拉格日中值定理及函數(shù)的單調(diào)性

1、4.2拉格日中值定理及函數(shù)的單調(diào)性教學內(nèi)容1. 拉格朗日中值定理；2. 函數(shù)增減性判別法；3. 不等式的各種證明方法 . 教學目的1. 熟練掌握拉格朗日中值定理；2. 熟練掌握函數(shù)增減性判別法，熟練不等式的證明方法 . 教學重點拉格朗日中值定理 . 函數(shù)增減性判別法，不等式的證明方法教學難點函數(shù)增減性判別法，不等式的各種證明方法.復習1. 柯西中值定理；2. 羅必塔法則及其應用 .3. 應用羅必塔法則需要注意的問題一 、格朗日中值定理1. 定理：條件：（1） f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)；（2） f (x) 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導 .結(jié)論：至少存在一點 (a,b) ，使 f(

2、)f (b)f (a) .ba2、幾何意義 ：在滿足（ 1）、（ 2）的曲線段 AB 上，至少有一點處的切線平行于弦 AB .3、證明：（教材 P110）4、拉格朗日結(jié)論式的另外幾種形式（1） f (b) f (a)f(a(b a)(ba) ， 01.（這是因為 ab0a ba 0a1，baa令即可 . ）b a（2） f ( xx)f ( x)f ( ) x( f ( xx) x) ，( x, xx)（取 bxx, ax 即可）（3） yf ( xx) x ， 01.注：（ 3）式是 y 的精確表達式，而 dyf ( x)x 只是y 的近似表達式 .故拉格朗日中值定理也稱為有限增量定理或微分

3、中值定理.二、兩個重要推論推論 1若x (a,b) ，有 f( x)0 ，則 f ( x)C . 反之也真（顯然） . 即f( x)0f ( x)C .證：取一定點 x0(a,b) ， x (a,b) ，只須證明 f ( x)f ( x0 ) 即可 . 因為f (x) 在 (a,b) 內(nèi)可導，所以 f (x) 在以 x0和 x 為端點的閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導，從而由拉格朗日中值定理知，存在在 x0 與 x 之間，使f ( x)f (x0)f ( )( x x0) 0 ，即 f ( x)f ( x0 ) .再由 x0 的固定性和 x 的任意性知，x (a, b) ，均有 f ( x)f (

4、x0 ) ，f ( x) f ( x0 ) （常數(shù)） .推論 2若x (a,b) ，有 f( x)g (x) ，則 f (x) g( x)C（作 F (x)f ( x) g( x) ，用上面的定理即可得證） .例 1 驗證 f ( x)x2 在 0,1上拉格朗日中值定理的正確性 .解 顯然 f (x)x2 在0,1 上連續(xù)，在 (0,1)內(nèi)可導 ，故至少存在 一點(0,1) ，使 f (1)f (0)f()(10)，下面求出具體的，由 f (1)f (0)f( )(10)1021(0,1) ，2即確實存在(0,1) ，使 f (1)f (0)f ()(10)成立 .三、函數(shù)的單調(diào)性1. 判定法

5、定理：設 yf x 在a,b 上連續(xù)，在（ a,b ）內(nèi)可導1.若對x（a,b ） , 有 f x 0 ，則 yf x 在a,b上 ；2.若對x（a,b ），有 f x 0 ，則 yf x 在a,b上 .證：x1 , x2a,b，且 x1 0 ，即 f x2 f x1 .由定義 yf x 在a,b上.同理證 2.2. 舉例例 1 （P111例 1. ）例 2 確定函數(shù) y 3x x3 的單調(diào)區(qū)間解：定義域為（,）， y33x2=3（ 1- x)(1x) ，令 y =0 得 x1，無 y 不存在的點 .用 y =0 和 y 不存在的點從小到大將定義分區(qū)列表（見下頁）：x(,1)1（-1 ，1）1

6、(1,)y -0+0-y fx于是y3xx3 在 (,11,) 上，在 -1 ， 1 上 .例 3證明當 x0 時， xarctan x.證：方法 1 用中值定理，作函數(shù)f (u)arctanu, 取區(qū)間 0,x (x o )顯然 f (u) 在 0,x上連續(xù)，在（0， x ）內(nèi)可導，于是有arctan xarctan011,(0, x)x012即 x arctanx.證法 2：用單調(diào)性，作函數(shù) f ( x)xarctanx ， f x=110 （對xo）， f ( x) 在 0, ) 上，由單調(diào)性的1 x2定義知，對 x 0，有 f ( x)f (0)而 f (0)0arctan00 , f

7、 (x) 0 , 即 xarctan x （對x0） .例 4設 f ( x) 在 (,) 有二階導數(shù) , 并且 f ( x)0 求證 f ( x) 是一次函數(shù) .證 ( f ( x)f ( x)0存在常數(shù) a , 使 f ( x) a .f(x) axf( x)a0存在 b 使得 f (x)ax b .例 5求證當 x0 時恒有 x1 x2ln( 1 x) .21證 研究函數(shù) f ( x) ln( 1x)xx2 ,我們有2f (x)11 x ,f( x)111xx) 2(1當 x0 ,f(x)110f ( x) 在 0,) 單調(diào)增 .x)2(1f ( x)及 f (0)0當 x0時 , f

8、( x) 0f ( x) .即，當 x0 時 ,恒有 x1 x 2ln(1x) .2例 6求 證 對 于 任 意 x 0 , 都 有l(wèi)n 2 (11 )1.xx(x1)證設 t1 ,不等式變成：t0 ,t 2ln 2 (1t)x1t（方法一）設 f (t)t 2tln 2 (1t ) ,1今要證 :t0 ,f (t)0.f 00 ,f (t )2tt 22ln 1t1,1t21tg t1 t其中：gt2tt 22ln 1t,1tg 00gt22tt 22t 20g t 0121t1t2tf00fx1g t0fx01t（方法二） 設 f (t)t1t ln(1t ) ,今要證 :t0 ,f (t )0 .f(t )111ln 1t ,1t21t121t2ln 1t1g(t) ,212 1tt其中， g (t )2 1t2 ln 1t ,因 g (0)0, g ( x)110g (t)0 .1t1 t( 方 法 三 )把 不 等 式 變 成 ： t0 ,tt ) .ln( 11 t設 f (t)tln(1t ) ,今要證 :t0 ,f (t)0 ，1t因