高等數(shù)學(xué)B：ch7小結(jié)(課后參考)

1、二重積分的定義,二重積分的性質(zhì),二重積分的幾何意義,（曲頂柱體的體積）,（和式的極限）,三重積分的定義與性質(zhì),(與定積分性質(zhì)相似),ch7-1復(fù)習(xí),一. 重要結(jié)論,二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式,（在積分中要正確選擇積分次序）,y型,x型,（在積分中注意使用對(duì)稱(chēng)性）,ch7-2復(fù)習(xí),計(jì)算步驟及注意事項(xiàng), 畫(huà)出積分域, 選擇坐標(biāo)系, 確定積分序, 寫(xiě)出積分限, 計(jì)算要簡(jiǎn)便,域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線,被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離,積分域分塊要少,累次積好算為妙,圖示法,不等式,( 先積一條線, 后掃積分域 ),充分利用對(duì)稱(chēng)性,應(yīng)用換元公式,二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式,（在積分中注意使用對(duì)稱(chēng)性）,xy

2、 型空間區(qū)域,坐標(biāo)面投影法,坐標(biāo)軸投影法,z 型空間區(qū)域,x 型區(qū)域,ch7-3復(fù)習(xí),柱面坐標(biāo)系中的體積元素為,進(jìn)行積分計(jì)算,球面坐標(biāo)系中體積元素為,其中,進(jìn)行積分計(jì)算,若 是包含原點(diǎn)在內(nèi)的閉曲面,(一) 立體體積,曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面,則其體積為,占有空間有界域 的立體的體積為,ch7-4復(fù)習(xí),若光滑曲面方程為隱式,則,且,若光滑曲面方程為,則有,(二) 曲面的面積,(A 為 D 的面積),得D 的形心坐標(biāo):,當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱(chēng)為形心(或中心).,即,(三) 物體的質(zhì)心,1、平面薄片的質(zhì)心(重心),2、空間物體的重心,當(dāng)物體是均勻的，重心稱(chēng)為形心.,1、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,薄片對(duì) x

3、軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:,同理此薄片 對(duì) x 軸、原點(diǎn) 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為:,(四) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,物體 對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:,2、空間物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,1.,證明,證:左端,= 右端,二. 重要例題,2. 計(jì)算二重積分,在第一象限部分.,解: (1),兩部分, 則,其中D 為圓域,把與D 分成,作輔助線,(2) 提示:,兩部分,說(shuō)明: 若不用對(duì)稱(chēng)性, 需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào).,作輔助線,將D 分成,3.,設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零,其中,(1) 討論 F( t ) 在區(qū)間 ( 0, +) 內(nèi)的單調(diào)性;,(2) 證明 t 0 時(shí),(03考研),解: (1) 因?yàn)?兩邊對(duì) t 求導(dǎo), 得,(2) 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證,即證,故有,因此 t 0 時(shí),因,4. 計(jì)算二