考研高數(shù)講義新高等數(shù)學(xué)上冊(cè)輔導(dǎo)講義第三章上課資料

1、第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第一節(jié) 微分中值定理極值:設(shè)在的某一鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)一切有,則稱在取得極?。ù螅┲担Q是的極?。ù螅┲迭c(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值，極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。費(fèi)馬引理：設(shè)在取極值，又存在，則。在取極值的必要條件：可導(dǎo)的極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)必為零。駐點(diǎn)：若，則稱為的駐點(diǎn)?？蓪?dǎo)的極值點(diǎn)一定為駐點(diǎn)，但是駐點(diǎn)不一定為極值點(diǎn)。定理1（羅爾定理）：條件：在上連續(xù)；在可導(dǎo)；結(jié)論：一定存在，使得。幾何意義：設(shè)是（1）定義在上的光滑曲線；（2）若除端點(diǎn)外處處有不垂直于軸的切線；（3）兩端點(diǎn)縱坐標(biāo)相等則在上至少存在一點(diǎn)，其切線是水平的即兩端點(diǎn)同高的連續(xù)曲線內(nèi)至少有一點(diǎn)的切線是水平的（如

2、圖所示）【例1】（96二）設(shè)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：存在和使及.定理2（拉格朗日中值定理）：條件：在上連續(xù)；在可導(dǎo)結(jié)論：一定存在，使得幾何意義：設(shè)是（1）定義在上的光滑曲線；（2）若除端點(diǎn)外處處有不垂直于軸的切線；則在內(nèi)至少有一點(diǎn)處的切線平行于弦與羅爾定理的關(guān)系：羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況。 【例2】（90一）設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.【例3】（95三）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.【例4】 設(shè)在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在可導(dǎo)，且【例5】 證明不等式，對(duì)一切成立推論1：若在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒為零，則在區(qū)間

3、上為常數(shù)推論2：若，有，則。定理3（柯西中值定理）：條件：，在上連續(xù)；在可導(dǎo)；結(jié)論：一定存在，使得（設(shè)曲線參數(shù)方程為，則） 【例6】設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得注：三個(gè)中值定理的關(guān)系費(fèi)馬定理羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理定理4（泰勒定理帶拉格朗日余項(xiàng)）泰勒公式1條件：在含有的某開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)結(jié)論：對(duì)任意，至少存在一點(diǎn)介于與之間，使得 該式為在點(diǎn)處的泰勒展開式，其中稱為拉格朗日余項(xiàng)。泰勒公式2條件：在含有的某鄰域內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù);存在結(jié)論：對(duì)任意，有，其中。 該式中余項(xiàng)稱為皮亞諾余項(xiàng)。 泰勒公式中，當(dāng)時(shí)，稱為麥克勞林公式，即其中或常用的麥克勞林展開式： 泰勒公式的應(yīng)用

4、求極限，確定無(wú)窮小的階數(shù)1、求極限【例7】（92一）求【答案】1【例8】（87二）求極限【答案】【例9】（91二）求【答案】2、確定無(wú)窮小的階【例10】（92二）當(dāng)時(shí)，是的（A）低階無(wú)窮小. （B）高階無(wú)窮小.（C）等價(jià)無(wú)窮小. （D）同階但非等價(jià)無(wú)窮小.【答案】（B）【例11】（96二）設(shè)當(dāng)時(shí)，是比高階的無(wú)窮小，則（A）. （B）.（C）. （D）.【答案】（A）第二節(jié) 洛必達(dá)法則兩種基本未定式：:（1）:，（2） :，洛必達(dá)法則：條件：（1）滿足基本未定式（2）與在的附近內(nèi)可導(dǎo)，且；（3）存在（或?yàn)椋?，結(jié)論：注1：注2：在用洛必達(dá)法則時(shí)，只要滿足其條件，那么可以連續(xù)使用；注3：我們?cè)谑褂寐?/p>

5、必達(dá)法則時(shí)，可以與求解極限的其它方法聯(lián)合使用；注4：在洛必達(dá)法則中條件（2）和條件（3），若有一個(gè)不成立，都說(shuō)明此時(shí)不可以使用洛必達(dá)法則，需要使用其它的方法求解?！纠?2】 極限存在么？能否用洛必達(dá)法則求其極限？【答案】1【例1】（87三）求極限（）【答案】1【例2】（92一）求.【答案】1【例3】（91二）求.【答案】【例4】（92二） .【答案】0注5：其它類型的未定式（，）的求解：【例5】（93二） .【答案】0【例6】（93二）求.【答案】【例7】（99一） .【答案】【例8】（94三）求極限.【答案】【例9】（94一） .【答案】【例10】（88二） .【答案】1【例11】（89三）

6、求極限【答案】第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性和極值一、函數(shù)單調(diào)性的判別法設(shè)在連續(xù)，在上可導(dǎo)，結(jié)論1：在上嚴(yán)格單調(diào)在上，且在的任意小區(qū)間上不恒等于零。結(jié)論2：在上單調(diào)在上結(jié)論3：在上在上單調(diào)?！纠?】（95二）設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則（ ）（A） 對(duì)任意，. （B）對(duì)任意，.（C）函數(shù)單調(diào)增加. （D）函數(shù)單調(diào)增加.【答案】（D）【例2】（95一二）設(shè)函數(shù)在上，則、或的大小順序是（A） . （B）.（C）. （D）.【答案】（B）【例3】（91三）試證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加.【例4】（94三）假設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)存在且大于零，記.證明：在內(nèi)單調(diào)增加.二、函數(shù)的極值（復(fù)習(xí)）極值定義：設(shè)在的某一鄰域

7、內(nèi)有定義，若對(duì)一切有則稱在取得極?。ù螅┲担Q是的極?。ù螅┲迭c(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值，極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。（復(fù)習(xí)）極值點(diǎn)的必要條件（費(fèi)馬定理）：設(shè)是的一個(gè)極值點(diǎn)，且存在，則。極值的第一充分條件：設(shè)在的某鄰域連續(xù)，在此鄰域內(nèi)可導(dǎo)（可以除外），若， ，則是的一個(gè)極大值（極小值）點(diǎn)。若在兩側(cè)不變號(hào)，則 不是的極值點(diǎn)。求極值的方法：（1）求函數(shù)的定義域和；（2）找和不存在的點(diǎn)；（3）判斷（2）中求出點(diǎn)兩側(cè)的的符號(hào)，得結(jié)論?！纠?】（90一二）已知在的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則在點(diǎn)處（ ）（A）不可導(dǎo). （B）可導(dǎo)，且.（C）取得極大值. （D）取得極小值.【答案】（D）【例6】（87一）

8、當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取得極小值.【答案】取極值的第二充分條件：設(shè)在的某鄰域可導(dǎo)，且存在。 若求極值的方法：（1）求函數(shù)的定義域和；（2）找和不存在的點(diǎn)；（3）用充分條件二判斷的點(diǎn)，用充分條件一判斷不存在的點(diǎn)，得結(jié)論。【例7】設(shè)是由方程確定的，求的駐點(diǎn)，并判定其駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)？【答案】駐點(diǎn)：；極小值點(diǎn)三、最大值與最小值閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)存在最大值和最小值，最值的可能點(diǎn)：駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)。求最值的方法求函數(shù)在上的最值：(1)求，求出在上的駐點(diǎn)和使不存在的點(diǎn)；(2)求出所求各點(diǎn)的函數(shù)值以及端點(diǎn)處的函數(shù)值（極限值）。比較大小，最大者為最大值，最小者為最小值?！纠?】求在內(nèi)的最大值、最小值?！敬鸢浮繜o(wú)最大

9、值 最小值點(diǎn)：；最小值：特殊情況：可能的極值點(diǎn)唯一，根據(jù)該點(diǎn)左右兩側(cè)的單調(diào)性來(lái)判斷最值?！纠?】（92二）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為 .【答案】特殊情況：從實(shí)際應(yīng)用中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，若僅有一個(gè)駐點(diǎn)，則該點(diǎn)處的函數(shù)值就是所要求的最值，而不必進(jìn)行判斷。特別地：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)且只有唯一的一個(gè)極值點(diǎn)，則當(dāng)是極大（?。┲迭c(diǎn)時(shí)它也就是在上最大（小）值點(diǎn)。【例10】 在半徑為的球內(nèi)作一內(nèi)接圓柱體，要使圓柱體的體積最大，問(wèn)其高及底半徑應(yīng)是多少？第四節(jié) 曲線的凹凸性和拐點(diǎn)一、曲線的凹凸性定義：凹凸性的判別法：1、 在區(qū)間內(nèi)是凹（凸）的在區(qū)間嚴(yán)格單調(diào)上升（下降）2、設(shè)在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)，且在內(nèi)的任何子區(qū)間上不恒等

10、于零，則在區(qū)間內(nèi)是凹（凸）的。常用的充分判別法：函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)，且在上為凹（凸）的【例1】（91二）曲線的上凸區(qū)間是 .【答案】二、拐點(diǎn)定義：連接曲線的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)叫做曲線的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)的必要條件：若是曲線的拐點(diǎn)且存在，則。拐點(diǎn)的充分條件：充分條件一：若在處連續(xù)，在兩側(cè)反號(hào)，則是曲線的拐點(diǎn)。充分條件二：若在處三階可導(dǎo)，且，而，則是曲線的拐點(diǎn)。推廣：若在處階可導(dǎo)，且，而，則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是曲線的極值點(diǎn)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是曲線的拐點(diǎn)。求拐點(diǎn)的方法：（1）求函數(shù)的定義域和；（2）找和不存在的點(diǎn)；（3）用充分條件二判斷的點(diǎn)，用充分條件一判斷不存在的點(diǎn)，得結(jié)論?！纠?】（90二）求曲線

11、的拐點(diǎn).【答案】【例3】 設(shè)函數(shù)在上有定義，則下述命題中正確的是（ ）(A)若在上可導(dǎo)且單調(diào)增加，則對(duì)一切，都有(B)若在點(diǎn)處取得極值，則(C)若，則是曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)(D)若，則一定不是的極值點(diǎn)?！敬鸢浮浚―）【例4】設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，是的拐點(diǎn)，則（ ）(A) 必是的駐點(diǎn)(B) 必是的拐點(diǎn)(C) 必是的拐點(diǎn)(D)對(duì) 與，的凹凸性相反【答案】（B）【例5】設(shè)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且，則（ ）(A)是的極大值(B)是的極小值(C)是曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)(D)不是的極值，也不是曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)【答案】（B）【例6】 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且則（ ）(A)點(diǎn)為的零點(diǎn)(B) 點(diǎn)為的極值點(diǎn)(C)當(dāng)時(shí)，

12、為拐點(diǎn)(D) 當(dāng)時(shí)，為拐點(diǎn)【答案】（D）第五節(jié) 漸近線曲線的漸近線有三種：垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線。 垂直漸近線：若或或 平行漸近線：若或或斜漸近線：若， 【例1】（89一二）當(dāng)時(shí)，曲線（A） 有且僅有水平漸近線. （B）有且僅有鉛直漸近線.（C）既有水平漸近線，也有鉛直漸近線. （D）既無(wú)水平漸近線，又無(wú)鉛直漸近線.【答案】（A）【例2】（91一）曲線（A） 沒有漸近線. （B）僅有水平漸近線.（C）僅有鉛直漸近線. （D）既有水平漸近線又有鉛直漸近線.【答案】（D）【例3】（89二）對(duì)函數(shù)求解：?jiǎn)握{(diào)增減區(qū)間；極值和極值點(diǎn)；凹凸區(qū)間；拐點(diǎn)；漸近線?！纠?】（94二）設(shè)，求（I）函數(shù)的

13、增減區(qū)間及極值；（II）函數(shù)圖像的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)；（III）漸近線。 本章強(qiáng)化練習(xí)1、 洛必達(dá)法則求解極限1、（00二） .答案：2、（03二）設(shè)函數(shù)問(wèn)為何值時(shí)，在處連續(xù)；為何值時(shí)，是的可去間斷點(diǎn)？3、（08三）求極限.答案：4、（03三）設(shè)，.試補(bǔ)充定義使得在上連續(xù).答案：定義5、 （04三）求.答案：6、 （06一二）設(shè)數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計(jì)算.答案：7、求答案：8、設(shè)在連續(xù)，且滿足，求答案：9、（1）設(shè)，連續(xù)，且，又，求證：無(wú)窮??；（2）求10、求數(shù)列極限，其中答案：11、（97二）若當(dāng)時(shí)與時(shí)同階無(wú)窮小，則為（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4答案：（C）2、

14、泰勒公式的應(yīng)用1、（02二）設(shè)函數(shù)在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明：存在唯一的一組實(shí)數(shù)使得當(dāng)時(shí)，是比高階的無(wú)窮小. 答案：2、 （06二） 試確定的值，使得，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無(wú)窮小.答案：3、用泰勒公式求下列極限： （） 答案： （）答案：3、 函數(shù)性質(zhì)的討論 （一）單調(diào)性與極值1、（98二）設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且為其極大值，則存在當(dāng)時(shí)，必有（A） （B）（C） （D）答案：（C）2、（03一二）設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如右圖所示，則有（A）一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).（B）兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).（C）兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).（D）三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).答案

15、：（C）3、（00二）設(shè)函數(shù)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且則當(dāng)時(shí)，有（ ）（A） （B）（C） （D）答案：（A）4、設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足，則 （A） 是的駐點(diǎn)，且為極大值點(diǎn) （B）是的駐點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)（C）是的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn) （D）不是的駐點(diǎn) 答案：（C）5、 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，在內(nèi)單調(diào)增加，試證：在內(nèi)也單調(diào)增加（二）凹凸性與拐點(diǎn)1、（00二）設(shè)函數(shù)滿足關(guān)系式且則（A）是的極大值.（B）是的極小值.（C）點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn).（D）不是的極值，點(diǎn)也不是曲線的拐點(diǎn).答案：（C）2、（01二）曲線的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（A）0. （B）1. （C）2. （D）3.答案：（C）3、（04二三）設(shè)則

16、（A）是的極值點(diǎn)，但不是曲線的拐點(diǎn).（B）不是的極值點(diǎn)，但是曲線的拐點(diǎn).（C）是的極值點(diǎn)，且是曲線的拐點(diǎn).（D）不是的極值點(diǎn)，也不是曲線的拐點(diǎn).答案：（C）4、設(shè)分別滿足如下兩個(gè)條件中的任何一個(gè)：（）在處三階可導(dǎo)，且（A）不是的極值，不是曲線的拐點(diǎn)（B）是的極小值（C）是曲線的拐點(diǎn)（D）是的極大值答案：（C）（）在鄰域二階可導(dǎo)，且， 則下列說(shuō)法正確的是：（A）不是的極值，不是曲線的拐點(diǎn)（B）是的極小值（C）是曲線的拐點(diǎn)（D）是的極大值答案：（B）5、（07三）設(shè)函數(shù)由方程確定，試判斷曲線在點(diǎn)（1，1）附近的凹凸性.（三）最值的求解1、在橢圓的第一象限部分上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切線，橢圓及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最小。答案：（四）漸近線1、（99二）已知函數(shù)求（）函數(shù)的增減區(qū)間及極值；（）函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)；（）函數(shù)圖形的漸近線.2、（00三）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，并求該函數(shù)圖形的漸近線.四、不等式的證明1、（01二）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，嚴(yán)格單調(diào)減少，且則（A）在和內(nèi)均有（B）在和內(nèi)均有（C）在內(nèi),，在內(nèi),（D）在內(nèi)，在內(nèi)，答案：（A）2、（98二）設(shè)證明：3、（02二）設(shè)證明不等式 五、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論1、（97二）就的不同取值情況，確定方程在開區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.2、（03二）討論曲線