微積分Ⅱ：10_2常數(shù)項級數(shù)審斂法

1、復(fù)習：,幾何級數(shù)：,調(diào)和級數(shù),發(fā)散,二、交錯級數(shù)及其審斂法,三、絕對收斂與條件收斂,第二節(jié),一、正項級數(shù)及其審斂法,常數(shù)項級數(shù)的審斂法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、正項級數(shù)及其審斂法,若,定理 1. 正項級數(shù),收斂,部分和數(shù)列,有界 .,若,收斂 ,部分和數(shù)列,有界,故,從而,又已知,故有界.,則稱,為正項級數(shù) .,單調(diào)遞增,收斂 ,也收斂.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,正項級數(shù)收斂的基本定理,定理2 (比較審斂法),設(shè),且,(1) 若級數(shù),則級數(shù),(2) 若級數(shù),則級數(shù),則有,收斂 ,也收斂 ;,發(fā)散 ,也發(fā)散 .,是兩個正項級數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,總結(jié)

2、：大收則小收，小發(fā)則大發(fā)。,比較審斂法的不便:,須有參考級數(shù).,例1. 討論 p 級數(shù),(常數(shù) p 0),的斂散性.,解: 1) 若,因為對一切,而調(diào)和級數(shù),由比較審斂法可知 p 級數(shù),發(fā)散 .,發(fā)散 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,由圖可知,2),重要參考級數(shù): 幾何級數(shù), P-級數(shù).,若存在,對一切,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,推論2,證明級數(shù),發(fā)散 .,證: 因為,而級數(shù),發(fā)散,根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散 .,例2.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,考察級數(shù),例3.,的收斂性。,解: 由于當,而級數(shù),收斂,根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)收斂 .,定理3. (比較審斂

3、法的極限形式),則有,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;,(2) 當 l = 0,(3) 當 l =,設(shè)兩正項級數(shù),滿足,(1) 當 0 l 時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4,判別級數(shù),的斂散性。,解,因為,而級數(shù),發(fā)散，根據(jù)比較審斂法的極限形式,知此級數(shù)是發(fā)散的。,的斂散性.,例5. 判別級數(shù),解:,是收斂的， 根據(jù)比較審斂法的極限形式知,而級數(shù),原級數(shù)收斂.,的斂散性.,例6. 判別級數(shù),解:,根據(jù)比較審斂法的極限形式,3.技巧性較強.,比較審斂法和極限形式的比較審斂法,有如下特點:,1.只適用于判定正項級數(shù)的收斂性;,2.必須有一個已知收斂性的用于比較的正項級數(shù);常用的是等比級數(shù)和P

4、級數(shù).,比較審斂法可以判別正項級數(shù)的斂散性，,有沒有更方便易行的審斂法呢？,而這對于初學者來說，由于所掌握的級數(shù)甚少，往往是一個很大的困難,但在具體的運用中，需尋找合適的通項 出來，,有！就是下面的定理4和后面的定理5給出的“比值審斂法”與“根值審斂法”,定理4 . 比值審斂法 ( Dalembert 判別法),設(shè),為正項級數(shù), 且,則,(1) 當,(2) 當,證: (1),收斂 ,時, 級數(shù)收斂 ;,或,時, 級數(shù)發(fā)散 .,由比較審斂法可知,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因此,所以級數(shù)發(fā)散.,時,(2) 當,說明: 當,時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.,例如, p 級數(shù),但,級數(shù)收斂 ;,

5、級數(shù)發(fā)散 .,從而,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,比值審斂法的優(yōu)點:,不必找參考級數(shù).,例7. 討論級數(shù),的斂散性 .,解:,根據(jù)定理4可知:,級數(shù)收斂 ;,級數(shù)發(fā)散 ;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解,比值審斂法失效, 改用比較審斂法,而,對,使用比值審斂法得,收斂,故由比較審斂法知,收斂,例9,解,對任意給定的正數(shù) ,定理5. 根值審斂法 ( Cauchy判別法),設(shè),為正項級,則,證明提示:,即,分別利用上述不等式的左,右部分, 可推出結(jié)論正確.,數(shù), 且,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .,例如 , p 級數(shù),說明 :,但,級數(shù)收斂 ;

6、,級數(shù)發(fā)散 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,當級數(shù)的一般項含有指數(shù)函數(shù)或者階乘運算時，常用比值審斂法；當級數(shù)的一般項含有冪函數(shù)或者指數(shù)運算時，常用根值審斂法。,總結(jié)：,二 、交錯級數(shù)及其審斂法,則各項符號正負相間的級數(shù),稱為交錯級數(shù) .,定理6 . ( Leibnitz 判別法 ),若交錯級數(shù)滿足條件:,則級數(shù),收斂 , 且其和,其余項滿足,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證:,是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又,故級數(shù)收斂于S, 且,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,收斂,收斂,用Leibnitz 判別法判別下列級數(shù)的斂散性:,收斂,上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂 ?,發(fā)散,

7、收斂,收斂,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1) 若級數(shù),則有,因此對一切,有,由定理 1 可知,則,(2) 若 級數(shù),必發(fā)散 .,也收斂 .,發(fā)散,收斂,級數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,假設(shè),收斂，,這與已知條件矛盾。,（用反證法）,三、絕對收斂與條件收斂,定義: 對任意項級數(shù),若,若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散, 則稱原級,收斂 ,數(shù),為條件收斂 .,均為絕對收斂.,例如 ：,絕對收斂 ；,則稱原級,數(shù),條件收斂 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理7. 絕對收斂的級數(shù)一定收斂 .,證: 設(shè),根據(jù)比較審斂法,顯然,收斂,收斂,也收斂,且,收斂 ,令,機動

8、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性,2. 利用正項級數(shù)審斂法,必要條件,發(fā) 散,滿足,比值審斂法,根值審斂法,收 斂,發(fā) 散,不定,比較審斂法,用它法判別,部分和極限,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 任意項級數(shù)審斂法,為收斂級數(shù),Leibniz判別法:,則交錯級數(shù),收斂,概念:,絕對收斂,條件收斂,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習,設(shè)正項級數(shù),收斂,能否推出,收斂 ?,提示:,由比較判斂法可知,收斂 .,注意:,反之不成立.,例如,收斂 ,發(fā)散 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7. 證明下列級數(shù)絕對收斂 :,證:

9、 (1),而,收斂 ,收斂,因此,絕對收斂 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2) 令,因此,收斂,絕對收斂.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:,提示: (1),P 1 時, 絕對收斂 ;,0 p 1 時, 條件收斂 ;,p0 時, 發(fā)散 .,(2) 因各項取絕對值后所得級數(shù),原級數(shù)絕對收斂 .,故,因,單調(diào)遞減, 且,但,所以原級數(shù)僅條件收斂 .,由Leibniz判別法知級數(shù)收斂 ;,因,所以原級數(shù)絕對收斂 .,內(nèi)容小結(jié),1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性,2. 利用正項級數(shù)審斂法,必要條件,發(fā) 散,滿足,比值審斂法,根值審斂法,收

10、斂,發(fā) 散,不定,比較審斂法,用它法判別,部分和極限,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 任意項級數(shù)審斂法,為收斂級數(shù),Leibniz判別法:,則交錯級數(shù),收斂,概念:,絕對收斂,條件收斂,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習,設(shè)正項級數(shù),收斂,能否推出,收斂 ?,提示:,由比較判斂法可知,收斂 .,注意:,反之不成立.,例如,收斂 ,發(fā)散 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè) P206 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; 3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5),第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題,1. 判別級數(shù)的斂散性:,解: (1),發(fā)散 ,故原級數(shù)發(fā)散 .,不是 p級數(shù),(2),發(fā)散 ,故原級數(shù)發(fā)散 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2.,則級數(shù),(A