一元二次方程的應(yīng)用（含答案

1、23.4 一元二次方程的應(yīng)用情境切入學(xué)海導(dǎo)航完全解讀知能點(diǎn)1、列一元二次方程解實(shí)際應(yīng)用題的一般步驟列方程解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題歷來(lái)是初中學(xué)生的難點(diǎn)，究其原因是理論指導(dǎo)不充分，必須熟練掌握解應(yīng)用題的一般步驟才能準(zhǔn)確解答各種類(lèi)型的應(yīng)用題，具體的步驟一般是：（1）審：審題要弄清已知量和未知量，問(wèn)題中的等量關(guān)系；（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)，有直接和間接兩種設(shè)法，因題而異；（3）列：列方程，一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系，列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，即方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否正確，是否符合題意；（6）答：寫(xiě)出答案友情提醒：列方程解應(yīng)用題應(yīng)該注意的一些問(wèn)題（1）要

2、注意各類(lèi)應(yīng)用題中常用的等量關(guān)系例如面積問(wèn)題中有關(guān)的面積公式，還要注意挖掘題目中隱含的等量關(guān)系；（2）注意語(yǔ)言與代數(shù)表達(dá)式的互化題目中有些條件是通過(guò)語(yǔ)言給出的，只有把它轉(zhuǎn)化成代數(shù)式才能為列方程服務(wù)；注意從語(yǔ)言敘述中寫(xiě)出等量關(guān)系；（3）注意單位問(wèn)題：一是在設(shè)元時(shí)必須寫(xiě)清單位，用對(duì)單位，例如不要把速度單位寫(xiě)成路程單位二是在列方程時(shí)，要注意方程兩邊的單位必須一致例1、某種商品原價(jià)50元。因銷(xiāo)售不暢,3月份降價(jià)10%,從4月份開(kāi)始漲價(jià),5月份的售價(jià)為64.8元,則4、5月份兩個(gè)月平均漲價(jià)率為 .思維點(diǎn)擊：由題意，3月份的售價(jià)可以用50（110%）表示，若設(shè)4、5月份兩個(gè)月平均漲價(jià)率為，則4月份的售價(jià)是5

3、0（110%）（1+），5月份的售價(jià)是50（110%）（1+）（1+）即50（110%）（1+），由于5月份的售價(jià)已知，所以可列出一個(gè)方程，進(jìn)而解決本題。解：設(shè)4、5月份兩個(gè)月平均漲價(jià)率為，由題意，得50（110%）（1+）=64.8。整理，得（1+）=1.44.解得：（不合題意，舍去）。所以4、5月份兩個(gè)月平均漲價(jià)率為20%。解后反思：列方程解應(yīng)用題，要注意求得的方程的解必須符合題意。例2、如圖，一塊長(zhǎng)和寬分別為60厘米和40厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，要在它的四角截去四個(gè)相等的小正方形，折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水槽，使它的底面積為800平方米.求截去正方形的邊長(zhǎng).思維點(diǎn)擊：設(shè)截去正方形的邊長(zhǎng)x厘米之后，

4、關(guān)鍵在于列出底面（圖示虛線(xiàn)部分）長(zhǎng)和寬的代數(shù)式.結(jié)合圖示和原有長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，不難得出這一代數(shù)式.解：設(shè)截去正方形的邊長(zhǎng)為x厘米，根據(jù)題意，得(602x) (402x) 800.原方程可寫(xiě)成：解這個(gè)方程，得如果截去的小正方形的邊長(zhǎng)為40厘米，那么左下角和右下角的兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)之和為80厘米，這超過(guò)了長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)60厘米，因此不符合題意，應(yīng)舍去。答：截去正方形的邊長(zhǎng)為10厘米。溫馨提示：在應(yīng)用一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，也像以前學(xué)習(xí)一元一次方程一樣，要注意分析題意，抓住主要的數(shù)量關(guān)系，列出方程，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決.求得方程的解之后，要注意檢驗(yàn)是否符合題意，然后得到原問(wèn)題的解答.范

5、例探究基礎(chǔ)思維探究探究點(diǎn)1、與圖形有關(guān)的問(wèn)題例1、為了培養(yǎng)孩子從小熱愛(ài)動(dòng)物的良好品德，在一邊靠校園20米的院墻，另外三邊用55米長(zhǎng)的籬笆，圍起一個(gè)面積為300的矩形場(chǎng)地組織生物小組學(xué)生喂養(yǎng)小鳥(niǎo)、兔子等小動(dòng)物問(wèn)這個(gè)場(chǎng)地的各邊長(zhǎng)為多少？思維點(diǎn)擊：設(shè)與院墻垂直的邊長(zhǎng)為x m，則與院墻平行的邊長(zhǎng)為(55-2x)m，根據(jù)矩形面積公式可列出方程式 解：設(shè)與院墻垂直的邊長(zhǎng)為x m，則與院墻平行的邊長(zhǎng)為(55-2x)m，根據(jù)題意得： 整理，得.解方程，得當(dāng)x20，即與院墻垂直的邊長(zhǎng)為20米時(shí)，另一邊長(zhǎng)為20米，即與院墻平行的邊長(zhǎng)為15米當(dāng)x15，即與院墻垂直的邊長(zhǎng)為15米時(shí)，另一邊長(zhǎng)為25米，即與院墻平行的邊

6、長(zhǎng)為25米由于校園的院墻長(zhǎng)20米，2025，所以此解不合題意，應(yīng)舍去答：與院墻垂直的邊長(zhǎng)為20米，與院墻平行的邊長(zhǎng)為15米溫馨提示：若設(shè)與院墻平行的邊長(zhǎng)為x m，則與院墻垂直的邊長(zhǎng)為m 根據(jù)矩形面積公式也可以列出方程式但出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，不如前一種設(shè)法好探究點(diǎn)2、利潤(rùn)問(wèn)題例2、某商場(chǎng)服裝柜在銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂(lè)”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了迎接“六一”國(guó)際兒童節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷(xiāo)售量，增加盈利，減少庫(kù)存。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價(jià)4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在銷(xiāo)售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？思維點(diǎn)擊：每天售出的童裝

7、件數(shù)每件童裝的利潤(rùn)=每天這種童裝的總利潤(rùn)。解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)元，根據(jù)題意，得化簡(jiǎn)，得，解得。因?yàn)橐M快減少庫(kù)存，所以應(yīng)取20。答：每件童裝應(yīng)降價(jià)20元。溫馨提示：求出方程的解后，必須根據(jù)要求，對(duì)方程的解進(jìn)行合理取舍。探究點(diǎn)3、增長(zhǎng)率問(wèn)題例3、某廠(chǎng)1月份生產(chǎn)零件 2 萬(wàn)個(gè)，第一季度共生產(chǎn)零件 7.98 萬(wàn)個(gè)，若每月的增長(zhǎng)率相同，求每月的增長(zhǎng)率。思維點(diǎn)擊：解：設(shè)每月的平均增長(zhǎng)率為x，依題意，得2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98經(jīng)整理，得100x2+300x-99=0，解得x1=0.3=30%，x2=-3.3不合題意，舍去。答：每月的增長(zhǎng)率為30%。溫馨提示：（1）解本題的關(guān)鍵是理解“7.

8、98 萬(wàn)個(gè)零件是3個(gè)月生產(chǎn)量的總和”，一定要注意審題；（2）牢記公式，為增長(zhǎng)率（降低）前的基礎(chǔ)數(shù)量，為增長(zhǎng)率（降低率），為增長(zhǎng)（降低）的次數(shù)，為增長(zhǎng)（降低）后的數(shù)量.綜合思維探究例4、一塊矩形耕地大小尺寸如圖1所示，要在這塊地上沿東西和南北方向分別挖2條和4條小渠，如果小渠的寬相等，而且要保證余下的耕地面積為9600米2，那么水渠應(yīng)挖多寬？ 圖1 圖2思維點(diǎn)擊：這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是，挖掘所占用土地面積只與挖渠的條數(shù)，渠道的寬度有關(guān)，而與渠道的位置無(wú)關(guān)，為了研究問(wèn)題方便可分別把東西和南北方向的渠道移動(dòng)到一起（最好靠一邊）。如圖2所示，那么剩余可耕的長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)為（1622x）米，寬為（644x）米

9、。解：設(shè)水渠應(yīng)挖x米寬，則根據(jù)題意，得答：水渠應(yīng)挖1米寬。溫馨提示：此類(lèi)問(wèn)題可采用“靠邊”的辦法使得圖形便于表達(dá)長(zhǎng)、寬，主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想.創(chuàng)新拓展思維探究例5、機(jī)械加工需用油進(jìn)行潤(rùn)滑以減小摩擦，某企業(yè)加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量為90千克，用油的重復(fù)利用率為60%，按此計(jì)算，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量為36千克。為了建設(shè)節(jié)約型社會(huì)，減少油耗，該企業(yè)的甲乙兩個(gè)車(chē)間都組織了人員為減少實(shí)際油耗量進(jìn)行攻關(guān)。甲車(chē)間通過(guò)技術(shù)革新后，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量下降到70千克，用油的重復(fù)利用率仍為60%，問(wèn)甲車(chē)間技術(shù)革新后，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量是多少千克？乙車(chē)間通過(guò)技術(shù)革新后，

10、不僅降低了潤(rùn)滑用油量，同時(shí)也提高了重復(fù)利用率，并且發(fā)現(xiàn)在技術(shù)革新前的基礎(chǔ)上，潤(rùn)滑用油量每減少1千克，用油的重復(fù)利用率將增加1.6%，這樣乙車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量下降到12千克。問(wèn)乙車(chē)間技術(shù)革新后，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的潤(rùn)滑用油量是多少千克？用油的重復(fù)利用率是多少？思維點(diǎn)擊：（1）機(jī)械設(shè)備實(shí)際耗油量為用油量-重復(fù)使用的用油量；（2）若設(shè)技術(shù)革新后的乙車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量為千克，則比技術(shù)革新前下降了（90-x）千克，從而重復(fù)利用率增加了，這樣，就可以根據(jù)題意列出方程。解：（1）由題意，得（千克）。（2）設(shè)乙車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量為千克，由題意，得，整理，得，

11、解得：（舍去），。答：(1)技術(shù)革新后，甲車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量是28千克.(2)技術(shù)革新后，乙車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量是75千克?用油的重復(fù)利用率是84%.解后反思：本題考查了考生靈活利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的能力。中考熱點(diǎn)探究中考動(dòng)態(tài)：一元二次方程的應(yīng)用是各地中考中非常重要的一個(gè)考查內(nèi)容，特別是近幾年來(lái)，各地中考題都更加重視數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用，因此此類(lèi)題目一般是以一個(gè)單獨(dú)的解答題進(jìn)行考查，而且考查的題型也逐步由以前常見(jiàn)的工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、面積問(wèn)題、平均增長(zhǎng)率問(wèn)題等向更新穎、更貼近生活的問(wèn)題轉(zhuǎn)變，這就要求同學(xué)們?cè)诰哂懈鼜?qiáng)的數(shù)學(xué)抽象能力的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。例6、

12、在一幅長(zhǎng)8分米，寬6分米的矩形風(fēng)景畫(huà)（如圖）的四周鑲寬度相同的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖（如圖）如果要使整個(gè)掛圖的面積是80平方分米，求金色紙邊的寬思維點(diǎn)擊：根據(jù)面積關(guān)系列方程.解：設(shè)金色紙邊的寬為x分米，根據(jù)題意，得（2x6）(2x8)80.解得：x11，x28（不合題意，舍去）答：金色紙邊的寬為1分米溫馨提示：“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的要素，它們是統(tǒng)一的圖形蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常常可以通過(guò)幾何圖形做出直觀(guān)的反映和描述本題把數(shù)量關(guān)系借助于圖形展示，兼容了數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀(guān)，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想整合提升知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)本節(jié)的

13、重點(diǎn)是利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，難點(diǎn)是數(shù)量關(guān)系的確定。用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，其關(guān)鍵是要找出等量關(guān)系，往往有時(shí)等量關(guān)系可以通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)表示出來(lái)；當(dāng)?shù)攘筷P(guān)系較隱蔽時(shí)，要考慮學(xué)習(xí)過(guò)的相關(guān)公式、規(guī)律來(lái)得出等量關(guān)系，并總結(jié)運(yùn)用方程解決問(wèn)題的一般步驟，體會(huì)方程的模型思想，及數(shù)形結(jié)合的思想。規(guī)律方法點(diǎn)津列方程解應(yīng)用題一般分為審題、設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗(yàn)、寫(xiě)出答案六步進(jìn)行，其中審題過(guò)程雖在草紙上進(jìn)行，但這一步非常重要，只有經(jīng)過(guò)認(rèn)真審題，分清已知條件和所求的量，弄清量與量之間的數(shù)量關(guān)系，才能準(zhǔn)確找出相等關(guān)系，設(shè)列方程。已知量與未知量之間的關(guān)系有的是直接給出的，

14、如和、差、倍、分、多少等關(guān)系，仔細(xì)審題便可找出；而有些關(guān)系則是由物理公式得來(lái)的。如路程=速度時(shí)間等等。這就需要對(duì)物理、化學(xué)等學(xué)科的有關(guān)定律比較熟悉才行，還有一些關(guān)系是在生產(chǎn)實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的。如在鍛造問(wèn)題中，盡管發(fā)生變化，但是體積卻沒(méi)有發(fā)生變化，抓住這一相等關(guān)系，常常給列方程帶來(lái)方便。思維誤區(qū)警示品味嘗試1、某城市2003年底已有綠化面積300公頃，經(jīng)過(guò)兩年綠化，綠化面積逐年增加，到2005年底增加到363公頃設(shè)綠化面積平均每年的增長(zhǎng)率為，由題意，所列方程正確的是（）2、如圖，在一條長(zhǎng)90米，寬60米的矩形草地上修三條小路，小路都等寬，除小路外，草地面積為5192米2的6個(gè)矩形小塊，則小路的寬度應(yīng)為（ ）A. 1米或104米B. 1米 C. 2米D. 1.5米3、三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方和等于155，則這三個(gè)數(shù)是（ ）A. 3、5、7B. 5、7、9C. 7、9、11D. 以上都不對(duì)4、蘭州市政府為解決老百姓看病難的問(wèn)題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格，某種藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，由每盒72元調(diào)至56元若每次平均降價(jià)的百分率為x，由題意可列方程為 5、一塊正方形鋼板上截去3cm寬的長(zhǎng)方形鋼條，剩下的面積是，則原來(lái)這塊鋼板的面積是 6、一塊長(zhǎng)36米，寬24米的矩形草地，現(xiàn)要在它的中央修建一個(gè)矩形噴水池，周?chē)牟莸刈髯叩?，走道的寬度相等，且噴水池的面積是矩形的草地的面積的，求周?chē)叩赖膶挾取?、某商場(chǎng)今年