簡單的三角恒等變換ppt課件

1、第 六 節(jié) 簡單的三角恒等變換,【知識梳理】 1.半角公式,2sin2,2cos2,2,2.輔助角公式 asin x+bcos x= sin(x+)， 其中sin = ,cos = .,已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4,y) 是角終邊上一點(diǎn)，且sin = ，則y=_. 【解題指導(dǎo)】1.借助三角函數(shù)的定義及函數(shù)y=Asin(x+)中 參數(shù)A，的含義求解,熱點(diǎn)考向 二 同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式 【典例】1.(2012萊蕪模擬)cos( )的值等于( ) (A) (B) (C)- (D) 2.(2012遼寧高考)已知sin -cos = ,(0,)，則 tan =( )

2、 (A)-1 (B)- (C) (D)1 3.(2012西城模擬)已知tan( +)=3，則sin 2-2cos2 的值為_.,【解題指導(dǎo)】1.負(fù)角化正角，然后借助誘導(dǎo)公式求解. 2.將等式sin -cos = 兩邊平方，得到2sin cos = -1，整理得sin +cos =0，解方程得到sin ,cos ，利 用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可. 3.先由已知求出tan ，再等價轉(zhuǎn)化求解. 【解析】1.選C. cos( )=cos =cos(6+ ) =cos =-cos =- .,2.選A.將等式sin -cos = 兩邊平方，得到2sin cos = -1，整理得 1+2sin cos =

3、0sin2+cos2+2sin cos =0(sin + cos )2=0sin +cos 0, 由sin -cos = 和sin +cos =0，解得sin = , cos =- ， 故tan = =-1.,3.由tan( +)=3，得 ，解得tan = .所以 sin 2-2cos2= 答案：-,【考點(diǎn)自測】 1.(思考)給出下列命題： 當(dāng)是第一象限角時， 對任意角， 都成立. 半角的正余弦公式實(shí)質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來的. 公式 中的取值與a,b的值無 關(guān).,函數(shù)y=sinx+cosx的最大值為2. 其中正確的是() A. B. C. D.,【解析】選C.錯誤.在第一象限時， 在

4、第一或第三象限. 當(dāng) 在第一象限時， ,當(dāng) 在第三象限時， 錯誤.此式子必須使tan 有意義且1+cos 0.即 k+ 且2k+,即(2k+1)(kZ). 正確.由半角公式推導(dǎo)過程可知正確.,錯誤.由 可知的取值與a,b 的值有關(guān). 錯誤. 故其最大值為 .,2.已知 (，2)，則cos 等于( ) 【解析】選B.因?yàn)?(，2)，所以 所以,3.化簡 等于( ) A.-sin B.-cos C.sin D.cos 【解析】選C.,4如果 ，且sin = 那么 【解析】選D.因?yàn)?所以cos = ， 而,5.(2014岳陽模擬)函數(shù)y= cos 4x+sin 4x的最小正周期 為 【解析】 答案

5、：,6.(2014孝感模擬)若 則 . 【解析】 答案：2 014,熱點(diǎn)考向 三 三角恒等變換 【典例】(12分)(2012蚌埠模擬)已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x +cos 2x(xR). (1)當(dāng)x取什么值時，函數(shù)f(x)取得最大值，并求其最大值； (2)若為銳角，且f(+ )= ，求tan的值. 【解題指導(dǎo)】(1)把f(x)化成Asin(x+)的形式. (2)由f(+ )= ，求出cos 2，求sin 2，求tan 2， 最終求tan .,【規(guī)范解答】(1)f(x)=2sin xcos x+cos 2x =sin 2x+cos 2x= = .3分 當(dāng)2x+ =2k+ (kZ)，

6、即x=k+ (kZ)時，函數(shù) f(x)取得最大值，其值為 .5分,(2)f(+ )= , sin(2+ )= , cos 2= .7分 為銳角，即0 ,02, , , ,10分, tan2+tan - =0, ( tan -1)(tan + )=0, tan = 或tan =- (不合題意，舍去), tan = .12分,已知- ，且sin +cos =a，其中 a(0，1)，則關(guān)于tan 的值，以下四個選項(xiàng)中可能正確的 是( ) (A)-2 (B)- (C)2或 (D)-2或- 【解析】選B.由題意知sin(+ )= a, 又a(0,1),- 0,tan (-1,0)， 故只有B項(xiàng)符合.,考

7、點(diǎn)1 利用三角恒等變換化簡求值 【典例1】(1)已知450540，則 的值 是( ) (2)(2014荊州模擬)化簡：sin2sin2+cos2cos2- cos 2cos 2 .,【解題視點(diǎn)】(1)利用倍角公式化簡. (2)從角、名、形、次數(shù)統(tǒng)一等幾個方面入手進(jìn)行化簡. 【規(guī)范解答】(1)選A.原式 因?yàn)?50540，所以225 270. 所以原式sin .故選A.,(2)方法一:(從“角”入手,復(fù)角單角) 原式=sin2sin2+cos2cos2- (2cos2-1) (2cos2-1) =sin2sin2+cos2cos2- (4cos2cos2- 2cos2-2cos2+1) =sin

8、2sin2-cos2cos2+cos2+cos2- =sin2sin2+cos2sin2+cos2- =sin2+cos2- =1- = .,方法二:(從“名”入手,異名化同名) 原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2- cos2cos2 =cos2-sin2(cos2-sin2)- cos2cos2 =cos2-sin2cos2- cos2cos2 =cos2-cos2(sin2+ cos 2),方法三(從“冪”入手，利用降冪公式先降次) 原式=,方法四:(從“形”入手，利用配方法，先對二次項(xiàng)配方) 原式=(sin sin -cos cos )2+2sin sin cos cos

9、- cos 2cos 2 =cos 2(+)+ sin 2sin 2- cos 2cos 2 =cos 2(+)- cos(2+2) =cos2(+)- 2cos 2(+)-1= . 答案：,【規(guī)律方法】 1.三角函數(shù)式的化簡遵循的三個原則 (1)一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,從而正確使用公式. (2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”. (3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分”等.,2.三角函數(shù)式化簡的方法 弦切互化,異名化同名,異角化同角;降冪或升冪

10、. 提醒:在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,根號中含有三角函數(shù)式時,一般需要升次.,三角函數(shù)式化簡的要求 (1)能求出值的應(yīng)求出值. (2)盡量使函數(shù)種數(shù)最少. (3)盡量使項(xiàng)數(shù)最少. (4)盡量使分母不含三角函數(shù). (5)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).,【變式訓(xùn)練】化簡: 【解析】原式 因?yàn)?,所以 ,所以 所以原式=-cos . 答案：-cos ,【加固訓(xùn)練】 1.化簡： 【解析】原式 答案：,2.化簡： 【解析】原式 答案：,考點(diǎn)3 三角恒等變換在研究圖象性質(zhì)中的應(yīng)用 【考情】利用三角恒等變換將三角函數(shù)化簡后研究圖象及性質(zhì)是高考的熱點(diǎn).在高考中以解答題的形式出現(xiàn),

11、考查三角函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性、周期、奇偶性、對稱性等問題.,高頻考點(diǎn)通關(guān),【典例3】(1)(2013湖北高考)將函數(shù)y= cos x+sin x(xR) 的圖象向左平移m(m0)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸 對稱，則m的最小值是( ) (2)(2014吉首模擬)函數(shù) 的最小正周 期等于( ),【解題視點(diǎn)】(1)將函數(shù)化為y=Asin(x)的形式再求解. (2)降冪將角統(tǒng)一后再化為y=Asin(x)的形式，利用周期公式求解,【規(guī)范解答】(1)選B.由已知 當(dāng)m= 時，平移后函數(shù)為y=2sin(x+ )=2cos x，其圖象關(guān)于 y軸對稱，且此時m最小. (2)選A.y 所以T.,【通關(guān)

12、錦囊】,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2011新課標(biāo)全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)= 則( ) A.y=f(x)在(0, )內(nèi)單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線x= 對稱 B.y=f(x)在(0, )內(nèi)單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線x= 對稱 C.y=f(x)在(0, )內(nèi)單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x= 對稱 D.y=f(x)在(0, )內(nèi)單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x= 對稱,【解析】選D.因?yàn)閒(x)= 所以f(x)在(0, )內(nèi)單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于x= 對稱.,2.(2014株洲模擬)已知函數(shù)f(x)= 則f(x)( ) A.周期為,且圖象關(guān)于點(diǎn)( ,0)對稱 B.最大值為2，且圖象關(guān)于點(diǎn)( ,0)對稱 C.周期

13、為2,且圖象關(guān)于點(diǎn)(- ,0)對稱 D.最大值為2，且圖象關(guān)于x= 對稱,【解析】選B.f(x)=,因?yàn)閤R,所以 所以-1sin(x- )1,則f(x)的最大值為2. 因?yàn)?1,所以周期T= =2. 當(dāng)x- =k(kZ)時，f(x)圖象關(guān)于某一點(diǎn)對稱， 所以當(dāng)k=0時，求出x= ,即f(x)圖象關(guān)于( ,0)中心對稱， 故選B.,3.(2013新課標(biāo)全國卷)設(shè)當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,則cos=. 【解析】f(x)=sin x-2cos x= sin(x+)，其中tan = -2，當(dāng)x+=2k+ 時，函數(shù)f(x)取得最大值，即=2k+ -.所以cos =cos

14、( -)=sin ，又因?yàn)閠an =-2， 在第四象限，所以sin =- ，即cos =- . 答案：-,【加固訓(xùn)練】 1.(2014泰安模擬)已知函數(shù)f(x)= sin x-cos x，xR， 若f(x)1，則x的取值范圍為( ),【解析】選B.根據(jù)題意，得f(x)2sin (x- )，f(x)1，所 以2sin (x- )1，即sin (x- ) ，由圖象可知滿足 解得 2kx2k (kZ),2.(2014南寧模擬)設(shè)a=sin 14+cos 14，b=sin 16 +cos 16，c= .則a，b，c按從小到大的順序排列為 【解析】a=sin 14+cos 14= sin 59， b=s

15、in 16+cos 16 sin 61，c sin 60. 因?yàn)?96061，所以sin 59sin 60sin 61， 所以acb. 答案：acb,3.(2011上海高考)函數(shù) 的最大值 為 . 【解析】 故函數(shù)的最大值是 答案：,4.(2012北京高考)已知函數(shù) (1)求f(x)的定義域及最小正周期. (2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.,【解析】(1)由sin x0，得xk,kZ，所以定義域?yàn)?x|xk,kZ. 所以最小正周期T= =. (2)令 所以單調(diào)遞減區(qū)間為,【規(guī)范解答4】三角變換在研究三角函數(shù)中的應(yīng)用 【典例】(12分)(2013陜西高考)已知向量a=（cos x, ）, b=( sin x,cos 2x),xR,設(shè)函數(shù)f(x)=ab. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在 上的最大值和最小值.,【審題】分析信息,形成思路,【解題】規(guī)范步驟,水到渠成 (1)f(x)=ab=cos x sin x cos 2x2分 = 4分 最小正周期T= =. 所以f(x)= 的最小正周期 為. 6分,(2) ,8分 由正弦曲線y=sin x在 上的圖象