高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題一

1、高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題一第一試一、選擇題：本大題共有6個小題，每小題6分，共計36分。OH hV1 向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖像如右圖所示，那么水瓶的形狀是( )(A) (B) (C) (D)2 3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，不同的分配方法共有( )(A)90種(B)180種(C)270種(D)540種3 橢圓1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的( )(A)7倍(B)5倍(C)4倍(D)3倍4 球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過這

2、3個點的小圓面積為4，那么這個球的半徑為( )(A)4(B)2(C)2(D)5 一個直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為( )(A)arccos(B)arcsin(C)arccos(D)arcsin6 在等比數(shù)列an中，a11，且前n項和Sn滿足，那么a1的取值范圍是( )(A)(1，)(B)(1，4)(C)(1，2)(D)(1，)二、填空題:本大題共6個小題，每小題9分，共54分，把答案填在題中橫線上.1. MN是雙曲線1(a0，b0)的弦，P是MN的中點，O是坐標(biāo)原點，斜率KMN和KOP均存在且不等于0，則兩斜率的乘積KMNKOP_2. 設(shè)x1、x2是實系數(shù)一元二次方程ax2b

3、xc0的兩個根，若x1是虛數(shù)，是實數(shù)，則S1的值為_3. 平面上有相異的11個點，每兩點連成一條直線，共得48條不同的直線，這11個點可以構(gòu)成的不同的三角形的個數(shù)為_4. 設(shè)數(shù)列an，當(dāng)an取最大值時，n_5. 對四位整數(shù)，若存在素數(shù)p使abcdpk(kN)，abcdpp5，則這樣的四位數(shù)最小為_6. 對于每一對實數(shù)x、y，函數(shù)f(t)滿足f(x)f(y)f(xy)xy1，且f(1)1，則方程f(x)x的整數(shù)解為_三、(滿分20分)設(shè)曲線C的方程是yx3x，將C沿x軸、y軸正方向分別平行移動t、s單位長度后得到曲線C1，寫出曲線C1的方程;證明曲線C與C1關(guān)于點A()對稱.如果曲線C與C有且僅

4、有一個公共點，證明:st且t0.四、(滿分20分)已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b11，b1b2b10145.求數(shù)列bn的通項bn;設(shè)數(shù)列an的通項anloga(1)(其中a0且a1)，記Sn是數(shù)列an的前n項和.試比較Sn與的大小，并證明你的結(jié)論.五、(滿分20分)已知：0,0,+,求coscossin(+)的最大值sinsincos(+)的最大值六、證明：存在4條兩兩異面的直線，使得沒有任何直線能與之同時相交。第二試一、(50分)已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BA與CD交于P，AD于BC交于Q，AC與BD交于M，求證圓心O是PQM的垂心。二、(50分)對滿足 x01 x的數(shù)列，求使xk1的最小正整

5、數(shù)k，這里a為小于1999得正整數(shù)。三、(50分)用兩種顏色去染正九邊形的頂點，每個頂點只染一種顏色。證明：在以這9點為頂點的所有三角形中，一定有兩個全等的三角形，每一個的三個頂點都同顏色。參考答案一、BDABBD二、1. 2.999 3.160 4.92 5.1399 6.2，1三.解:曲線C的方程為 y(xt)3(xt)s證明:在曲線C上任取一點B(x，y)，設(shè)B(x，y)使B關(guān)于A的對稱點，則有 (xx)/2t/2 (yy)/2s/2 xtx ysy 代入曲線C的方程，得x和y滿足方程: sy(tx)3(tx) 即 y(xt)3(xt)s 可知點B(x，y)在曲線C上. 反過來，同樣可以

6、證明，在曲線C上的點關(guān)于點A的對稱點在曲線C上. 因此，曲線C與C關(guān)于點A對稱.證明:因為曲線C與C有且僅有一個公共點，所以方程組 yx3x y(xt)3(xt)s有且僅有一組解，消去y，整理得 3tx23t2x(t3ts)0這個關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個根.所以t0并且其根的判別式 9t412t(t3ts)0解得 st3/4t且t0.四解:設(shè)數(shù)列bn得公差是d，由題意得 b11 10b110(101)d/2145 解得 b11 d3 bn3n2.由bn3n2知， Snloga(11)loga(11/4)loga11/(3n2) loga(11)(11/4)11/(3n2) (logab

7、n1)/3loga3 3n1 因此要比較Sn與(logabn1)/3的大小，可先比較(11)(11/4)11/(3n2)與3 3n1的大小. 取n1，有(11)3 311 取n2，有(11)(11/4)3 321 由此推測(11)(11/4)11/(3n2)3 3n1 (*) 若(*)式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定: 當(dāng)a1時，Sn(logabn1)/3; 當(dāng)0a1時，Sn(logabn1)/3.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明(*)式:(i)當(dāng)n1時已驗證(*)式成立.(ii)設(shè)nk(k1)時(*)式成立，即(11)(11/4)11/(3n2)loga3 3n1 (11)(11/4)11/(3k2)3 3k1 那么，當(dāng)nk1時， (11)(11/4)11/(3k2)11/3(k1)2 3 3k111/(3k1) 3 3k1(3k2)/(3k1) 3 3k1(3k2)/(3k1)33 3k43 (3k2)3(3k4)(3k1)2/(3k1)2 (9k4)/(3k1)20 3 3k1(3k2)/(3k1)33 3k433 3(k1)1