等腰三角形三線合一典型題型

1、等腰三角形三線合一 專題訓(xùn)練 姓名 例1：如圖，四邊形ABCD中，ABDC，BE、CE分別平分ABC、BCD，且點E在AD上。求證：BC=AB+DC。變1：如圖，ABCD，A90，AB2，BC3，CD1，E是AD邊中點。求證：CEBE。變2：如圖，四邊形ABCD中，ADBC，E是CD上一點，且AE、BE分別平分BAD、ABC. （1）求證：AEBE； （2）求證：E是CD的中點； （3）求證：AD+BC=AB.BCEAD 變3：ABC是等腰直角三角形 ，BAC=90,AB=AC.若D為BC的中點，過D作DMDN分別交AB、AC于M、N，求證：（1）DMDN。若DMDN分別和BA、AC延長線交于

2、M、N。問DM和DN有何數(shù)量關(guān)系。(1) 已知：如圖，AB=AC，E為AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，且BE=CF，EF交BC于點D求證：DE=DF(2)已知：如圖，AB=AC，E為AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，且，EF交BC于點D，且D為EF的中點求證：BE=CF利用面積法證明線段之間的和差關(guān)系1、如圖，在ABC中，AB=AC，P為底邊BC上的一點，PDAB于D，PEAC于E，CFAB于F，那么PD+PE與CF相等嗎？ 變1：若P點在直線BC上運動，其他條件不變，則PD 、PE與CF的關(guān)系又怎樣，請你作圖，證明。1、已知等腰三角形的兩邊長分別為4、9，則它的周長為（ ）A 17 B 2

3、2 C 17或22 D 13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律例1在ABC中，AB=AC，1=ABC，2=ACB，BD與CE相交于點O，如圖，BOC的大小與A的大小有什么關(guān)系？ 若1=ABC，2=ACB，則BOC與A大小關(guān)系如何？若1=ABC，2=ACB，則BOC與A大小關(guān)系如何？會用等腰三角形的判定和性質(zhì)計算與證明例2如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個等腰三角形周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長利用等腰三角形的性質(zhì)證線段相等例3如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ=60，且BQ=BP，連結(jié)CQ （1）觀察并猜想AP與

4、CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷PQC的形狀，并說明理由例1、等腰三角形底邊長為5cm，腰上的中線把三角形周長分為差是3cm的兩部分，則腰長為（ ）A、2cm B、8cm C、2cm或8cm D、不能確定ABC例2、已知AD為ABC的高，AB=AC，ABC周長為20cm，ADC的周長為14cm，求AD的長。例3、如圖，已知BC=3，ABC和ACB的平分線相交于點O，OEAB，OFAC，求OEF 的周長。ABFCOE例4、如圖，已知等邊ABC中，D為AC上中點，延長BC到E，使CE=CD，連接DE，試說明DB=DE。ABCDE例5、等腰三角

5、形一腰上的高與底邊的夾角為450，則這個三角形是（ ）A、銳角三角形 B、鈍角三角形 C、等邊三角形 D、等腰直角三角形例6、（1）等腰三角形的腰長為10，底邊上的高為6，則底邊的長為 。 （2）直角三角形的周長為12cm，斜邊的長為5cm，則其面積為 ； （3）若直角三角形三邊為1，2，c，則c= 。例7、下列說法：若在ABC中a2+b2c2，則ABC不是直角三角形；若ABC是直角三角形，C=900，則a2+b2=c2；若在ABC中，a2+b2=c2，則C=900；若兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，可以判定這個三角形是直角三角形。正確的有 （把你認為正確的序號填在橫線上）。例8、正三角形AB

6、C所在平面內(nèi)有一點P，使得PAB、PBC、PCA都是等腰三角形，則這樣的P點有（）（A）1個（B）4個（C）7個（D）10個例9. 四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD于點E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE=（）A2B3CD例10. 已知ABC為正三角形，P為其內(nèi)一點，且AP=4，BP=，CP=2，則ABC 的邊長為 （ ）（A） （B） （C）4 （D）三鞏固練習(xí)1、已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于9，求它的周長。2、在ABC中，AB=AC，B=400，則A= 。3、等腰三角形的一個內(nèi)角是700，則它的頂角為 。4、有一個內(nèi)角為40的等腰三角形的另外兩個內(nèi)角

7、的度數(shù)為 .140呢 DCBA5、如圖，在RtABC中，C105o，直線BD交AC于D，把直角三角形沿著直線BD翻折，點C恰好落在斜邊AB上，如果ABD是等腰三角形，那么A等于 （ ）(A)40o (B) 30o (C) 25o (D )15o6、若ABC三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，則ABC的形狀為（ ）（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等邊三角形7、判定兩個等腰三角形全等的條件可以是 （ ）。A、有一腰和一角對應(yīng)相等 B、有兩邊對應(yīng)相等 C、有頂角和一個底角對應(yīng)相等 D、有兩角對應(yīng)相等8、等腰三角形一腰上的高線與底邊的

8、夾角等于（ ）A、頂角 B、底角 C、頂角的一半 D、底角的一半9、在等腰三角形ABC中，A與B度數(shù)之比為52，則A的度數(shù)是（ ）A、100 B、75 C、150 D、75或10010、如圖，P、Q是ABC邊BC上的兩點，且QCAPAQBPPQ，則BAC（ ）A、1250 B、1300 C、900 D、120011、如圖，ABC中，ABAC，BD、CE為中線，圖中共有等腰三角形（ ）個。10題圖11題圖12題圖A、4個 B、6個 C、3個 D、5個 12、如圖，ABAC，AEEC，ACE280，則B的度數(shù)是（ ） A、600 B、700 C、760 D、45013、如圖是一個等邊三角形木框，甲

9、蟲P在邊框AC上（端點A、C除外），設(shè)甲蟲P到另外兩邊距離之和為d，等邊三角形ABC的高為h，則d與h的大小關(guān)系是（ ） 【解題方法指導(dǎo)】 例1. 已知，如圖，ABACCD，求證：B2D 例2. 已知，如圖，ABC是等邊三角形，AD/BC，ADBD，BC6，求AD的長。 【考點指要】 等腰三角形、等邊三角形及含30角的直角三角形是應(yīng)用非常廣泛的圖形，因此，在中考試題中經(jīng)常以證明題或計算題頻頻出現(xiàn)，而且經(jīng)常把它們結(jié)合在一道題中加以應(yīng)用，雖然題目的難度不是很大，但也要善于分析，找出圖形中有關(guān)的性質(zhì)。【典型例題分析】 例1. （2005年 蘇州） 如圖，等腰三角形ABC的頂角為120，腰長為10，則

10、底邊上的高AD_。 例2. 已知，如圖，ABC中，C90，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，AD8，A30，求CD的長。 例3. 已知，如圖，ABC是等邊三角形，E是AB上一點，D是AC上一點，且AECD，又BD與CE交于點F，試求BFE的度數(shù)?！揪C合測試】 1. 已知，如圖，ABAC，ABDACD，求證：DBDC 2. 已知，如圖，D、E是BC上兩點，ABAC，ADAE，求證：BDCE 3. 已知，如圖，ABC中，DE/BC，ABAC，求證：ADAE 4. 已知，如圖，ABC中，ABAC，D是AB上一點，E是AC延長線上一點，DE交BC于F，又BDCE，求證：DFEF 5. 已知，如圖

11、，D是BC上一點，ABC、BDE都是等邊三角形，求證：ADCE 6. 已知，如圖，ABC中，B90，AC的垂直平分線交AC于D，交BC于E，又C15，EC10，求AB的長。例6、如圖11，在ABC中，A90，ABAC，D為BC邊中點，E、F分別在AB、AC上，且DEDF，求證：AEAF是一個定值.證明：連接AD， ABAC，D為BC中點，ADBC，BAC90，ABAC， BC45，BAD45，CAD45，ADBDCD，EDF90，EDAADF90，又由ADBC得BDEADE90，BDEADF，在BDE和ADF中，BDAF，BDAD，BDEADF，BDEADF，BEAF，AEAFAEBEAB（定

12、值）.思考：四邊形AEDF的面積是否也是定值呢？為什么？例4、如圖9，已知AD為ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，且有BFAC，F(xiàn)DCD，你認為BE與AC之間有怎樣的位置關(guān)系?你能證明它嗎？證明：線段BEAC，理由如下：ADBC，ADBADC90，F(xiàn)BDBFD90， 在RtBDF和RtADC中，BFAC，F(xiàn)DCD，RtBDFRtADC，BFDC，F(xiàn)BDC90，BEC180（FBDC）1809090，即BEAC.例5、如圖10，在ABC中，ACB90，ACBC，M是AB上一點，求證：.證明：過C作CDAB于點D，ACB90，ACBC，CDAB，AB45，ACDBCD45，AACD，BB

13、CD，ADBD，BDCD，即ADBDCD，CDAB，.思考：請同學(xué)們試試用另外的方法來證明本題.例1、如圖5，在ABC中，ABAC，點O在ABC內(nèi)，OBOC，求證：AOBC.證明：延長AO交BC于點D，ABAC，OBOC，OAOA，ABOACO，BAOCAO，即BADCAD，ADBC，即AOBC.例2、如圖6，在等邊ABC中，D、E分別在邊BC、BA的延長線上，且AEBD，求證：CEDE.證明：過E作EFCD于點F，ABC是等邊三角形，B60，BEF30，BE2BF，即BAAEBCBD2BCCD2（BCCF），CD2CF， CFDF，在CEF和DEF中，CFDF，CFEDFE90，EFEF，C

14、EFDEF，CEDE.例3、如圖7，已知在ABC中，ABAC，P為底邊BC上任意一點，PDAB于點D，PEAC于點E，求證：PDPE是一個定值.解：連接AP，過點C作CFAB于點F，由，得：，即，（定值）.說明：本例的結(jié)論可用文字語言敘述為：等腰三角形底邊上一點到兩腰的距離之和等于腰上的高.拓展：如果點P不是在邊BC上，而是在BC的延長線上，其它條件保持不變，那么PD與PE之間又有怎樣的關(guān)系呢？解：連接AP，過點C作CFAB于點F，（如圖8）由，得：，即,（定值）.即，當點P在BC延長線上時，PD與PE之差為一定值.基礎(chǔ)訓(xùn)練：1、填空題：（1）等腰三角形中，如果底邊長為6，一腰長為8，那么周長

15、是 。（2）如果等腰三角形有一邊長是6，另一邊長是8，那么它的周長是 ；如果等腰三角形的兩邊長分別是4、8，那么它的周長是 。（3）等腰三角形的對稱軸最多有 條。2、填空題：（1）如果ABC是等腰三角形，那么它的邊長（或周長）可以是（ ）A、三條邊長分別是5，5，11 B、三條邊長分別是4，4，8C、周長為14，其中兩邊長分別是4，5 D、周長為24，其中兩邊長分別是6，12（2）等腰三角形一邊長為2，周長為5，那么它的腰長為（ ）A、3 B、2 C、1.5 D、2或1.53、已知等腰三角形的腰長是底邊的3倍，周長為35cm，求等腰三角形各邊的長。4、已知：如圖，AD平分BAC，AB=AC，請

16、你說明DBC是等腰三角形。ABCDx+2y=43x+y=75、已知等腰三角形的底邊和一腰長是方程組 的解，求這個三角形的各邊長。（1）等腰三角形的頂角平分線、 、 互相重合。（2）等腰三角形有一個角是120，那么其他兩個角的度數(shù)是 和 。（3）ABC中，A=B=2C，那么C= 。（4）在等腰三角形中，設(shè)底角為x，頂角為y，則用含x的代數(shù)式表示y，得y= ；用含y的代數(shù)式表示x，得x= 。 2、選擇題：（1）等腰三角形的一個外角為140，那么底角等于（ ）A、40 B、100 C、70 D、40或70（2）等腰三角形一腰上的高線與底邊的夾角等于（ ）A、頂角 B、底角 C、頂角的一半 D、底角的

17、一半（3）在等腰三角形ABC中，A與B度數(shù)之比為52，則A的度數(shù)是（ ）A、100 B、75 C、150 D、75或100（4）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分線，則“ADBC，BD=DC，B=C，BAD=CAD”中，結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）A、4 B、3 C、2 D、13、如圖，已知ABC中，D在BC上，AB=AD=DC，C=20，求BAD。ABCDABCDE4、如圖，已知ABC中，點D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。請說明BD=CE的理由。1、填空題：（1）在ABC中，A的相鄰?fù)饨鞘?10，要使ABC是等腰三角形，則B= 。（2）在一個三角形中，等角對 ；等邊對 。（3）如果等腰三角形底邊上的高線和腰上的高線相等，則它的各內(nèi)角的度數(shù)是 。ABCD（4）如圖，AB=AC，BD平分ABC，且C=2A， 則圖中等腰三角形共有 個。2、選擇題：如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=108，ADB=72，ABCDEDE平分ADB，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（ ）A、3 B、4 C、5 D