勾股定理及各種證明方法

1、勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）勾股定理是一個初等幾何定理，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。 勾股定理 是余弦定理的一個特例。勾股定理約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一?！肮慈伤南椅濉笔枪垂啥ɡ碜罨镜墓?。勾股數(shù)組方程a2 + b2= c2的正整數(shù)組（a, b, c）。（3,4,5）就是勾股數(shù)。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b,斜邊為c,那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理命題1如果直角三角形 的兩條直角邊長分別為 a， b，斜邊長為c，那么。勾股定理的逆定

2、理命題2如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形?！咀C法1】（趙爽證明）以a、b為直角邊（ba），以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面1積等于丄ab.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.2/ Rt DAHB Rt ABE,. / HDA = / EAB./ / HAD + / HAD = 90o,. / EAB + / HAD = 90o, ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2./ EF = FG =GH =HE = b a , / HEF = 90o. EFGH是一個邊長為ba的正方形，它的面積等于【證法2】（課本的證明）做8個全等的直角三角

3、形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等.即,整理得.【證法3】（1876年美國總統(tǒng) Garfield 證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全 等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A E、B三點在一條直線上./ Rt EAD也 Rt CBE/. / ADE = / BEC./ / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90o. / DEC = 180o 90o= 90o.又

4、 T / DAE = 90o, / EBC = 90o, DEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于AD/ BC；.ABCD是 一個直角梯形，它的面積等于【趣聞】：在1876年一個周末的傍晚，在美國華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步， 欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。 他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附 近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁矗?時而大聲爭論，時而小聲探討。 由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去， 想搞清楚兩個小孩到底在干什么。 只見一個 小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。 于是伽菲爾德便問他們在干什么？只 見那個小男孩頭也不抬地說：

5、 “請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為 3和4，那么 斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到： “是 5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為 5 和7 ，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的 平方一定等于 5的平方加上 7的平方?！毙∧泻⒂终f道：“先生，你能說出其中的道理嗎？” 伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛 心探討小男孩給他留下的難題。 他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算， 終于弄清楚了其中的道理， 并給 出了簡潔的證明方法。 1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭教育日志 上發(fā)表了他對勾股 定理的這一證法。

6、1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來， 人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定 理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)?！弊C法?！咀C法 4】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為 a、b、c 的正方形，把它們拼成如圖所示形狀， 使H C B三點在一條直線上， 連結(jié)BF、CD.過C作CLL DE交AB于點M,交DE于點L. v AF = AC , AB = AD，/ FAB = / GAD FAB 也 GADv FAB的面積等于， GAD的面積等于矩形 ADLM勺面積的一半，矩形ADLM勺面積=.同理可證，矩形 MLEB的面積=.v正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積，

7、即.【證法 5】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在Rt ABC中，設(shè)直角邊 AC BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過點C作CDLAB 垂足是 D.在 ADC和 ACB中，v / ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / BAC - ADCs ACB. AD： AC = AC : AB 即.同理可證, CDBs ACB從而有 . 即【證法 6】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形， 則每個直角三角形的面積等于 .把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上， B F、C三點在一條 直線上，C G D三點在一條直線上./ Rt

8、 HAE也 Rt EBF,. / AHE = / BEF./ / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 900. / HEF = 1800900= 900.四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2./ Rt GDHB Rt HAE/. / HGD = / EHA./ / HGD + / GHD = 900,/ / EHA + / GHD = 900.又 / GHE = 900, / / DHA = 900+ 900= 1800. ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于 【證法 7】（利用切割線定理證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a , AC = b，斜邊 AB = c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于 D、E,貝U BD = BE = BC = a.因為/ BCA = 900,點 C在OB上，所以AC是O B的切線.由切割線定理，得即，.【證法 8】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在R