乘方公式的逆用與變形用

1、（原文已刊登于2006年10月24日上海中學(xué)生報(bào)）講義乘方公式的逆用與變形用上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬浦東外國(guó)語(yǔ)學(xué)校勵(lì)一敏代數(shù)公式的應(yīng)用是初中代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，其中，公式的逆用和變 形用往往是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，但是這恰恰是最能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的部分。 本篇以積的乘方和幕的乘方公式為例，拋磚引玉地介紹一些公式逆用 和變形用的思想。（一）積的乘方公式的逆用公式ab n anbn稱為積的乘方公式，其中n是正整數(shù)。將這個(gè)公式 反過(guò)來(lái)就是anbn ab n，例如2.53 43 2.5 4 3，其特征是“指數(shù)不變, 底數(shù)相乘”，它是一種常用的簡(jiǎn)便運(yùn)算手段。在計(jì)算中，如果遇到兩個(gè)底數(shù)的乘積正好是一個(gè)簡(jiǎn)單的整數(shù)（尤其是1或-1

2、），那么利用這個(gè)公式可起到簡(jiǎn)便運(yùn)算的作用2005例1計(jì)算11200656分析：本題最后一步是乘法運(yùn)算，且兩個(gè)底數(shù)正好互為倒數(shù)，逆用積的乘方公式可以使計(jì)算得到簡(jiǎn)化，但是算式中兩個(gè)乘方的指數(shù)并20062005不相同要實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)便運(yùn)算須把|看成6|解：原式2005200565556620056555662005評(píng)注在許多問題中，如果遇到指數(shù)雖不同但相差不多的情況時(shí)，我們可以利用同底數(shù)幕的乘法法則將兩個(gè)乘方的指數(shù)化為相同, 從而使算式滿足逆用積的乘方公式的條件。例2計(jì)算0.1257解：原式0.125772880.1258 7641 7 6464。例 3計(jì)算-1026 106 5。3分析：將1 102看成公

3、式中的a，將6 106看成公式中的b，滿足指3數(shù)相同的條件。5解：原式1 102 6 1062 108 5 32 1040 3.2 1041。3請(qǐng)注意，上例中倒數(shù)第二步的結(jié)果32 1040不符合科學(xué)記數(shù)法的規(guī) 定，因此要改寫成3.2 1041。（二）幕的乘方公式的逆用和變形用公式amn amn稱為幕的乘方公式，其中m、n是正整數(shù)，它的特 征是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”。將它從右往左看即為公式的逆用，即 amn am n。此外還有am n an m，這是幕的乘方公式的變形用，它利 用了指數(shù)相乘中乘法交換律的原理。這兩個(gè)公式在整式運(yùn)算中有著非 常廣的應(yīng)用例4已知am 10，求a2 m的值。分析：運(yùn)用公

4、式am n an m即可將a2 m化為am 2，從而利用已知 條件求得結(jié)果。解：原式 am 2 102 100例 5已知 a2n7，求 3a3n 2 13 a2 2n 的值分析：利用幕的乘方公式將原式變形為用a2n表示的代數(shù)式再代入計(jì)算即可。解：原式 9a6n 13a4n2n 32n 29 a 13a當(dāng)a2n 7時(shí)，原式329 713 72450。例6比較大小：355335 。分析：這兩個(gè)幕的底數(shù)和指數(shù)都不相同，但是注意到指數(shù)55和 33的公因數(shù)是11,可逆用幕的乘方公式將這兩個(gè)幕都轉(zhuǎn)化為指數(shù)是1111的乘方的形式，然后比較底數(shù)的大小。解：35535 11 24311，5335311 125112431112511二 355533。評(píng)注在比較幕的大小時(shí)，應(yīng)當(dāng)先觀察兩個(gè)幕