課時(shí)提升作業(yè)（十三）

1、溫馨提示： 此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(十三)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.若雙曲線x28-y2m=1的漸近線方程為y=2x，則實(shí)數(shù)m等于()A.4B.8C.16D.32【解析】選D.由題意，得雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，且a2=8，b2=m，所以a=22，b=m.又漸近線方程為y=2x，所以m8=4.所以m=32.2.(2015全國卷)已知A，B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為()A.5B.2C.3D.2

2、【解析】選D.設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a0，b0)，如圖所示，|AB|=|BM|，ABM=120，過點(diǎn)M作MNx軸，垂足為N，在RtBMN中，|BN|=a，|MN|=3a，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(2a，3a)，代入雙曲線方程得a2=b2=c2-a2，即c2=2a2，所以e=2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知04，則雙曲線C1：x2cos2-y2sin2=1與C2：y2sin2-x2sin2tan2=1的()A.實(shí)軸長相等B.虛軸長相等C.焦距相等D.離心率相等【解析】選D.因?yàn)?0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線C上一點(diǎn)，則POF的大小不可能是()A.15B.25C.60D.165【解析】選C

3、.雙曲線的漸近線方程為y=33x，所以漸近線的傾斜角為30或150，所以POF不可能等于60.4.(2015銀川高二檢測)已知雙曲線x22-y2b2=1(b0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其一條漸近線方程為y=x，點(diǎn)P(3，y0)在雙曲線上，則PF1PF2=()A.-12B.-2C.0D.4【解題指南】由漸近線方程求出b，得到雙曲線方程，進(jìn)而求出F1，F(xiàn)2及P的坐標(biāo)即可.【解析】選C.由漸近線方程為y=x知，b2=1，所以b=2，因?yàn)辄c(diǎn)P(3，y0)在雙曲線上，所以y0=1，y0=1時(shí)，P(3，1)，F(xiàn)1(-2，0)，F(xiàn)2(2，0)，所以PF1PF2=0，y0=-1時(shí)，P(3，-1)，PF1

4、PF2=0.5.設(shè)P是雙曲線x2a2-y29=1上一點(diǎn),雙曲線的一條漸近線方程為3x-2y=0,F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若|PF1|=3,則|PF2|=()A.1或5B.6C.7D.9【解析】選C.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為3x-2y=0,所以ba=32,因?yàn)閎=3,所以a=2.又|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|3-|PF2|=4.所以|PF2|=7或|PF2|=-1(舍去).二、填空題(每小題5分，共15分)6.(2015全國卷)已知雙曲線過點(diǎn)(4，3)，且漸近線方程為y=12x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程為y=12x，可設(shè)雙曲線的方程為x2

5、4-y2=m，把(4，3)代入x24-y2=m，得m=1.答案：x24-y2=17.(2015揭陽高二檢測)如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，A，B為橢圓的頂點(diǎn)，當(dāng)FBAB時(shí)，其離心率為5-12，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于_.【解析】設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線左焦點(diǎn)F，實(shí)軸右端點(diǎn)A，虛軸端點(diǎn)B，F(xiàn)BAB，則|AF|2=|AB|2+|BF|2，因?yàn)閨AF|2=(a+c)2，|AB|2=a2+b2，|BF|2=b2+c2，所以c2-a2-ac=0，因?yàn)閑=ca，所以e2-e-1=0，因?yàn)閑1，所以e=5+12.答案：5+12【補(bǔ)償訓(xùn)練】已

6、知雙曲線C：x24-y2m=1的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.【解析】因?yàn)榈容S雙曲線的離心率為2，且雙曲線C的開口比等軸雙曲線更開闊，所以雙曲線C：x24-y2m=1的離心率e2，即4+m42.所以m4.答案：(4，+)8.(2015孝感高二檢測)雙曲線x29-y216=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為_.【解析】設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n(mn)，所以a=3，b=4，c=5.由雙曲線的定義知，m-n=2a=6，又PF1PF2.所以PF1F2為直角三角形.即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6，得m2+n2-2

7、mn=36，所以2mn=m2+n2-36=64，mn=32.設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d，SPF1F2=12d|F1F2|=12|PF1|PF2|，即12d2c=12mn.所以d=mn2c=3210=3.2，即點(diǎn)P到x軸的距離為3.2.答案：3.2三、解答題(每小題10分，共20分)9.(1)已知雙曲線的漸近線方程為y=34x，求雙曲線的離心率.(2)雙曲線的離心率為2，求雙曲線的兩條漸近線的夾角.(3)雙曲線與圓x2+y2=17有公共點(diǎn)A(4，-1)，圓在A點(diǎn)的切線與雙曲線的漸近線平行，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】(1)因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=34x，所以ba=34或ba=43.當(dāng)ba=34時(shí)

8、，e=54；當(dāng)ba=43時(shí)，e=53.(2)因?yàn)閑=ca=2，所以a2+b2a=2，即a=b，所以雙曲線漸近線方程為y=x.所以雙曲線兩條漸近線的夾角為90.(3)因?yàn)辄c(diǎn)A與圓心O連線的斜率為-14，所以過A的切線的斜率為4.所以雙曲線的漸近線方程為y=4x.設(shè)雙曲線方程為x2-y216=.因?yàn)辄c(diǎn)A(4，-1)在雙曲線上，所以16-116=，=25516.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x225516-y2255=1.10.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=213，橢圓的長半軸長與雙曲線實(shí)半軸長之差為4，離心率之比為37.(1)求這兩曲線方程.(2)若P為

9、這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求F1PF2的面積.【解析】(1)設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1，雙曲線方程為x2m2-y2n2=1(a，b，m，n0，且ab)，則a-m=4713a=313m,解得：a=7，m=3，所以b=6，n=2，所以橢圓方程為x249+y236=1，雙曲線方程為x29-y24=1.(2)不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|+|PF2|=14，|PF1|-|PF2|=6，所以|PF1|=10，|PF2|=4，所以cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=45，所以sinF1PF2=35.所以SF1PF2=1

10、2|PF1|PF2|sinF1PF2=1210435=12.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1.雙曲線的實(shí)軸長與虛軸長之和等于其焦距的2倍，且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y24-x24=1B.x24-y24=1C.y24-x29=1D.x28-y24=1【解析】選A.2a+2b=22c，即a+b=2c，所以a2+2ab+b2=2(a2+b2)，所以(a-b)2=0，即a=b.因?yàn)橐粋€(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，所以a2=b2=4，所以y2-x2=4，即y24-x24=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】漸近線方程為3x4y=0，焦點(diǎn)為橢圓x210+y25=1的短軸端點(diǎn)的雙

11、曲線方程為_.【解析】雙曲線的焦點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)，即(0，5)，(0，-5)，所求雙曲線方程可設(shè)為y29-x216=1(0)，所以5=9+16，=15.故所求的雙曲線方程為5y29-5x216=1.答案：5y29-5x216=12.已知實(shí)數(shù)4，m，9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，m為等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2m+y2=1的離心率為()A.306B.7C.306或7D.56或7【解析】選C.因?yàn)?，m，9成等比數(shù)列，所以m2=36，所以m=6.當(dāng)m=6時(shí)，圓錐曲線方程為x26+y2=1，其離心率為306；當(dāng)m=-6時(shí)，圓錐曲線方程為y2-x26=1，其離心率為7.【補(bǔ)償訓(xùn)練】兩個(gè)正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)是92，

12、等比中項(xiàng)是25，且ab，則雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率為_.【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)是92，等比中項(xiàng)是25，且ab，所以a+b2=92,ab=25,ab,解得a=5，b=4，所以雙曲線方程為x225-y216=1，所以c=25+16=41，所以雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率e=ca=415.答案：415二、填空題(每小題5分，共10分)3.(2015廣州高二檢測)若雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率為3，則其漸近線的斜率為_.【解析】雙曲線的離心率e=ca=a2+b2a=1+b2a2=3，所以ba=2，其漸近線的方程為y=bax，其斜率為2.答案：24.(2015鄭

13、州高二檢測)設(shè)雙曲線x29-y216=1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則AFB的面積為_.【解題指南】利用雙曲線方程和直線方程求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得三角形的高.【解析】雙曲線x29-y216=1的右頂點(diǎn)為A(3，0)，右焦點(diǎn)為F(5，0)(由于兩漸近線關(guān)于x軸對(duì)稱，因此設(shè)與任何一條漸近線平行的直線均可)，一條漸近線為y=-43x，則BF所在直線為y=-43(x-5)，由y=-43(x-5),x29-y216=1,得B175,3215，所以SAFB=12|AF|yB|=3215.答案：3215三、解答題(每小題10分，共20分)5.(2015青島高

14、二檢測)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C1：x24+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形AF1BF2為矩形，求C2的離心率.【解析】設(shè)雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1(a0，b0)，|AF1|=m，|AF2|=n，因?yàn)锳，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)，所以m+n=4，n-m=2a，所以m=2-a，n=2+a.因?yàn)樗倪呅蜛F1BF2為矩形，所以AF1AF2.因?yàn)閨F1F2|=23，所以m2+n2=12，即8+2a2=12，所以a=2，所以e=ca=32=62.6.(2015衡陽高二檢測)過雙曲線x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F(22，0)作雙曲線的一條漸近線的垂線，與該漸近線交于點(diǎn)P，且OFFP=-6，求雙曲線的方程.【解析】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，則過F且與其垂直的直線方程為y=-ab(x-22).由y=bax,y=-ab(x-22)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為a222,ab22.所以FP=a222-22,ab22，OFFP=(22，0)a222-22,ab22=-6.解得a2=2，所以b2=c