追及與相遇問題知識詳解及典型例題

1、.追及與相遇問題知識詳解及典型例題（精品）知識要點 追及和相遇問題主要涉及在同一直線上運動的兩個物體的運動關系，所應用的規(guī)律是勻變速直線運動的相關規(guī)律。追及、相遇問題常常涉及到臨界問題，分析臨界狀態(tài)，找出臨界條件是解決這類問題的關鍵。速度相等是物體恰能追上或恰不相碰、或間距最大或最小的臨界條件。在兩物體沿同一直線上的追及、相遇或避免碰撞問題中關鍵的條件是：兩物體能否同時到達空間某位置。因此應分別對兩物體研究，列出位移方程，然后利用時間關系、速度關系、位移關系解出。解答追及、相遇問題時要特別注意明確兩物體的位移關系、時間關系、速度關系，這些關系是我們根據(jù)相關運動學公式列方程的依據(jù)。1. 追及追和

2、被追的兩者的速度相等常是能追上、追不上、二者距離有極值的臨界條件。如勻減速運動的物體追從不同地點出發(fā)同向的勻速運動的物體時，若二者速度相等了，還沒有追上，則永遠追不上，此時二者間有最小距離。若二者相遇時（追上了），追者速度等于被追者的速度，則恰能追上，也是二者避免碰撞的臨界條件；若二者相遇時追者速度仍大于被追者的速度，則被追者還有一次追上追者的機會，其間速度相等時二者的距離有一個較大值。再如初速度為零的勻加速運動的物體追從同一地點出發(fā)同向勻速運動的物體時，當二者速度相等時二者有最大距離，位移相等即追上?！白飞稀钡闹饕獥l件是兩個物體在追趕過程中處在同一位置，常見的情形有三種：一是初速度為零的勻加

3、速運動的物體甲追趕同方向的勻速運動的物體乙時，一定能追上，在追上之前兩者有最大距離的條件是兩物體速度相等，即v甲=v乙；二是勻速運動的物體甲追趕同方向做勻加速運動的物體乙時，存在一個恰好追上或恰好追不上的臨界條件：兩物體速度相等，即v甲v乙，此臨界條件給出了一個判斷此種追趕情形能否追上的方法，即可通過比較兩物體處在同一位置時的速度大小來分析，具體方法是：假定在追趕過程中兩者能處在同一位置，比較此時的速度大小，若v甲v乙，則能追上去，若v甲v乙，則追不上，如果始終追不上，當兩物體速度相等時，兩物體的間距最??；三是勻減速運動的物體追趕同方向的勻速運動的物體時，情形跟第二種相類似。兩物體恰能“相遇”

4、的臨界條件：兩物體處在同一位置時，兩物體的速度恰好相同。2. 相遇 同向運動的兩物體追及即相遇，分析同1。 相向運動的物體，當各自發(fā)生的位移的絕對值的和等于開始時兩物體間的距離時即相遇。三. 解題方法指導：1. 解“追及”“相遇”問題的思路：解決“追及”和“相遇”問題大致分為兩種方法，即數(shù)學方法和物理方法求解過程中可以有不同的思路，例如考慮圖象法等等。解題的基本思路是： 根據(jù)對兩物體運動過程的分析，畫出物體的運動示意圖； 根據(jù)兩物體的運動性質(zhì)，分別列出兩個物體的位移方程。注意要將兩物體運動時間的關系反映在方程中。 由運動示意圖找出兩物體位移間關聯(lián)方程。 聯(lián)立方程求解。運動物體的追趕、相遇問題，

5、一般解法較多：解析法、圖象法、極值法等。應適當?shù)刈鲂┮活}多解的練習，以開啟思路，培養(yǎng)發(fā)散思維的能力。但平時訓練仍應以物理意義突出的解析法為主。通過適當?shù)木毩暫螅偨Y一下追趕、相遇、避碰問題的特點、分析方法，特別是對其中所涉及的“相距最遠”、“相距最近”、“恰好不相碰”等臨界問題，應在思考的基礎上總結出臨界狀態(tài)的特點，找出臨界條件。2. 分析“追及”“相遇”問題應注意： 分析“追及”“相遇”問題時，一定要抓住一個條件，兩個關系：一個條件是兩物體的速度滿足的臨界條件，如“兩物體距離最大、最小，恰好追上或恰好追不上等”。兩個關系是時間關系和位移關系。其中通過畫草圖找到兩物體位移之間的數(shù)量關系，是解題

6、的突破口，也是解題常用方法。因此，在學習中一定要養(yǎng)成畫草圖分析問題的良好習慣，對幫助我們理解題意，啟迪思維大有裨益。養(yǎng)成根據(jù)題意畫出物體運動示意圖的習慣。特別對較復雜的運動，畫出草圖可使運動過程直觀，物理圖景清晰，便于分析研究。 分析研究對象的運動過程，搞清整個運動過程按運動性質(zhì)的轉換可分為哪幾個運動階段，各個階段遵循什么規(guī)律，各個階段間存在什么聯(lián)系。特別是，若被追趕的物體做勻減速運動，一定要注意追上前該物體是否停止運動。 仔細審題，注意抓住題目中的關鍵字眼，充分挖掘題目中的隱合條件，如“剛好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等。往往對應一個臨界狀態(tài)，由此找出滿足相應的臨界條件。還要注意：由于公

7、式較多，且公式間有相互聯(lián)系，因此，題目?？梢活}多解。解題時要思路開闊，聯(lián)想比較，篩選最簡捷的解題方案。解題時除采用常規(guī)的公式解析法外，圖象法、比例法、極值法、逆向轉換法（如將一勻減速直線運動視為反向的勻加速直線運動）等也是解題中常用的方法?！镜湫屠}】例1 火車以速度v1向前行駛。司機忽然發(fā)現(xiàn)，在前方同一軌道上距車為s處有另一輛火車，它沿相同的方向以較小的速度v2作勻速運動，于是他立即使車作勻減速運動，加速度大小為a，要使兩車不致相撞，則a應滿足的關系式為_。分析：司機使火車作勻減速運動，當后面的火車與前方火車時的速度相等時，兩車再也不能接近了，也就是后面的火車與前面火車的速度相等時，后面火車

8、的位移與前面火車的位移之差要小于s時，兩車才不致相撞，本題解法中有四種。解法一：當兩車速度相等時，兩車沒有相撞，以后再也不會相撞，前車減速的時間為t，則 解法二：以前車為參照系，后車的速度為，當后車的速度減為零時，其位移小于s，兩車不會相撞，即解法三：作出兩車運動的速度時間圖像如圖所示，由圖像可知：在兩圖像相交前與時間軸所圍面積之差（即圖中陰影部分）小于s時，兩車不會相撞。即解法四：后車的位移為，前車的位移為，要使兩車不相撞，即說明此二次函數(shù)無解，即 以上四種解法中，以第二種解法最簡捷。例2 甲、乙兩車相距s，同時同向運動，乙在前面做加速度為a1、初速度為零的勻加速運動，甲在后面做加速度為a2

9、、初速度為v0的勻加速運動，試討論兩車在運動過程中相遇次數(shù)與加速度的關系。解析：由于兩車同時同向運動，故有v甲=v0+a2t，v乙=a1t 當a1a2時，a1t v乙，由于原來甲在后，乙在前，所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時間后甲車必然超過乙車，且甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次； 當a1=a2時，alt=a2t，可得v甲v乙，因此甲、乙兩車也只能相遇一次： 當a1a2時，a1ta2t，v甲和v乙的大小關系會隨著運動時間的增加而發(fā)生變化，剛開始，a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以，v甲v乙，隨著時間的推移，a1t和a2t相差越來越大；當alta2t=v0時，

10、v甲=v乙，接下來a1ta2tv0，則有v甲v乙，若在v甲=v乙之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于v甲v乙，甲車就沒有機會超過乙車，即兩車不相遇；若在v甲=v乙時，兩車剛好相遇，隨后v甲=v乙，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在v甲=v乙前甲車己超過乙車，即已相遇過一次，隨后由于v甲v乙，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時，再相遇一次，別兩車能相遇兩次。解法一：由于x甲=v0t+a2t2，x乙=a1t2，相遇時有x甲x乙=x，則：v0t+a2t2a1t2=x，（a1a2）t2v0t+x=0所以t= 當a1a2 時，式t只有一個正解，別相遇一次。 當a1=a2 時，x甲x乙= v0t

11、十a(chǎn)2t2a1t2=v0t=x，所以t=，t只有一個解，則相遇一次。 當a1a2 時，若2（a1a2）x，式無解，即不相遇，若=2（a1a2）x，式t只有一個解，即相遇一次。若2（a1a2）x，式t有兩個正解，即相遇兩次。解法二：利用vt圖象求解， 當a1a2時，甲、乙兩車的運動圖線分別為如右上圖中：的I和，其中劃斜線部分的面積表示t時間內(nèi)甲車比乙車多發(fā)生的位移，若此面積為S，則t時刻甲車追上乙車而相遇，以后在相等時間內(nèi)甲車發(fā)生的位移都比乙車多，所以只能相遇一次。 當a1a2 時，甲、乙兩車的運動圖線分別為如上左圖中的I和，討論方法同，所以兩車也只能相遇一次。 當a1=a2 時，甲、乙兩車的運

12、動圖線分別為如上右圖中的I和，其中劃實斜線部分的面積表示甲車比乙車多發(fā)生的位移。若劃實斜線部分面積小于S，則不能相遇；若劃實斜線部分面積等于S，說明甲車剛追上乙車又被反超，則相遇一次；若劃實斜線部分的面積大于s，如圖中0t1內(nèi)劃實斜線部分的面積為S，說明t1時刻甲車追上乙車，以后在t1t時間內(nèi)，甲車超前乙車的位移為t1t時間內(nèi)劃實斜線部分的面積，隨后在tt2時間內(nèi)，乙車比甲車多發(fā)生劃虛線部分的面積，如果兩者相等，則t2時刻乙車反超甲車，故兩車先后相遇兩次?！灸M試題】1. 甲、乙兩物體由同一位置出發(fā)沿同一直線運動，其速度圖象由圖所示，下列說法正確的是（ ）A. 甲做勻速直線運動，乙做勻變速直線

13、運動B. 兩物體兩次相遇的時刻分別為2 s末和6 s末C. 乙在前4 s內(nèi)的平均速度等于甲的速度D. 2 s后甲、乙兩物體的速度方向相反2. 在足夠長的平直公路上，一輛汽車以加速度a啟動時，有一輛勻速前進的自行車以速度v0從旁邊經(jīng)過，則以下說法正確的是（ ）A. 汽車追不上自行車，因為汽車啟動時速度小B. 以汽車為參考系，自行車時向前勻速運動的C. 汽車與自行車之間的距離開始是不斷增加的，直到兩車速度相等，然后距離減小，直到兩車相遇D. 汽車追上自行車的時間是3. 甲乙丙三輛汽車以相同的速度同時經(jīng)過某一個路標，從此開始甲車一直勻速運動，乙車先加速后減速，丙車先減速后加速，它們經(jīng)過下一個路標時速

14、度又相等，則（ ）A. 甲車先通過下一個路標 B. 乙車先通過下一個路標C. 丙車先通過下一個路標 D. 條件不足，無法判斷4. 兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度均為v0，若前車突然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時，后車以前車剎車的加速度開始剎車。已知前車在剎車過程中所行駛的距離為s，若要保證兩輛車在上述情況中不相撞，則兩車在勻速行駛時保持的距離至少應為（ ）A. 1s B. 2s C. 3s D. 4s5. 汽車A在紅綠燈前停住，綠燈亮起時起動，以0.4 m/s2的加速度做勻加速運動，經(jīng)過30 s后以該時刻的速度做勻速直線運動.設在綠燈亮的同時，汽車B以8 m/s的速度從

15、A車旁邊駛過，且一直以相同的速度做勻速直線運動，運動方向與A車相同，則從綠燈亮時開始（ ）A. A車在加速過程中與B車相遇 B. A、B相遇時速度相同 C. 相遇時A車做勻速運動 D. 兩車不可能再次相遇 6. 同一直線上的A、B兩質(zhì)點，相距s，它們向同一方向沿直線運動（相遇時互不影響各自的運動），A做速度為v的勻速直線運動，B從此時刻起做加速度為a、初速度為零的勻加速直線運動。若A在B前，兩者可相遇_次，若B在A前，兩者最多可相遇_次。7. 從相距30 km的甲、乙兩站每隔15 min同時以30 km/h的速率向?qū)Ψ介_出一輛汽車。若首班車為早晨5時發(fā)車，則6時從甲站開出的汽車在途中會遇到 輛

16、從乙站開出的汽車。8. 一礦井深125m，在井口每隔一段時間落下一個小球，當?shù)?1個小球剛從井口開始下落時，第1個小球恰好到達井底，則：（1）相鄰兩個小球下落的時間間隔是 s； （2）這時第3個小球與第5個小球相距 （g取10 ms2）9. 如圖，某時刻A、B兩物體相距7m，A以4 ms的速度向右做勻速直線運動，此時B的速度為10 ms，方向向右，在摩擦力作用下以2 m/s2的加速度做勻減速運動。從該時刻經(jīng)多長時間A追上B？10. 一輛巡邏車最快能在10 s內(nèi)由靜止加速到最大速度50 ms，并能保持這個速度勻速行駛，問該巡邏車在平直的高速公路上由靜止追上前方2 000m處正以35 ms的速度勻

17、速行駛的汽車，至少需要多長時間？11. A球自距地面高h處開始自由下落，同時B球以初速度v0正對A球豎直上拋，空氣阻力不計。問：（1）要使兩球在B球上升過程中相遇，則v0應滿足什么條件？（2）要使兩球在B球下降過程中相遇，則v0應滿足什么條件？12. 已知自行車速度為6m/s作直線運動，汽車從同時同地以初速10m/s，加速度a=0.5m/s2直線運行，試求自行車追上汽車前，兩車的最大距離。13. 摩托車以速度v1沿平直公路行駛，突然駕駛員發(fā)現(xiàn)正前方s處，有一輛汽車正以v2v1的速度開始減速，加速度大小為2。為了避免發(fā)生碰撞，摩托車也同時減速。求其加速度至少需要多少？14. 在某市區(qū)內(nèi)，一輛汽車

18、在平直的公路上以速度v向東勻速行駛，一位觀光游客正由南向北從斑馬線上橫過馬路，汽車司機發(fā)現(xiàn)前方有危險（游客正在D處向北走），經(jīng)0.7 s作出反應，從A點開始緊急剎車，但仍將正步行至B處的游客撞傷，該車最終在C處停下。為了清晰了解事故現(xiàn)場，現(xiàn)以圖示之：為了判斷汽車司機是否超速行駛，并測出肇事汽車的速度v，警方派一車胎磨損情況與肇事汽車相當?shù)能囈苑ǘㄗ罡咚俣葀m14.0ms行駛在同一馬路的同一地段，在肇事汽車的出事點B急剎車，恰好也在C點停下來，在事故現(xiàn)場測得AB17.5 m、BC14.0m、BD=2.6 m。問：（1）該肇事汽車的初速度vA是多大?（2）游客橫過馬路的速度是多大? 15. 如圖所

19、示，長L=75cm的靜止直筒中有一不計大小的小球，筒與球的總質(zhì)量為4kg現(xiàn)對筒施加一豎直向下，大小為21N的恒力，使筒豎直向下運動，經(jīng)t=0.5s時間，小球恰好躍出筒口。求：小球的質(zhì)量。（g=10m/s2）16. 如圖所示，升降機以勻加速度a上升，當上升速度為v時，有一螺帽自升降機天花板上松落，已知天花板距升降機底面為hm，求落至底面的時間。17. 雜技演員把三只球依次豎直向上拋出，形成連續(xù)的循環(huán)，在循環(huán)中，他每拋出一球后，再過一段與剛拋出的球在手中停留時間相等的時間，又接到下一個球，這樣，在總的循環(huán)過程中，便形成有時空中有3個球，有時空中有兩個球，而演員手中則有一半時間內(nèi)有球，有一半時間內(nèi)沒

20、有球。設每個球上升的高度為1.25m，取，求每個球每次在手中停留的時間是多少？18. 某升降機以1.6m/s的速度勻速上升，機內(nèi)一人自離升降機地板6.5m高處將一小球釋放，球與底板間的碰撞無任何損失，則第一次反彈的最高點比釋放點高（或低）了多少？19. 將兩小石塊A、B同時豎直上拋，A上升的最大高度比B的高出35m，返回地面的時間比B遲2s。問：（1）A、B的初速度分別為多少？（2）A、B分別達到的高度最大值各為多少？（）20. 甲、乙、丙三輛車行駛在平直公路上，車速分別為6m/s、8m/s、9m/s。當甲、乙、丙三車依次相距5m時，乙駕駛員發(fā)現(xiàn)甲車開始以1m/s2的加速度做減速運動，于是乙也

21、立即做減速運動，丙車亦同樣處理。如圖所示。直到三車都停下來時均未發(fā)生撞車事故。求丙車減速運動的加速度至少應為多大？【試題答案】1. B 2. C 3. B 4. B 5. C 6. 1；2 7. 7輛 8. 0.5；35 m 9. 8 s 10. 150 s 11.（1）v0 （2）v0解析：兩球相遇時位移之和等于h。即：gt2+（v0tgt2）=h所以：t=而B球上升的時間：t1=，B球在空中運動的總時間：t2=（1）欲使兩球在B球上升過程中相遇，則有tt1，即，所以v0（2）欲使兩球在B球下降過程中相遇，則有：t1tt2即 所以：v012. 解析：畫出兩車vt圖象如圖所示，可知，在自行車追

22、上汽車前，二者速度相同時，相距最大，為陰影三角形面積。且由圖可知，t=16s時，自行車追上汽車。13. 解：（1）如圖（甲）所示，其相對位移為 即 (甲)（2）如圖（乙）所示，當兩車間距較小，即時，兩車不發(fā)生碰撞的條件是，其相對速度為0，即二者有共同速度。因為，所以，由此可得摩托車的加速度為（3）如圖（丙）所示，兩車間距較大，即，汽車經(jīng)過時間先停下，摩托車經(jīng)時間后停下，這種情況下兩車不發(fā)生碰撞的條件為。有這時摩托車的加速度為14.（1）2l ms （2）1.53 ms15. 解：筒受到豎直向下的力作用后做豎直向下的勻加速運動，且加速度大于重力加速度；而小球則是在筒內(nèi)做自由落體運動，小球躍出筒口

23、時，筒的位移比小球的位移多一個筒的長度。設筒與小球的總質(zhì)量為M，小球的質(zhì)量為m，筒在重力及恒力的共同作用下豎直向下做初速為零的勻加速運動，設加速度為a；小球做自由落體運動設在時間t內(nèi)，筒與小球的位移分別為h1、h2（球可視為質(zhì)點），如圖所示。由運動學公式得 又有：，代入數(shù)據(jù)解得又因為筒受到重力（Mm）g和向下作用力F，據(jù)牛頓第二定律得16. 解：選升降機為參考系，螺帽受重力作用，相對加速度大小為g+a，豎直向下，相對運動可視為以g+a為加速度的自由落體，有所以為所求。17. 解：設一個球每次在手中停留的時間為，則手中連續(xù)拋出兩球之間的時間間隔為，而對于同一個球，它連續(xù)兩次自手中拋出的時間間隔則

24、為。在這段時間內(nèi)，此球有的時間停留在手中，則有的時間停留在空中，根據(jù)豎直上拋運動的規(guī)律得：代入數(shù)值得： 球一次豎直上拋運動的時間，則它每次在手中停留時間為0.2S。18. 解：設從放球到球與底板相碰需要時間t，放球時，球與底板的距離為h，升降機速度為，在此期間球下降距離，升降機上升距離為，如圖所示，因此有代入數(shù)據(jù)得解之得（負根舍去）這時球相對于地面的速度為而球相對于底板的速度由題意知，球與底板碰撞前后速度大小不變，即球被彈回時，球相對于底板的速度應為11.4m/s。由于升降機質(zhì)量較小球大得多，所以碰撞對升降機速度不影響，仍為向上，所以碰撞后小球相對于地面向上的速度由此可知球第一次上升的高度為因

25、而第一次回跳的最高點比釋放點高出的距離為19. 解析：設A、B初速度分別為、，二者上升的最大高度分別為、，A、B上升到最高點所經(jīng)歷的時間依次為、。在最高點，有將兩式代入得，由題意知 所以20. 解：先研究兩車行駛中的一種特殊臨界狀態(tài)，兩車同時停下且剛好接觸在一起。則 （1）若，要使其同時停下則必然相碰。即是說仍要增大，按DC線所示規(guī)律變化，在D處時二者相距最近，如圖所示。由題意知，有 （1）（2）如果，則還可再小些，二者不同時停下，停止時相對位移為，如圖中線那樣變化。有 三式聯(lián)立得（2）將題中數(shù)據(jù)代入可得由（1）式得乙、丙兩車間距由（2）式得一道“追及和相遇問題”試題的思考和引申A、B兩列火車

26、在同一軌道上同向行駛，A在前，速度為vA 10m/s，B在后，速度為vB30m/s，因大霧能見度低，B車在距A車500m時，才發(fā)現(xiàn)前方有A車，這時B車立即剎車，但要經(jīng)過1800mB車才能停下，問：(1)車若要仍按原速前進，兩車是否相撞？試說明理由。(2)B在剎車的同時發(fā)出信號，A車司機在收到信號1.5s后加速前進，A車加速度為多大時，才能避免事故發(fā)生？（不計信號從A傳到B的時間）第一問的解法如下：lsAsBs0解：先求B車從剎車到停下來所需時間tB由sB =vBtB得 B A A B tB= =2s=120s 再求在相同的時間內(nèi)A車通過的位移sA sA=vAtB=10120m=1200m 最后

27、比較sA+s0和sB的大小關系即可判斷結果 由于sA+s0=(1200+500)m=1700m故sA+s0sB由位置關系圖可知兩車會相撞。提問1：通過上面的計算我們知道兩車能相撞，試問它們何時相撞？解：設B車剎車后經(jīng)過時間t兩車相遇，依題意有sA+s0=sB 而sA=vAt，sB=vBt+at2（其中a為B車剎車過程中的加速度，根據(jù)已知條件很易求出a-0.25m/s2），將sA、sB的表達式代入上式解得t1=31s，t2=129s提問2：為什么有兩個解？t2是否有意義？答：A、B兩車相撞兩次，第一次是B車追上A車，第二次是A車追上B車。兩車只能相撞一次，故t2沒有意義。提問3：B車追上A車時，

28、哪車的速度大？ 答：B車的速度大， 因為B車從減速到和A車的速度相等所需的時間為：t= =s=80s，因為t t1，故B車的速度大。提問4：若A、B兩車相遇但不會相撞，A車又追上B車時，B車的速度是多大？從B車開始減速到兩車第二次相遇共需多少時間？ 答：由于B車剎車后經(jīng)過120s后就停下來，故129s時它的速度仍為零。由于B車停止后不能往后倒，故第二次相遇所需時間為：t2= =s=130s。這是一個實際問題，要注意解的合理性。提問5：若開始兩車相距700m，試問兩車是否會相撞？ 答：由于sA+s0=1200+700m=1900m，而sB=1800m，即sA+s0sB，故兩車不會相撞。提問6：若用第二種方法，即設B剎車后經(jīng)過時間t兩車相撞，方程是否有解呢？ 答：由sA+s0=sB得 vAt+ s0=vBt+at2 即10t+700=30t-0.125