子集（1）子集定義：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。記作： 讀作：A包含于B或B包含A 當(dāng)集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時，則記作：A B或B A性質(zhì)： （任何一個集合是它本身的子集） （空集是任何集合的子集）【置疑】能否把子集說成是由原來集合中的部分元素組成的集合？【解疑】不能把A是B的子集解釋成A是由B中部分元素所組成的集合因為B的子集也包括它本身，而這個子集是由B的全體元素組成的空集也是B的子

11、集，而這個集合中并不含有B中的元素由此也可看到，把A是B的子集解釋成A是由B的部分元素組成的集合是不確切的（2）集合相等：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A=B。例： ，可見，集合 ，是指A、B的所有元素完全相同（3）真子集：對于兩個集合A與B，如果 ，并且 ，我們就說集合A是集合B的真子集，記作： （或 ），讀作A真包含于B或B真包含A。【思考】能否這樣定義真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集”集合B同它的真子集A之間的關(guān)系，可用文

12、氏圖表示，其中兩個圓的內(nèi)部分別表示集合A，B【提問】（1） 寫出數(shù)集N，Z，Q，R的包含關(guān)系，并用文氏圖表示。（2） 判斷下列寫法是否正確 A A A A性質(zhì)：（1）空集是任何非空集合的真子集。若 A ，且A ，則 A；（2）如果 ， ，則 例1 寫出集合 的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集解：集合 的所有的子集是 ， ， ， ，其中 ， ， 是 的真子集【注意】（1）子集與真子集符號的方向。 （2）易混符號“ ”與“ ”：元素與集合之間是屬于關(guān)系；集合與集合之間是包含關(guān)系。如 R，1 1，2，30與 ：0是含有一個元素0的集合， 是不含任何元素的集合。 如： 0。不能寫成 =0， 0例3 判斷下列說法是否正確，如果不正確，請加以改正（1） 表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3） 不是 ；（4） 的所有子集是 ；（5）如果 且 ，那么B必是A的真子集；（6） 與 不能同時成立 解：（1） 不表示空集，它表示