導數(shù)的綜合應用

1、導數(shù)的綜合應用(推薦時間：70分鐘)1 設(shè)函數(shù)f(x)x3x26xa.(1)對于任意實數(shù)x，f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且僅有一個實根，求a的取值范圍解(1)f(x)3x29x6，因為x(，)，f(x)m，即3x29x(6m)0恒成立，所以8112(6m)0，解得m，即m的最大值為.(2)因為當x0；當1x2時，f(x)2時，f(x)0.所以當x1時，f(x)取極大值f(1)a；當x2時，f(x)取極小值，f(2)2a，故當f(2)0或f(1)0時，f(x)0僅有一個實根解得a.2 已知x1是函數(shù)f(x)(ax2)ex(aR)的一個極值點(1)求a的值；(2)當x1

2、，x20,2時，證明：f(x1)f(x2)e.(1)解f(x)(axa2)ex，由已知得f(1)0，解得a1.當a1時，f(x)(x2)ex在x1處取得極小值所以a1.(2)證明由(1)知，f(x)(x2)ex，f(x)(x1)ex，當x0,1時，f(x)(x1)ex0，f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減；當x(1,2時，f(x)(x1)ex0，f(x)在區(qū)間(1,2上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間0,2上，f(x)的最小值為f(1)e.又f(0)2，f(2)0，所以在區(qū)間0,2上，f(x)的最大值為f(2)0，對于x1，x20,2，有f(x1)f(x2)f(x)maxf(x)min，所以f(x1)f(x2

3、)0(e)e.3 已知函數(shù)f(x)xln x.(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)k(x1)，其中kR，求函數(shù)g(x)在區(qū)間1，e上的最大值解(1)f(x)ln x1(x0)令f(x)0，得ln x1ln e1，x；令f(x)0，得x.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，f(x)的極小值為f.f(x)無極大值(2)g(x)xln xk(x1)，則g(x)ln x1k，由g(x)0，得xek1，所以，在區(qū)間(0，ek1)上，g(x)為遞減函數(shù)，在區(qū)間(ek1，)上，g(x)為遞增函數(shù)當ek11，即k1時，在區(qū)間1，e上，g(x)為遞增函數(shù)，所以，g(x)的最大值為g

4、(e)ekek；當1ek1e，即1k2時，g(x)的最大值是g(1)或g(e)，由g(1)g(e)，得k，當1k0g(1)，g(x)最大值為g(e)ekek，當k2時，g(e)eekk0g(1)，g(x)最大值為g(1)0；當ek1e，即k2時，在區(qū)間1，e上，g(x)為遞減函數(shù)，所以g(x)最大值為g(1)0.綜上，當kye1時，證明：不等式exln(1y)eyln(1x)(1)解f(x)a(x0)當a0時，ax10，從而f(x)0時，若0x，則ax10，從而f(x)，則ax10，從而f(x)0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)解根據(jù)(1)函數(shù)的極值點是x，若1，則a1.所以f(x)bx2，即x1ln xbx2，由于x0，即b1.令g(x)，則g(x)，可知xe2為函數(shù)g(x)在(0，)內(nèi)唯一的極小值點，也是最小值點，故g(x)ming(e2)，所以1的最小值是1，故只要b1即可，故b的取值范圍是.(3)證明不等式exln(1y)eyln(1x).構(gòu)造函數(shù)h(x)，則h(x)，