第二章 測量誤差分布.ppt

1、第2章測量誤差分布,誤差理論與數(shù)據(jù)處理,自動(dòng)化工程學(xué)院 陳立軍,主要內(nèi)容,熟悉誤差分布的基本概念、常見誤差分布特征與處理方法,直方圖的繪制 概率密度分布圖 誤差分布的特征值 常見的誤差分布 常用的統(tǒng)計(jì)量分布 誤差分布的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),主 要 內(nèi) 容,2.1 測量誤差的統(tǒng)計(jì)特性 2.2 常見測量誤差分布 2.3常見的統(tǒng)計(jì)量分布 2.4誤差分布的分析與檢驗(yàn),1,2,3,4,2.1測量誤差的統(tǒng)計(jì)特性,一、測量點(diǎn)列圖,某鋼球工件直徑重復(fù)測量150次， 得到一個(gè)測量樣本,單峰性：數(shù)據(jù)集中在7.335附近,有界性：數(shù)據(jù)分布在7.085至7.585之間,對(duì)稱性：正負(fù)誤差的數(shù)目大致相同,抵償性：誤差的總和大致趨于零

2、,1）分組數(shù)=11，組距=0.05mm； （2）依次定各組的頻數(shù)、頻率和頻率密度； （3）以數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，頻率密度為縱坐標(biāo)，在橫坐標(biāo)上劃出等分的子區(qū)間，劃出各子區(qū)間的直方柱，即為所求統(tǒng)計(jì)直方圖,二、統(tǒng)計(jì)直方圖,繪制統(tǒng)計(jì)直方圖注意事項(xiàng),1）樣本大?。?確定誤差的分布范圍時(shí)，取 n=50200 確定誤差分布規(guī)律時(shí)，最好取n=2001000,子區(qū)間個(gè)數(shù)、間距： 當(dāng)n=50100時(shí)， 個(gè)數(shù)=610 當(dāng)n=100200時(shí)，個(gè)數(shù)=912 當(dāng)n=200500時(shí)，個(gè)數(shù)=1217 當(dāng)n = 500以上時(shí)，個(gè)數(shù)=20,可用下列兩個(gè)公式之一來計(jì)算分組數(shù) 或間距,或,把各直方柱頂部中點(diǎn)用直線連接起來，便得到一條由許多

3、折線連接起來的曲線。當(dāng)測量樣本數(shù)n無限增加，分組間隔趨于零，圖中直方圖折線變成一條光滑的曲線，即測量總體的概率（分布）密度曲線，記為。這就是用實(shí)驗(yàn)方法由樣本得到的概率密度分布曲線,7,7.1,7.2,7.3,7.4,7.5,7.6,0,5,10,15,20,25,三、概率密度（分布）圖,測量總體,概率密度曲線完好的描述了隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,概率密度函數(shù)的幾何意義,置信區(qū)間,顯著性水平（又稱顯著度或危險(xiǎn)率,置信概率（或置信水平），簡記為符號(hào),概率密度的性質(zhì),有兩個(gè)性質(zhì),四、統(tǒng)計(jì)分布特征值,盡管誤差分布反映了該誤差的全貌，但在實(shí)際使用中更關(guān)心代表該誤差分布的若干數(shù)字特征量,數(shù)學(xué)期望,標(biāo)準(zhǔn)偏差,偏態(tài)

4、系數(shù),峰態(tài)系數(shù),協(xié)方差,相關(guān)系數(shù),數(shù)學(xué)期望（加權(quán)平均,定義,一階原點(diǎn)矩，它表示隨機(jī)變量分布的位置特征。它與真值之差即為系統(tǒng)誤差，如果系統(tǒng)誤差可以忽略，則 就是被測量的真值,三條測量值分布曲線的精密度相同，但正確度不同,數(shù)學(xué)期望代表了測量的最佳估計(jì)值，或相對(duì)真值的系統(tǒng)誤差大小,標(biāo)準(zhǔn)偏差,二階中心矩，稱為X的標(biāo)準(zhǔn)（偏）差， ，的大小表征了隨機(jī)誤差的分散程度，即大部分分布在 范圍內(nèi)，可作為隨機(jī)誤差的評(píng)定尺度,定義,三條誤差分布曲線的正確度相同，但精密度不同,標(biāo)準(zhǔn)差代表了該測量條件下的測量結(jié)果分散性的大小，或是該測量分布的隨機(jī)誤差大小,偏態(tài)系數(shù),定義,三階中心矩， 將 無量綱化， 稱為偏態(tài)系數(shù)， 描述

5、了測量總體及其誤差分布的非對(duì)稱程度,曲線具有正(右)偏態(tài)，曲線具有負(fù)(左)偏態(tài),峰態(tài)系數(shù),定義,表征了測量總體及其誤差分布的峰凸程度。 是將 無量綱化，也稱峰度，而 是按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布?xì)w零，即對(duì)于正態(tài)分布超越系數(shù) 視為零,較尖峭的分布有 ，較平坦的分布有,協(xié)方差,定義,式中,協(xié)方差 表示了兩變量間的相關(guān)程度,相關(guān)系數(shù),定義,表示了兩個(gè)變量間線性相關(guān)的程度,越小，X，Y之間線性相關(guān)程度越小， 取值越大，X，Y之間線性相關(guān)程度越大,當(dāng) ， X與Y正相關(guān)，當(dāng) ，X與Y負(fù)相關(guān),線性相關(guān),正相關(guān),負(fù)相關(guān),線性不相關(guān),數(shù)學(xué)期望,名稱,定義,方差,幾何意義,誤差意義,偏態(tài)系數(shù),峰態(tài)系數(shù),協(xié)方差,位置特征,實(shí)際

6、值正確度,彌散,分散性，精密度,不對(duì)稱,誤差分布不對(duì)稱性,尖峭,誤差分布尖峭程度,兩誤差關(guān)聯(lián)程度,統(tǒng)計(jì)分布常用的特征值,2.2常見測量誤差分布,正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)偏差,均勻分布,三角分布,瑞利分布,反正弦分布,分布,幾種常見的誤差分布,一、正態(tài)分布,服從正態(tài)分布的條件,誤差因素多而小，無一個(gè)占優(yōu)，彼此相互獨(dú)立（中心極限定理,一般認(rèn)為，當(dāng)影響測量的因素在15個(gè)以上，且相互獨(dú)立，其影響程度相當(dāng)，可以認(rèn)為測量值服從正態(tài)分布；若要求不高，影響因素則應(yīng)在5個(gè)（至少3個(gè)）以上，也可視為正態(tài)分布,概率密度函數(shù),正態(tài)分布的密度函數(shù),為測量總體的數(shù)學(xué)期望，如不計(jì)系統(tǒng)誤差，則 即為隨機(jī)誤差,為測量總體的標(biāo)準(zhǔn)差，也是

7、隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差,1）單峰性：小誤差出現(xiàn)的概率比大誤差出現(xiàn)的概率大。 （2）對(duì)稱性：正誤差出現(xiàn)的概率與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。 （3）抵償性：隨測量次數(shù)增加，算術(shù)平均值趨于零,分布的誤差特性,正態(tài)分布的這三個(gè)特點(diǎn)與誤差大樣本下的統(tǒng)計(jì)特性相符。但在理論上，正態(tài)分布無界，這也是正態(tài)分布與實(shí)際誤差有界性不相符之處,正態(tài)分布的置信概率,誤差在分布區(qū)間 的置信概率,式中,68.26,95.45,99.73,置信概率,正態(tài)積分函數(shù)，已制成正態(tài)積分表,置信因子,正態(tài)分布的某些k值的置信概率,3.3,3.0,2.58,2.0,1.96,1.645,1.0,0.6745,0.999,0.9973,0.99,0.9

8、54,0.95,0.90,0.683,0.5,0.001,0.0027,0.01,0.046,0.05,0.10,0.317,0.5,1) 經(jīng)典誤差理論都是建立在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上。凡是有3、5個(gè)以上的、差不多微小的、獨(dú)立影響的合成分布都趨近正態(tài)分布。這是被前人早已證明了的中心極限定理告訴我們的一個(gè)事實(shí),正態(tài)分布在誤差理論和實(shí)踐中的地位,2) 許多非正態(tài)分布可以用正態(tài)分布來表示,3) 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)具有簡單的數(shù)學(xué)形式和優(yōu)良的性質(zhì),當(dāng)然，也有不少的誤差分布并不能簡單地用正態(tài)分布來描述。因而，現(xiàn)代誤差理論及其實(shí)踐需要進(jìn)一步研究非正態(tài)分布的問題,二、均勻分布,若誤差在某一范圍中出現(xiàn)的概率相等，

9、稱其服從均勻分布，也稱為等概率分布,概率密度函數(shù),數(shù)學(xué)期望,方差,標(biāo)準(zhǔn)方差,置信因子,o,a,a,服從均勻分布的可能情形,1) 數(shù)據(jù)截尾引起的舍入誤差; (2) 數(shù)字顯示末位的截?cái)嗾`差 (3) 瞄準(zhǔn)誤差; (4) 數(shù)字儀器的量化誤差; (5) 齒輪回程所產(chǎn)生的誤差以及基線尺滑輪摩擦引起的誤差； (6) 多中心值不同的正態(tài)誤差總和服從均勻分布,三、三角分布,概率密度函數(shù),數(shù)學(xué)期望,標(biāo)準(zhǔn)方差,當(dāng)兩個(gè)分布范圍相等的均勻分布，其合成誤差就是三角分布,四、反正弦分布,概率密度函數(shù),數(shù)學(xué)期望,標(biāo)準(zhǔn)方差,a,a,o,服從反正弦分布的可能情形,度盤偏心引起的測角誤差,正弦（或余弦）振動(dòng)引起的位移誤差,無線電中

10、失配引起的誤差,五、瑞利分布,概率密度函數(shù),數(shù)學(xué)期望,標(biāo)準(zhǔn)方差,服從瑞利分布的可能情形,偏心值,在非負(fù)值的單向誤差中，由于偏心因素所引起的軸的徑向跳動(dòng),刻度盤、圓光柵盤的最大分度誤差,齒輪和分度盤的最大齒距累積誤差,六、貝塔分布,概率密度函數(shù),數(shù)學(xué)期望,標(biāo)準(zhǔn)方差,在給定分布界限下通過參數(shù)取不同值，貝塔分布可呈對(duì)稱分布、非對(duì)稱分布、單峰分布、遞增或遞減分布等，可逼近常見的正態(tài)、三角、均勻、反正弦、瑞利等各種典型分布。貝塔分布具有可逼近各種實(shí)際誤差分布的多態(tài)性,貝塔分布在理論上就是有界的。不像正態(tài)、瑞利等呈拖尾型分布，完全符合誤差的基本特性即有界性,貝塔分布的性質(zhì)與密度函數(shù)圖,常見分布的數(shù)字特征量

11、,名稱,正態(tài)分布,區(qū)間半寬度,標(biāo)準(zhǔn)差,期望,等價(jià),均勻分布,三角分布,反正弦分布,瑞利分布,2.3常見的統(tǒng)計(jì)量分布,本節(jié)介紹常用的統(tǒng)計(jì)量分布，包括t分布 F分布，分布,前邊介紹主要是單個(gè)統(tǒng)計(jì)量分布，實(shí)際中要常用到變量間組合也就是函數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布,一、分布,定義,若為獨(dú)立服從同分布 的隨機(jī)誤差，則,稱服從為自由度為的分布,概率密度函數(shù),數(shù)學(xué)期望,標(biāo)準(zhǔn)方差,二、t分布,定義,若隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差，且和相互獨(dú)立，則,服從的分布稱為自由度為的t分布,概率密度函數(shù),數(shù)學(xué)期望,標(biāo)準(zhǔn)方差,o,當(dāng)自由度足夠大時(shí)，t分布趨近于正態(tài)分布,t分布在誤差理論和實(shí)踐中的應(yīng)用,t分布在研究正態(tài)小子樣（測量次數(shù)較少時(shí)），是一

12、個(gè)嚴(yán)密而有效的理論分布,正態(tài)樣本的算術(shù)平均值構(gòu)成的如下統(tǒng)計(jì)量,服從自由度為的t分布,其測量算術(shù)平均值滿足,t分布的臨界值 ，滿足,三、F分布,定義,若，則,稱服從為自由度為的F分布,概率密度函數(shù),數(shù)學(xué)期望,標(biāo)準(zhǔn)方差,2.4誤差分布的分析與檢驗(yàn),本節(jié)介紹確定誤差分布規(guī)律的幾種方法，包括物理來源法，函數(shù)關(guān)系法以及圖形判斷法。最后介紹有關(guān)分布檢驗(yàn)的知識(shí),包括正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（夏皮羅-威爾克檢驗(yàn)、偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)檢驗(yàn)）和一般分布檢驗(yàn)（皮爾遜檢驗(yàn),物理來源判斷法,根據(jù)測量誤差產(chǎn)生的來源，可以判斷其屬于何種類型,如其測量受到至少有三個(gè)以上獨(dú)立的、微小而大小相近的因素的影響，則可認(rèn)為它服從或接近正態(tài)分布,

13、測量值在某范圍內(nèi)各處出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，則可認(rèn)為它服從均勻分布,一、誤差分布的分析與判斷,函數(shù)關(guān)系法,利用隨機(jī)變量的函數(shù)關(guān)系，來判斷誤差屬于何種分布,若與都在-a，a內(nèi)服從均勻分布，則服從三角分布,若與都服從正態(tài)分布 ，則 服從偏心分布(瑞利分布,若服從均勻分布，則 服從反正弦分布,圖形判斷法,對(duì)重復(fù)測量獲得的樣本數(shù)據(jù)繪出頻率密度直方圖，并與各種常見的概率密度分布曲線相比較，判斷它與何種分布相接近,統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的步驟,1、概念,事先對(duì)分布形式作出某種假設(shè),然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否成立,2、類型,正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),一般分布檢驗(yàn),夏皮羅-威爾克檢驗(yàn),偏態(tài)系數(shù)檢驗(yàn),峰態(tài)系數(shù)檢驗(yàn),皮爾遜檢驗(yàn),二、誤差

14、分布的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),皮爾遜 檢驗(yàn)( 且已知,1、提出原假設(shè),總體 的分布函數(shù) 未知,某個(gè)已知的分布函數(shù),2、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量,總體中抽取出一個(gè)容量為 的樣本,把整個(gè)數(shù)軸分成 個(gè)區(qū)間,頻數(shù)，樣本的觀察值落在第 個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù),由 計(jì)算出總體 在各區(qū)間內(nèi)取值的概率,檢驗(yàn)(續(xù),3、在給定顯著性水平 下，由分布表查得臨界值,4、作出決策,若 ，拒絕，則認(rèn)為 。反之,思路是當(dāng)樣本個(gè)數(shù)充分大時(shí)，頻率和概率應(yīng)當(dāng)相差不會(huì)太大，如果超出某種限度，則假設(shè)就會(huì)推翻,皮爾遜檢驗(yàn)(分布中含有未知參數(shù),1、提出原假設(shè),總體 的分布函數(shù) 未知,某個(gè)已知形式的分布函數(shù)， 未知參數(shù),2、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量,總體中抽取出一個(gè)容量為 的樣本,在 下利

15、用樣本給出 的極大似然估計(jì),把整個(gè)數(shù)軸分成 個(gè)區(qū)間,頻數(shù)，樣本的觀察值落在第 個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù),由 計(jì)算出總體 在各區(qū)間內(nèi)取值的概率,3、在給定顯著性水平 下，由分布表查得臨界值,4、作出決策,若 ，拒絕,皮爾遜檢驗(yàn)(續(xù),例2-1,用阿貝比較儀測量某軸承直徑 100次，依次測得 ， 的數(shù)據(jù)見下所列， 的單位0.1 。檢驗(yàn) 是否服從正態(tài)分布,0 -5 11 -10 17 -3 -13 6 4 7 1 -5 -6 -3 13 -1 -1 5 9 7 -3 9 -8 3 -2 -24 -30 -2 1 -2 4 2 -5 -13 1 -7 -1 0 -4 -7 0 7 17 5 10 0 -2 6 3

16、8 6 -3 -3 -10 0 5 2 -8 0 4 2 2 6 -11 5 2 7 -1 12 0 -19 10 -1 7 9 2 -5 14 -6 -5 8 3 8 -9 4 -5 -8 8 -8 4 -13 -9 -10 -10 2 13 2 -4 6 -7,計(jì)算步驟,解,檢驗(yàn),由于 中含有未知參數(shù)，故需先進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。在正態(tài)分布下， 和 的極大似然估計(jì)為,將 取值分成8組，然后計(jì)算概率,計(jì)算結(jié)果,頻數(shù),7,0.107,10.75,3.75,1.31,15,0.160,16.01,1.01,0.06,13,0.133,13.37,0.37,0.08,9,0.098,9.87,0.87,0

17、.08,10,0.098,9.87,0.13,0,16,0.133,13.37,2.63,0.52,21,0.160,16.01,4.99,1.56,9,0.107,10.75,1.75,0.28,100,3.82,結(jié)論,給定顯著性水平 ，自由度8-2-1=5,由 分布表查得臨界值,因?yàn)?所以，接受 ，故可認(rèn)為這些測量服從正態(tài)分布,組數(shù),未知數(shù)個(gè)數(shù),夏皮羅威爾克檢驗(yàn),夏皮羅-威爾克檢驗(yàn)又稱W檢驗(yàn),時(shí)檢驗(yàn)效果最佳，并且計(jì)算簡便,只能用于正態(tài)性檢驗(yàn),W檢驗(yàn)的實(shí)施步驟,從總體中抽取出一個(gè)容量為 的樣本,1) 將樣本的觀測值按由小到大排列成為其次序統(tǒng)計(jì)量,2) 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,3) 查表。由夏皮羅-威

18、爾克值表查出 ， 為給定的顯著性水平,4) 判斷。若 ，則拒絕正態(tài)性假設(shè),夏皮羅威爾克,當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)取n/2，當(dāng)n奇數(shù)時(shí)取（n1）/2,例2-2,用夏皮羅-威爾克法檢驗(yàn)該組數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)分布,將某量獨(dú)立測得結(jié)果按從小到大排列成（n=10,108，109，110，110，110，112，112，116，119，124,解,查夏皮羅-威爾克系數(shù) 表得出,計(jì)算結(jié)果,計(jì)算,給定顯著性水平 ，查表得,因?yàn)椋?，故拒絕正態(tài)性假設(shè),偏態(tài)系數(shù)檢驗(yàn),1) 給出備擇假設(shè) （正偏）或 （負(fù)偏,2) 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,3) 查表。 根據(jù)顯著性水平 和樣本容量 ，由偏態(tài)統(tǒng)計(jì)量的分位數(shù)表查出,4) 判斷。當(dāng)備擇假設(shè)為 時(shí)，若 ，則拒絕正態(tài)性假設(shè)；當(dāng)備擇假設(shè)為 時(shí)，若 ，則拒絕正態(tài)性假設(shè),例2-3,有下列一組測量數(shù)據(jù)，確定這批數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)分布,0.40 -1.80 -2.14 0.40 -1.40 0.67 -1.40 -1.51 1.40 -1.40 -1.38 -1.40 1.20 -2.14 -0.60 -2.33 1.24 -0.40 -0.32 -0.22 -1.60 -1.40 -0.51 -0.20 -1.40 -1.72 -1.60 -1.20 -1.80 1.20 -1.40 -0.80 -1.72 -0.71 -1.40 -1.20 -1.91 -0.69 -1.60