高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計 2.4 線性回歸方程教學(xué)案 蘇教版必修3

1、2.4預(yù)習(xí)課本P7475，思考并完成以下問題 1變量間有哪些常見關(guān)系？ 2什么叫散點圖？怎樣作出散點圖？ 3.什么叫線性回歸方程？ 1變量間的常見關(guān)系(1)函數(shù)關(guān)系：變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示，是一種確定性關(guān)系(2)相關(guān)關(guān)系：變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來表達(dá)點睛函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系，如試驗田的施肥量x與水稻的產(chǎn)量y.當(dāng)自變量x每取一確定值時，因變量y的取值帶有一定的隨機(jī)性，即還受其他環(huán)境因素的影響2.散點圖(1)概念：將樣本中n個數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐標(biāo)系中，用來表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖(2

2、)作法：建立平面直角坐標(biāo)系，用橫坐標(biāo)表示一個變量，用縱坐標(biāo)表示另一個變量，將給出的數(shù)據(jù)所表示的點在坐標(biāo)系內(nèi)描出，即可得到散點圖點睛對于散點圖要注意以下幾點若所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，則變量間具有函數(shù)關(guān)系若所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，則變量間就具有相關(guān)關(guān)系若散點圖中的點的分布沒有什么規(guī)律，則這兩變量之間不具有相關(guān)關(guān)系，它們之間是相互獨立的3線性相關(guān)關(guān)系能用直線bxa近似表示的相關(guān)關(guān)系叫線性相關(guān)關(guān)系4線性回歸方程(1)概念：設(shè)有n對觀察數(shù)據(jù)如下：xx1x2x3xnyy1y2y3yn當(dāng)a，b使Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2取得最小值時，就稱方程bxa為擬合這

3、n對數(shù)據(jù)的線性回歸方程，該方程所表示的直線稱為回歸直線(2)用回歸直線進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合的一般步驟作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近如果散點在一條直線附近，用公式求出a，b，并寫出線性回歸方程1下列各組變量是相關(guān)關(guān)系的是_(1)電壓U與電流I；(2)圓面積S與半徑R；(3)糧食產(chǎn)量與施肥量；(4)廣告費(fèi)支出與商品銷售額解析：(1)(2)中兩個變量間是函數(shù)關(guān)系，(3)(5)中兩個變量之間有關(guān)系，但不能用函數(shù)表達(dá)，是相關(guān)關(guān)系答案：(3)(4)25名學(xué)生的化學(xué)和生物成績?nèi)缦卤硭荆簩W(xué)生A學(xué)生B學(xué)生C學(xué)生D學(xué)生E化學(xué)成績(分)8075706560生物成績(分)7065686462判斷化學(xué)和生物成績之間是

4、否具有相關(guān)關(guān)系_(填“具有”“不具有”)答案：具有相關(guān)關(guān)系的概念典例在下列各個量與量的關(guān)系中：正方體的表面積與棱長之間的關(guān)系；某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績和物理成績之間的關(guān)系；家庭的收入與支出之間的關(guān)系；某戶家庭用電量與水費(fèi)之間的關(guān)系其中是相關(guān)關(guān)系的為_解析正方體的表面積與棱長之間的關(guān)系是確定的函數(shù)關(guān)系；某戶家庭用電量與水費(fèi)之間無任何關(guān)系中，都是非確定的關(guān)系，但自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性答案判斷兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系，主要有兩種方法：一是根據(jù)相關(guān)關(guān)系的定義進(jìn)行判斷，看這兩個變量是否具有不確定性二是利用散點圖，看散點圖中的點是否都落在某一函數(shù)曲線附近 活學(xué)活用關(guān)于人體的脂肪含量(百分比

5、)與年齡關(guān)系的研究中，得到如下一組數(shù)據(jù)：年齡2327394145495053脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.6(1)將上表中的數(shù)據(jù)制成散點圖；(2)你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)年齡與脂肪含量近似成什么關(guān)系嗎？(3)若成線性相關(guān)關(guān)系，請你畫一條直線近似地表示這種線性關(guān)系解：(1)以年齡作為x軸，脂肪含量為y軸，可得相應(yīng)散點圖，如圖所示(2)從散點圖可以發(fā)現(xiàn)，年齡與脂肪含量之間具有線性相關(guān)關(guān)系(3)畫出的一條直線如上圖線性回歸方程的求法及應(yīng)用典例假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(單位：萬元)有如下的統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費(fèi)用y2.23.85.56.5

6、7.0若由資料知y與x成線性相關(guān)關(guān)系試求：(1)線性回歸方程bxa的系數(shù)a，b；(2)所求的回歸直線必過點P(，)嗎？(3)使用年限為10年時，試估計維修費(fèi)用是多少？(4)若設(shè)備的使用年限x每增加一年，則所支出的維修費(fèi)用y如何變化？解(1)4，5，90，iyi112.3，b1.23.ab51.2340.08.(2)線性回歸方程是1.23x0.08，又4，5，把點P(4,5)代入線性回歸方程知必過點P(，)(3)當(dāng)x10時，1.23100.0812.38，所以估計使用10年時維修費(fèi)用是12.38萬元(4)由線性回歸方程知，使用年限每增加一年維修費(fèi)用就提高1.23萬元(1)知道x與y呈線性相關(guān)關(guān)系

7、，無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗，否則進(jìn)行相關(guān)性檢驗，如果兩個變量之間本身不具備相關(guān)關(guān)系或相關(guān)性不顯著，即使求出回歸方程也是毫無意義的(2)用公式計算a，b的值時，要先算出b，然后才能算出a. 活學(xué)活用以下是江蘇省某城鎮(zhèn)收集到的新房屋的銷售價格y和房屋的大小x的數(shù)據(jù)：房屋大小x(m2)11511080135105銷售價格y(萬元)24.821.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求回歸方程；(3)估算一下96 m2的房價解：(1)散點圖如圖所示(2)109，23.2，60 975，iyi12 952.b0.196 2，ab23.20.196 21091.814 2.回歸直線方程為0.196

8、 2x1.814 2.(3)當(dāng)x96時，20.6.因此，96 m2的新房屋大約為20.6萬元層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1對于給定的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列說法正確的是_(填序號)都可以分析出兩個變量的關(guān)系；都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系；都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系；都可以作出散點圖答案：2根據(jù)下面四個散點圖中點的分布狀態(tài)，直觀上判斷兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系的是_答案：3已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x1234y2357則x與y之間的線性回歸方程bxa必過點_解析：首先可求2.5，4.25，又回歸直線必過點(，)，故回歸直線必過點(2.5,4.25)答案：(2.5,4.25)4已知某

9、工廠在2015年每月產(chǎn)品的總成本y(萬元)與月產(chǎn)量x(萬件)之間有線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為1.215x0.974，若月產(chǎn)量增加4萬件時，則估計成本增加_萬元解析：由11.215x10.974，21.215(x14)0.974，得211.21544.86(萬元)答案：4.865某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程ybxa，其中b20，ab；(2)預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該

10、產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？(利潤銷售收入成本)解：(1)由于(x1x2x3x4x5x6)8.5，(y1y2y3y4y5y6)80.所以ab80208.5250，從而回歸直線方程為y20x250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得Lx(20x250)4(20x250)20x2330x1 00020(x)2361.25.當(dāng)且僅當(dāng)x8.25時，L取得最大值故當(dāng)單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1下列兩個變量之間的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系的有_球的體積和它的半徑人的血壓和體重底面積為定值的長方體的體積和高城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)水平和平均工資答案：2.如圖，從5組數(shù)據(jù)對應(yīng)的點中去掉點_后，剩下

11、的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性就更好了解析：由散點圖知：呈帶狀區(qū)域時有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，故去掉D點答案：D3某單位為了了解用電量y度與氣溫x之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：氣溫()1813101用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程bxa中b2，預(yù)測當(dāng)氣溫為4 時，用電量的度數(shù)約為_解析：10，40，回歸方程過點(，)，40210a，a60.y2x60.令x4，(2)(4)6068.答案：684對某臺機(jī)器購置后的運(yùn)營年限x(x1,2,3)與當(dāng)年利潤y的統(tǒng)計分析知具備線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為y10.471.3x，估計該臺機(jī)器使用_年最合算解析：只要預(yù)計利潤

12、不為負(fù)數(shù)，使用該機(jī)器就算合算，即y0，所以10.471.3x0，解得x8.05，所以該臺機(jī)器使用8年最合算答案：85下表是廣告費(fèi)用與銷售額之間的一組數(shù)據(jù)：廣告費(fèi)用(千元)1461014銷售額(千元)1944405253銷售額y(千元)與廣告費(fèi)用x(千元)之間有線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為2.3xa(a為常數(shù))，現(xiàn)要使銷售額達(dá)到6萬元，估計廣告費(fèi)用約為_千元解析：7，41.6，則a2.341.62.3725.5.當(dāng)y6萬元60千元時，602.3x25.5，解得x15(千元)答案：156工人月工資y(元)依據(jù)勞動生產(chǎn)率x(千元)變化的線性回歸方程為5080x，當(dāng)勞動生產(chǎn)率提高1 000元時，工資平均提

13、高_(dá)元解析：線性回歸方程bxa中b的意義是當(dāng)x增加一個單位時，y的值平均變化b個單位，這是一個平均變化率，線性回歸方程不是一種確定關(guān)系，只能用于預(yù)測變量的值，所以當(dāng)x增加一個單位1千元時，工資平均提高80元答案：807如果在一次試驗中，測得(x，y)的四組數(shù)值分別是A(1,3)，B(2,3.8)，C(3,5.2)，D(4,6)，那么y與x之間的線性回歸方程是_解析：由題意，得2.5，4.5，iyi50.2，30，b1.04，a4.51.042.51.9，故線性回歸方程為1.04x1.9.答案：1.04x1.98已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性

14、回歸直線方程為bxa.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為ybxa，則以下結(jié)論正確的是_bb，aa；bb，aa；bb，aa；bb，aa.解析：，b，ab，b2b，a2a.答案：9某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20062008201020122014需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程bxa；(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2016年的糧食需求量解：(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回歸直線方程，先將數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份201042024需

15、求量257211101929由處理后的數(shù)據(jù)，容易算得0，3.2，b6.5.ab3.2.由上述計算結(jié)果，可知所求回歸直線方程為257b(x2 010)a6.5(x2 010)3.2.即6.5(x2 010)260.2.(2)利用所求得的直線方程，可預(yù)測2016年的糧食需求量為6.5(20162010)260.26.56260.2299.2(萬噸)10(全國卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值(xi)2(

16、wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，i.(1)根據(jù)散點圖判斷，yabx與ycd哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費(fèi)x49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線vu的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.解：(1)由散點圖可以判斷，ycd