高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線的定義、性質(zhì)、方程

1、專題 13圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程 高考在考什么【考題回放】1已知 abc 的頂點(diǎn) b、 c 在橢圓 x2 y2 1 上，頂點(diǎn) a 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且3橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在bc 邊上，則 abc 的周長是 (c )（ a） 2 3（ b）6（ c） 4 3（ d） 12x2y21的一條漸近線方程為42已知雙曲線a2b2y 3x，則雙曲線的離心率為 (a)（ a）54533(b)3(c)4(d )23如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為f1 ( 3,0) 、f2 (3,0) ，一條漸近線方程為y2x ，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是（c）a 6 3b 4c 2d 14拋物線 y=4 x2 上的一點(diǎn) m 到

2、焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn) m 的縱坐標(biāo)是 ( b)17( b )157( d ) 0( a )16( c )1685已知橢圓中心在原點(diǎn)， 一個(gè)焦點(diǎn)為 f（ 23 ，0），且長軸長是短軸長的2 倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x 2y211646如圖， f 為雙曲線 c：x2y21 a0, b0 的右焦點(diǎn)。 p 為雙曲線 c 右支a2b2o 為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形上一點(diǎn)，且位于 x 軸上方， m 為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，ofpm 為平行四邊形， |pf |= |of |。（）寫出雙曲線c 的離心率 e 與 的關(guān)系式；（）當(dāng) =1 時(shí)，經(jīng)過焦點(diǎn) f 且平行于 op 的直線交雙曲線于a、b 點(diǎn)，若 |ab|=12，求此

3、時(shí)的雙曲線方程。y【專家解答 】四邊形 ofpm 是 ， | of | | pm | c ，h2mp作雙曲線的右準(zhǔn)線交pm 于 h ，則 | pm | |ph |2a，xc| pf | of |c22ofe，又 ea2c22a2e22| ph |c2e2e 20 。c（）當(dāng)1 時(shí)， e2， c2a， b23a2 ，雙曲線為x2y21 四邊形4a23a2第 1頁共10頁ofpm 是菱形， 所以直線op 的斜率為3 ，則直線 ab 的方程為 y3( x2a) ，代入到雙曲線方程得：9x248ax60a20 ，又 ab12 ，由 ab1k2( x1x2 )24x1 x2 得：12 2 ( 48a )

4、24 60a2，所以 x2y299解得 a2 9，則 b2271為所求。449274 高考要考什么【考點(diǎn)透視】橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單的幾何性質(zhì)，橢圓的參數(shù)方程。【熱點(diǎn)透析】主要題型：（ 1）定義及簡單幾何性質(zhì)的靈活運(yùn)用；（ 2）求曲線方程（含指定圓錐曲線方程及軌跡方程）。題型一般為二小一大，小題基礎(chǔ)靈活，解答題一般在中等難度以上，一般具有較高的區(qū)分度。 突破重難點(diǎn)【范例 1】過橢圓左焦點(diǎn) f，傾斜角為 60 的直線交橢圓于 a、b 兩點(diǎn)，若 |fa|=2|fb|，則橢圓的離心率為 ( b )(a)22123(b)(c)(d)322解：設(shè)點(diǎn) a 、 b 到橢圓左準(zhǔn)線的距離分別

5、為d1， d2， fa =r1， fb =r 2，則 r12r2=e，即 d1=2r2，同理 d2= r2，兩式相減得 r2d1d2 .d1d1eee因?yàn)橹本€ ab 的傾斜角為 60 ，2|d1-d22|=|ab|=3 r2， e=3【點(diǎn)晴】 本題的關(guān)鍵在于利用橢圓的第二定義將60 傾斜角、 |fa|=2|fb |這兩個(gè)條件與橢圓的離心率建立聯(lián)系?！疚摹?若 f 1、 f2 為雙曲線x2y 222 1 的左、右焦點(diǎn)， o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) p 在雙曲ab線的左支上，點(diǎn)m 在雙曲線的右準(zhǔn)線上，且滿足：f1o pm , op(of1om) (0) ，of 1om則該雙曲線的離心率為（）a 2b 3c

6、 2d 3第 2頁共10頁解：由 f opm 知四邊形 f1 omp 是平行四邊形，又 op ( of1om )1of 1om知 op 平分 f 1om ，即 f1omp 是菱形，設(shè) |of 1|=c，則 |pf 1|=c .又 |pf 2|-|pf 1|=2a， |pf 2|=2a+c ，由雙曲線的第二定義知e2ac21,且 e1， e= 2，故選 c.ce【范例2】定長為 3 的線段 ab 的兩個(gè)端點(diǎn)在 y=x 2 上移動(dòng)， ab 中點(diǎn)為 m，求點(diǎn) m到 x 軸的最短距離。分析： （ 1）可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)a(x1， x12)， b(x2， x22)，又設(shè) ab 中點(diǎn)為m(x0,y

7、0 )用弦長公式及中點(diǎn)公式得出y0 關(guān)于 x0 的函數(shù)表達(dá)式， 用函數(shù)思想求出最短距離。（ 2）m 到 x 軸的距離是一種“點(diǎn)線距離 ”，可先考慮 m 到準(zhǔn)線的距離， 想到用定義。解法一： 設(shè) a( x1， x12)， b(x2， x22)， ab 中點(diǎn) m(x0， y0)( x1x2 )2( x12x22 ) 29則 x1x22x0x12x222 y0由得 (x1-x2 )21+( x1+x2)2=9 ， 即 (x1+x2)2-4x1x2 1+( x1+x2)2=9由、得2x12020020代入得 (2x02-(8x0201+(202=9x =(2 x ) -2y =4x-2y)-4y )x

8、 ) 4 y04 x0292 ，1 4 x04 y04x029(4 x021)912 9 1 5,y054x0214 x0214當(dāng) 4x2即 x02時(shí)， ( y0 ) min525)0 +1=32此時(shí) m (2,44法 2：如圖 2 mm 2aa2bb2afbfab3y313b mm 2， 即 mm 1，m242a mm 15， 當(dāng) ab 經(jīng)過焦點(diǎn) f 時(shí)取得最小值。a10 m14b1x5 m 到 x 軸的最短距離為2m224abx1， x2，從而形成【點(diǎn)晴】 解法一是列出方程組，利用整體消元思想消y0 關(guān)于 x0的函數(shù)，這是一種 “設(shè)而不求 ”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將

9、中點(diǎn) m 到 x 軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為a、b 到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁 ”時(shí)，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒有驗(yàn)證ab 是否能經(jīng)過焦點(diǎn) f ，而且點(diǎn) m 的坐標(biāo)也不能直接得出。請(qǐng)思考：當(dāng)|ab |在什么范圍內(nèi)取值時(shí)不能用解法二？【文】（北京卷） 橢圓 x2y21(a, b 0) 的兩個(gè)焦點(diǎn) f 1、f 2，點(diǎn) p 在橢圓 c 上，a2b2第 3頁共10頁且 pf1 pf2，| pf 1|= 4 ， | pf 2|= 14 .33（ i）求橢圓 c 的方程；（ ii ）若直線

10、l 過圓 x2+y2+4x-2y=0 的圓心 m 交橢圓于 a、 b 兩點(diǎn)，且 a、b 關(guān)于點(diǎn) m 對(duì)稱，求直線 l 的方程。解法一： ( )因?yàn)辄c(diǎn) p 在橢圓 c 上，所以2apf1 pf2 6 ， a=3.在 rt pf 1f 2 中， f1 f2pf2222 5, 故橢圓的半焦距c= 5 ,pf1從而 b2=a2 c2=4, 所以橢圓 c 的方程為x 2y 29 1.( )設(shè) a4，b 的坐標(biāo)分別為（ x ,y ）、（ x ,y ） .1 122由圓的方程為（ x+2）2+(y1) 2=5,所以圓心 m 的坐標(biāo)為（ 2，1）.從而可設(shè)直線 l 的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓

11、c 的方程得（ 4+9k2） x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因?yàn)?a，b 關(guān)于點(diǎn) m 對(duì)稱 .所以 x1x218k 29k2.8 ，249k 2解得 k98 (x所以直線 l 的方程為 y2) 1,即 8x-9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意 )9解法二： ( )同解法一 .( )已知圓的方程為（x+2） 2 +(y 1) 2=5,所以圓心 m 的坐標(biāo)為（2， 1）.設(shè) a，b 的坐標(biāo)分別為（ x1,y1） ,(x2,y2).由題意 x1x2 且x12y121,9422x2y21,94( x1x2 )( x1 x2 )( y1 y2 )( y1 y2 )由得940.因

12、為 a、b 關(guān)于點(diǎn) m 對(duì)稱，所以 x1+ x2= 4, y1+ y2=2,y1y28，即直線l 的斜率為8，代入得x1x299所以直線 l 的方程為 y 1 8 （ x+2），即 8x9y+25=0.9( 經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)【范例 3】如圖 1，已知 a、b、c 是長軸為4 的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)a 是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)， bc 過橢圓中心uuur uuuruuuruuuro，且 ac ? bc0 ， bc2 ac 。（ 1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；（ 2）如果橢圓上兩點(diǎn) p、 q 使直線 cp、 cq 與 x 軸圍成底邊在 x 軸上的等腰三角形， 是否總存在實(shí)數(shù)第 4頁 共10頁

13、圖 1uuuruuur使 pqab ？請(qǐng)給出證明。解：（ 1）以 o 為原點(diǎn)， oa 所在的直線為x 軸建立如圖直角坐標(biāo)系，則a（ 2， 0），橢圓方程可設(shè)為x2y21(0 b 2) 。4b2而 o 為橢圓中心，由對(duì)稱性知|oc|=|ob|uuuruuur又 ac ? bc 0 ，所以 ac bcuuuruuur又 bc2 ac ，所以 |oc| |ac| ，所以 aoc 為等腰直角三角形，所以點(diǎn)c 坐標(biāo)為（ 1， 1）。將（ 1， 1）代入橢圓方程得 b2 4，則橢圓方程為x23y21。344（ 2）由直線 cp、cq 與 x 軸圍成底邊在x 軸上的等腰三角形，設(shè)直線cp 的斜率為 k，則直

14、線 cq 的斜率為 k，直線 cp 的方程為 y=k (x-1)，直線 cq 的方程為 y=-k (x-1)。由橢圓方程與直線 cp 的方程聯(lián)立，消去 y 得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2 -6k-1=0 因?yàn)?c（ 1， 1）在橢圓上，所以x1 是方程的一個(gè)根，于是3k 26k 13k26k 1xp3k 2同理 xq3k 211這樣， kpqypyq1， 又 b（ 1， 1），所以 kab1xpxq3，uuuruuur3即 kab=k pq。所以 pqab，存在實(shí)數(shù)使 pqab ?！军c(diǎn)晴】 利用斜率互為相反數(shù)關(guān)系，整體替換，可簡化解題過程?！疚摹浚?06 上海春 ）學(xué)?？萍夹?/p>

15、組在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn). 設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針方向）的軌跡方程為x 2y 21001 ，變軌（即航天器運(yùn)行25軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以y 軸為對(duì)稱軸、 m 0,64為頂點(diǎn)的拋物7線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為d( 8, 0 ) . 觀測點(diǎn) a( 4, 0)、 b( 6, 0) 同時(shí)跟蹤航天器.（ 1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；（ 2）試問： 當(dāng)航天器在 x 軸上方時(shí)， 觀測點(diǎn) a、 b 測得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？解：（ 1）設(shè)曲線方程為yax 264，由題意可知， 0 a 6464.a1.164777曲線方程為 yx

16、2.7 7（ 2）設(shè)變軌點(diǎn)為 c( x, y ) ，根據(jù)題意可知第 5頁共10頁x2y21,(1)10025y1x264(2)7,7得 4y 27y360 ，y4 或 y9 （不合題意，舍去） .y44.得 x6 或 x6 （不合題意，舍去） .c 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 6, 4 ) ， | ac | 2 5,| bc | 4 .答：當(dāng)觀測點(diǎn)a、 b 測得 ac 、 bc 距離分別為2 5、 4 時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出指令 .【范例 4】過拋物線 x2=4y 上不同兩點(diǎn) a、 b 分別作拋物線的切線相交于p 點(diǎn)，pa pb0.（ 1）求點(diǎn) p 的軌跡方程；（ 2）已知點(diǎn) f（ 0，1），是否存在實(shí)數(shù)使得

17、 fa fb( fp) 20 ？若存在，求出 的值，若不存在，請(qǐng)說明理由。解法（一）：（1）設(shè) a( x1, x12), b(x2 , x22), ( x1x2 )44由 x24 y,得： yxkpax1 ,kpbx2222pa pb 0,pa pb, x1x24直線 pa 的方程是 yx12x1 (xx1 ) 即 yx1 x x124224同理，直線 pb 的方程是：yx2 xx2224x1x2x2(x1, x2r)y1(xr).由得：點(diǎn) p 的軌跡方程是x1x2y1,4x12fbx22x1x2,1)（ 2）由（ 1）得： fa ( x1,1),(x2 ,1), p(442fp( x1 x2

18、, 2), x1 x24，fafbx1x2( x121)( x221)2x12x222x2 )2x12x22444(fp )2( x142 ，所以 fa fb( fp) 2044故存在=1 使得 fa fb(fp)20解法（二）：（1）直線 pa、 pb 與拋物線相切，且pa pb0,直線 pa、pb 的斜率均存在且不為0，且 papb,第 6頁共10頁設(shè) pa 的直線方程是ykxm(k, mr,k0)ykxm4kx4m0由4 y得： x2x216k 216m0 即 mk 2即直線 pa 的方程是： ykxk 2同理可得直線pb 的方程是： y1 x1k 2kk 2ykxxk1r由1x1 得：

19、kykk2y1故點(diǎn) p 的軌跡方程是 y1(xr).（ 2）由（ 1）得： a(2k, k 2 ), b(2 , 12 ), p(k1 ,1)2 , 1kkk1 , 2)fa (2k, k 21), fb(1) ， fp(k4 (k 2 1)( 12kk 212 )kfa fb1)2 (k 2( 1k1k(fp )2k)24 2 (k 2)kk 2故存在=1 使得 fa fb(fp)20【點(diǎn)晴】 拋物線的切線方程成了近幾年高考試題中的一個(gè)考查亮點(diǎn)。解法一、解法二是解決拋物線切線問題的常用方法，應(yīng)熟練掌握?！疚摹?已知 abc 的兩頂點(diǎn) a、 b 分別是雙曲線2x2-2y2=1 的左、右焦點(diǎn) ,

20、 且 sinc是 sina、sinb 的等差中項(xiàng) .（）求頂點(diǎn) c 的軌跡 t 的方程；作直線 l 交軌跡 t 于 m、 n 兩點(diǎn)，問 mpn 的大（）設(shè) p(-2,0), 過點(diǎn) e（ 2，0）7小是否為定值？證明你的結(jié)論.解： ( ) 由條件知a (-1 , 0 ) , b (1 , 0 )，且 sina + sinb = 2sinc |bc| + |ac | = 2|ab| = 4點(diǎn) c 的軌跡是以 a、b 為焦點(diǎn)，長軸長2a = 4 的橢圓（不包括x 軸上兩點(diǎn)） .點(diǎn) c 的軌跡 t 的方程是 x22y=1 (x 2)43y 2( ) 當(dāng) l x 軸時(shí)，直線 l 的方程為 x =2 ，代

21、入 x 2=1 解得 m、 n 的坐標(biāo)為743（212,），而 |pe| = 12 ， mpn = 90 ，777猜測 mpn= 90為定值 .證明：設(shè)直線l 的方程為 my = x + 2 ，x = my2773x2 + 4y2 = 12第 7頁共10頁由，得 (3m2 + 4) y 212 my576 = 074912m576 y1 + y2 =24)， y1 y2 =24)7(3m49(3m pm pn = ( x1 + 2 , y1) (x2 +2 , y2 ) = (x1 + 2 ) ( x2 +2) + y1 y2= ( my1 + 12 ) (my2 + 12 ) + y1 y2

22、 = (m2 +1) y1 y2 + 12 m (y1 + y2) + 14477749=( m2 +1)576+ 12 m12m4)+ 144 = 049(3 m24) 77(3m249 mpn = 90 ，為定值 . 自我提升1. 若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為f 1（ 1，0）， f2 （， 0），則其離心率為（c ）a.32114b.c.d.3242.雙曲線的虛軸長為4，離心率 e6， f 1、 f 2分別是它的左，右焦點(diǎn)，若過f12的直線與雙曲線的左支交于a、b兩點(diǎn)， 且 |ab|是 |af 2|與 |bf2|的等差中項(xiàng)， 則 |ab|為（a ）.a 、 82b、 42c、 22d、 83

23、. f1、f2 為橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)， q為橢圓上任一點(diǎn)， 以任一焦點(diǎn)作 f1 qf2的外角平分線的垂線，垂足為 p，則 p點(diǎn)軌跡為（ a） .a 、圓b、橢圓c、雙曲線d、拋物線4雙曲線x 2y 21的左支上一點(diǎn) p， o為 pf1f 2的內(nèi)切圓，則圓心o的橫坐a 2b 2標(biāo)為（ b） .a 、 ab 、 -ac、caac2d、2| x | y |則 (c)5. 已知點(diǎn) f1(-4,0) ， f2 (4,0), 又 p(x,y)是曲線31 上的點(diǎn) ,a. |pf |+|pf |=10510d. |pf|+|pf |10b. |pf |+|pf |b0）的兩焦點(diǎn)，過1的弦 ab2組成等腰直6. f、

24、fa 2b2f與 f角三角形 abf 2，其中 baf 2=900，則橢圓的離心率是_ 637已知橢圓 e 的離心率為e，左、右焦點(diǎn)為f 1、 f2，拋物線 c 以 f2為焦點(diǎn)， f1為其頂點(diǎn)，若p 為兩曲線的公共點(diǎn)，且e|pf 2|=|pf 1|，則 e _ 。338已知 o： x2+y2=4，一動(dòng)拋物線過a（ 1，0）、 b（ 1，0）兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則動(dòng)拋物線的焦點(diǎn)f 的軌跡方程為 _x 2y 21， y 0439如圖，已知三點(diǎn)a(7, 0)， b(7,0) ， c(2,12).第 8頁共10頁 若橢圓過 a、b 兩點(diǎn)，且 c 為其一焦點(diǎn)，求另一焦點(diǎn) p 的軌跡方程； 若雙曲線

25、的兩支分別過a、b 兩點(diǎn)，且 c 為其一焦點(diǎn)，求另一焦點(diǎn)q 的軌跡方程。解析： 由橢圓定義知， |ap| |ac| |bp| |bc|，即 |pb| |pa|ac|bc|2| ab| 14故 p 的軌跡為 a （ 7， 0）、 b（ 7， 0）為焦點(diǎn)實(shí)軸長為2 的雙曲線的一支，其方程為 x 2y 21( x 0) ；48a 在雙曲線的哪一支上, 經(jīng)討論知，無論總有 |qa| |qb| |ac| |bc| 28 |ab| 14故點(diǎn) q 的軌跡為以 a （ 7，0）、 b（ 7， 0）為焦點(diǎn)長軸長為28 的橢圓，其方程為x2y 21 。196147x2y25) 過其左焦點(diǎn)且斜率為1 的直線與橢圓及準(zhǔn)10已知橢圓m1(2 mm1線從左到右依次變于a、b、c、d，設(shè) f(m)=|ab|-|cd |,（ 1）求 f(m),（ 2）求 f(m)的最值。解：（ 1）橢圓 x 2y21 中， a2221mm 1=m， b =m-1， c =1，左焦點(diǎn) f (-1,0)則 bc:y=x +1,代入橢圓方程即 (m-1)x2+my2-m(m-1)=0yd得