線性代數(shù)線性方程組解的結(jié)構(gòu)ppt課件

1、第3章 線性方程組,二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)與解法,三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)與解法,下頁,一、線性方程組的同解變換,3.1 線性方程組的同解變換,含有m個(gè)方程n個(gè)未知量的線性方程組一般形式為,若b=(b1, b2, bm)o ，則稱(1)為非齊次線性方程組； 若b=(b1, b2, bm)o ，即,(2),則稱(2)為齊次線性方程組, 或(1) 的導(dǎo)出組.,下頁,(1),代數(shù)方程,可用矩陣形式表示為 AX= b,對(duì)應(yīng)齊次方程組(2)可用矩陣形式表示為 AX=o.,其中，,下頁,含有m個(gè)方程n個(gè)未知量的線性方程組,(1),矩陣方程,可用向量形式表示為,對(duì)應(yīng)齊次方程組(2)可用向量形式表示為

2、,其中，,下頁,含有m個(gè)方程n個(gè)未知量的線性方程組,(1),向量方程,稱為方程組的系數(shù)矩陣.,稱為方程組的增廣矩陣.,下頁,系數(shù)矩陣與增廣矩陣,方程組的解為,于是得到,x2 =3-2x3,=-1,=-7,x1=3+2x2-4x3,x3=2,解：,r1r2,r2-3r1,r3+r1,r3-2r2,消元法解方程組過程,下頁,由上述求解過程可看出，對(duì)方程組的化簡(jiǎn)施行了三種運(yùn)算：,用一個(gè)非零數(shù)乘以方程；,用某個(gè)數(shù)乘以某一方程然后加到另一方程上去.,互換兩個(gè)方程的位置；,我們稱上述三種運(yùn)算為線性方程組的初等變換. 顯然，對(duì)方程 組施行初等變換得到的方程組與原方程組同解.,利用初等變換將方程組化為行階梯形

3、式的方程組，再利用回代法解出未知量的過程，叫做高斯消元法.,可以看出，對(duì)方程組（1）施行的初等變換，與未知量無關(guān)，只是對(duì)未知量的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算. 這些運(yùn)算相當(dāng)于對(duì)方程組 系數(shù)矩陣的增廣矩陣進(jìn)行了一系列僅限于行的初等 變換.,下頁,線性方程組的初等變換.,例1.,r1r2,r3-2r2,用消元法解線性方程組的過程，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)該方程組 的增廣矩陣施以初等行變換的過程.,消元法與矩陣的初等行變換,下頁,消元法與矩陣的初等行變換,下頁,行最簡(jiǎn)形矩陣,行階梯形矩陣,用消元法解線性方程組的過程，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)該方程組 的增廣矩陣施以初等行變換的過程.,總結(jié):對(duì)方程組施行的初等行變換，與未知量無關(guān)，只

4、 是對(duì)未知量的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算. 這些運(yùn)算相當(dāng)于 對(duì)方程組系數(shù)矩陣的增廣矩陣進(jìn)行了一系列僅限于行的 初等變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣.,下頁,消元法與矩陣的初等行變換,第2節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),2.1 齊次線性方程組有非零解的條件,齊次線性方程組為 AXo ,則AXo可表示為,若把矩陣A按列分塊為,根據(jù)向量組相關(guān)性的定義，有,定理1 齊次線性方程組AXo有非零解的充要條件是：矩陣 的列向量組a1, a2, ，an線性相關(guān).,其中,即r(A)n.,下頁,齊次線性方程組AXo只有唯一零解的充要條件是： 矩陣的列向量組a1, a2, ，an線性無關(guān). 即r(A)=n.,定理1 齊次線性方程組AXo

5、有非零解的充要條件是： 矩陣的列向量組a1, a2, ，an線性相關(guān).,即r(A)n.,齊次線性方程組AXo只有唯一零解的充要條件是： 矩陣的列向量組a1, a2, ，an線性無關(guān). 即r(A)=n.,推論1 如果齊次方程組中方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，則該方程組必有非零解.,推論2 n個(gè)方程n個(gè)未知量的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)行列式等于零.,下頁,2.2 齊次線性方程組解的性質(zhì),性質(zhì)1 若x1，x2 都是齊次線性方程組AXo的解，則 X x1+x2也是它的解.,這是因?yàn)?A(x1+x2),Ax1Ax2,=o.,o o,性質(zhì)2 若x是齊次線性方程組AXo的解，k為實(shí)數(shù)

6、，則Xkx 也是它的解.,這是因?yàn)?A(kx),k(Ax),o.,k(o),推論 如果x1, x2, , xs是齊次線性方程組AXo的解，則其 線性組合,仍是AXo的解.,為任意常數(shù).,其中,下頁,基礎(chǔ)解系的概念,定義3 設(shè)x1, x2, , xs 都是AXo的解,并且 (1) x1, x2, , xs線性無關(guān)； (2) AXo的任一個(gè)解向量都能由x1, x2, , xs線性表示， 則稱x1, x2, , xs為線性方程組AXo的一個(gè)基礎(chǔ)解系.,定理2 設(shè)A是mn矩陣，若r(A)=rn，則齊次線性方程組 AXo的基礎(chǔ)解系含有n-r個(gè)解向量.,即當(dāng)r(A)=rn時(shí)，齊次線 性方程組AXo解向量組

7、的秩為n-r.,下頁,2.3 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),通解（方程組的全部解）可以表示為：,證：因?yàn)閞(A)= r , 所以可利用 初等行變換把A化為行最簡(jiǎn)形 矩陣, 不失一般性設(shè)其為：,由此得到原方程組的等價(jià)方 程組(同解方程組)：,進(jìn)而得到方程組用自由未知 量表示的一般解：,下頁,從而得到方程組的 n-r個(gè)解向量:,由(*)式分別得到相應(yīng)的解,令,由此得到方程組用自由未知 量表示的一般解：,下頁,下證,是方程組,的一個(gè)基礎(chǔ)解系.,由左下式可以看出,的后n-r個(gè)分量，就是n-r個(gè)n-r維 單位向量，它們是線性無關(guān)的， 因而添加了r 個(gè)分量的向量組也 是線性無關(guān)的.,下頁,從而得到方程組的 n-

8、r個(gè)解向量:,由(*)式分別得到相應(yīng)的解,令,先證明向量組,線性無關(guān).,再證明方程組的任意一個(gè)解,線性表示.,設(shè),是方程組的任一解.,方程組的n-r 個(gè)解向量:,下頁,都可由,則,下頁,所以，,是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.,求解齊次線性方程組流程圖,下頁,系數(shù)矩陣A,階梯形矩陣B,r(A)=n,唯一零解,行最簡(jiǎn)形矩陣C,令自由未知量構(gòu)成的 向量取基本單位向量組,求出基礎(chǔ)解系,寫出通解,初等行變換,初 等 行 變 換,Y,N,方程組用自由未知 量表示的一般解,初等 行變換,確定方程組的約束未知量和自由未知量方法示意圖,下頁,對(duì)應(yīng)的變量為約束未知量(r個(gè)),對(duì)應(yīng)的變量為自由未知量(n-r個(gè)）,例1解線

9、性方程組,解：,由于r(A)=3=n,所以方程組只有零解，即,下頁,齊次方程組AX0，當(dāng)r(A)=n時(shí)，只有零解.,因?yàn)橹?A)=24，所以方程組有非零解.,解：,下頁,解：,一般解為,令,得基礎(chǔ)解系,通解為,下頁,解：,一般解為,通解為,得基礎(chǔ)解系,令,下頁,根據(jù)向量組線性組合的定義，有,定理3 非齊次線性方程組AXb有解的充要條件是：列向量b是系數(shù)矩陣A的n個(gè)列向量a1, a2, ，an的線性組合.,.,下頁,第3節(jié) 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),非齊次線性方程組為 AXb ,則AXb可表示為,若把矩陣A按列分塊為,其中,3.1 非齊次線性方程組有解的條件,性質(zhì)3 若h1，h2 是AXb的解，

10、則h1-h2 是其導(dǎo)出方程組 AXo的解.,這是因?yàn)?A(h1-h2),Ah1-Ah2,=o., b - b,性質(zhì)4 若h是AXb的解，x導(dǎo)出方程組AXo的解, 則 x+h是AXb的解.,這是因?yàn)?A(xh),AxAh, ob = b .,下頁,3.2 非齊次線性方程組解的性質(zhì),其中，k1, k2, , kn -r 為任意常數(shù).,定理4 設(shè)h0是AX=b的一個(gè)特解，x1, x2, , xn-r是其導(dǎo)出 方程組AX=o的基礎(chǔ)解系，則AX=b的通解為,下頁,3.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),證明: 設(shè)h是AX=b的任意一個(gè)解，則h -h0是其導(dǎo)出方程組 AX=o的一個(gè)解，從而可用AX=o的基礎(chǔ)解系

11、x1, x2, , xn-r表示， 即 h -h0k1x1k2x2+ kn-rxn-r , 于是AX=b的任一解可表示為 hh0+k1x1k2x2+ kn-rxn-r , k1, k2, , kn-r為任意常數(shù).,定理3 非齊次線性方程組AXb有解的充要條件是：,求解非齊次線性方程組流程圖,下頁,增廣矩陣(Ab),階梯形矩陣B,r(Ab)=r(A),方程組無解,行最簡(jiǎn)形矩陣C,確定自由未知量及約 束未知量,給出一般解,求AX=o的基礎(chǔ)解系,寫出通解,初等行變換,N,Y,r(Ab)=n,唯一解,初等行變換,Y,N,求AX=b的一個(gè)特解,例5解線性方程組,(A b)=,解：,下頁,顯然 r(A)=

12、2，r(Ab)=3,即r(A)=2r(Ab)，所以 方程組無解.,解：,(x2，x4為自由未知量)，,得方程組的特解為,由于 ，,令,方程組有無窮多組解，其一般 解為,對(duì)應(yīng)齊次方程組的一般解為,令,下頁,基礎(chǔ)解系為,得方程組的特解為,令,對(duì)應(yīng)齊次方程組的一般解為,令,方程的通解為,(k1，k2是任意常數(shù)) .,下頁,例7.已知線性方程組為,討論參數(shù) p, t 取何值時(shí),方程組 有解？無解？有解時(shí)求通解.,(1)當(dāng)2t時(shí)，即t-2 時(shí)，方程組無解；,(2)當(dāng)2t時(shí)，即t-2 時(shí)，方程組有解.,解：,(A b)=,下頁,當(dāng)8p, 即p8時(shí),通解為,(k為任意常數(shù)).,下頁,一般解為,(1)當(dāng)2t時(shí)

13、，即t-2 時(shí)，方程組無解；,(2)當(dāng)2t時(shí)，即t-2 時(shí)，方程組有解.,通解為, 當(dāng)8p=,即p=8時(shí),對(duì)應(yīng)方程組的一般解為,(k1,k2為任意常數(shù)) .,下頁,例8 已知向量 是非齊線性方程組,的三個(gè)解，求該方程組的通解.,解 設(shè)該非齊線性方程組為AX=b. h1,h2,h3由于是AX=b的解，所以,是其對(duì)應(yīng)齊次線性方程組AX=0的 解.因向量對(duì)應(yīng)的分量不成比例，故,線性無關(guān).因此,AX0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè) 數(shù)(4-r(A)2，即r(A)2；,又由于A中有二階子式,則r(A)2.所以r(A)=2.,即AX0的基礎(chǔ)解系含有2個(gè)向量，,是AX0的基礎(chǔ)解系,所以AX=b的通解為,下頁,1.

14、設(shè)A為n階方陣，若齊次線性方程組AX=o有非零解，則 它的系數(shù)行列式（ ）,2. 設(shè)X是AXb的解， X是其對(duì)應(yīng)齊次方程AXo的解， 則XX是（ ）的解,一、填空題,1. n元齊次線性方程組AXo存在非零解的充要條件是（ ） A的列線性無關(guān)； A的行線性無關(guān)； A的列線性相關(guān)； A的行線性相關(guān),2. 設(shè)x，x是AX=o的解，h，h是AXb的解，則（ ） xh是AXo的解； hh為AXb的解； xx是AXo的解； x- x是AXb的解,二、單選題,=0,AX=b,下頁,三、判斷題 （1）無論對(duì)于齊次還是非齊次的線性方程組，只要系數(shù)矩陣的秩 等于未知量的個(gè)數(shù)，則方程組就有唯一解； （2）n個(gè)方程n

15、個(gè)未知量的線性方程組有唯一解的充要條件是方程 組的系數(shù)矩陣滿秩； （3）非齊次線性方程組有唯一解時(shí)，方程的個(gè)數(shù)必等于未知量的 個(gè)數(shù)； （4）若齊次線性方程組系數(shù)矩陣的列數(shù)大于行數(shù)，則該方程組有 非零解； （5）三個(gè)方程四個(gè)未知量的線性方程組有無窮多解； （6）兩個(gè)同解的線性方程組的系數(shù)矩陣有相同的秩.,(錯(cuò)),(對(duì)),(對(duì)),(對(duì)),(錯(cuò)),(錯(cuò)),下頁,作業(yè)： 107頁 1(4)(5) (6) 3(2)(3) (4),結(jié)束,定理 給定n維列向量組b，a1，a2， ，am ，向量b可由向量組 a1，a2， ，am 線性表示的充要條件是方程組AK= b有解. 特別地，若方程組AK= b有唯一解，

16、則線性表示式是唯一的.,補(bǔ)充例 設(shè),b能否用a1，a2，a3線性表示. 若能,寫出線性組合式.,解 設(shè)bk1a1k2a2 k3a3 ， 得非齊次線性方程組,由于 故方程組 有唯一解. b可由能否用a1，a2， a3唯一線性表示.解得,所以,下頁,例8 若A，B均為n階方陣，ABO，則r(A)+r(B)n. 證 設(shè)矩陣B的列向量為b1,b2,bn，則 A(b1,b2,bn)=(0,0,0)于是Abj0 （j1，2，n) 即B的列向量b1,b2,bn是齊次線性方程組AX=0的解向量. 設(shè)r(A)=r，則齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有n-r 個(gè)解向量，于是 向量組b1,b2,bn的秩n-r，即

17、r(B)n-r，于是 r(A)+r(B)n.,下頁,例9 設(shè) 求一個(gè)秩為2的三階方陣，使AB=O.,解 設(shè)矩陣B的列向量為b1,b2,b3，由ABO得 A(b1,b2,b3)=(0,0,0) 由例8得, B的列向量是AXO的解向量.,易見r(A)=1, 于是可取AX=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解向量作為B的前兩列，第三列可取的任一解向量. AX0基礎(chǔ)解系為,所以所求B為,下頁,第4章 矩陣的對(duì)角化與二次型的化簡(jiǎn),一、矩陣的特征值與特征向量,二、相似矩陣與矩陣的相似對(duì)角化,下頁,三、二次型的概念,五、正交變換與二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,六、慣性定律與正定二次型,四、合同變換與二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,方程(lE-A)Xo的

18、解都是特征值l的特征向量嗎？,定義1 設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)l和n維非零列向量X滿足 AXlX， 則稱l為A的特征值，稱向量X為A的對(duì)應(yīng)于特征值l的特征向量., |lE-A|0,矩陣 lE-A 稱為 A 的特征矩陣； l 的 n 次多項(xiàng)式 |lE-A| 稱為 A 的特征多項(xiàng)式； 方程 |lE-A|0 稱為 A 的特征方程.,(lE-A)Xo,AXlX,注意：如果X是A的對(duì)應(yīng)于特征值l的特征向量，則,問題：,特征值l的特征向量有多少？,怎樣求矩陣的特征值和特征向量？, lX-AXo,下頁,第1節(jié) 矩陣的特征值與特征向量,1.1 特征值特征向量的概念與計(jì)算,方程 |lE-A|0 的每個(gè)根都是矩

19、陣A的特征值. 方程(lE-A)Xo的每個(gè)非零解都是l對(duì)應(yīng)的特征向量.,解：矩陣的特征方程為,|lE-A|,=(l-4)(l+2)=0，,矩陣A的特征值為 l14，l2-2 ., 對(duì)于特征值l14,解齊 次線性方程組(4E-A)Xo，,于是，矩陣A對(duì)應(yīng)于l14的 全部特征向量為,(c1不為0) .,下頁,解：矩陣的特征方程為,|lE-A|,=(l-4)(l+2)=0，,矩陣A的特征值為 l14，l2-2 .,對(duì)于特征值l2-2，解齊 次線性方程組(-2E-A)Xo，,于是，矩陣A對(duì)應(yīng)于l2-2 的全部特征向量為,(c2不為0) .,下頁,方程 |lE-A|0 的每個(gè)根都是矩陣A的特征值. 方程

20、(lE-A)Xo的每個(gè)非零解都是l對(duì)應(yīng)的特征向量.,解：矩陣的特征方程為,=(l-2)(l-1)2=0，,矩陣A的特征值為 l1l2=1 ，l32 ., 對(duì)于特征值l1 l2 1， 解線性方程組(E-A)Xo，,于是，A的對(duì)應(yīng)于l1 l2 1 的全部特征向量為,(c1不為0) .,下頁,解：矩陣的特征方程為,l+1,-1,0,=(l-2)(l-1)2=0，,矩陣A的特征值為 l1l2=1 ，l32 ., 對(duì)于特征值l32，解線性方程組(2E-A)Xo，,于是，A的對(duì)應(yīng)于l32的全 部特征向量為,(c2不為0) .,下頁,的特征值與特征向量.,|lE-A|,=(l+2)2(l-4)=0，,矩陣A

21、的特征值為 l1l2=-2, l34 ., 對(duì)于特征值l1l2=-2, 解線性方程組(-2E-A)Xo,解：矩陣的特征方程為,= (l+2),于是，A的對(duì)應(yīng)于l1l2=-2 的全部特征向量為,(c1,c2不全為0) .,下頁, 對(duì)于特征值l3=4 ，解 線性方程組(4E-A)Xo，,于是，A的對(duì)應(yīng)于l34的全 部特征向量為,解：矩陣的特征方程為,=(l+2)2(l-4)=0，,矩陣A的特征值為 l1l2=-2, l34 .,|lE-A|,的特征值與特征向量.,(c3不為0) .,下頁,性質(zhì)1 如果n 階方陣A的全部特征值為l1,l2, ,ln (k重特征值 算作k個(gè)特征值)，則 l1+l2+

22、+ln= Tr(A); 其中,Tr(A)=a11+ a22+ a33+ ann , 稱為矩陣A的跡. l1l2 ln|A|,下頁,推論：n階方陣可逆的充分必要條件是A的特征值不等于零.,證明：,1.2 特征值與特征向量的性質(zhì),證明: 由性質(zhì)2可知，若A是可逆矩陣，即|A|0，則A的 任一個(gè)特征值都不為零,若X是A的屬于特征值l的特征向量，則 Al， 兩端同乘A-1,并整理得 A-1X= l-1,即l-是A-的特征值，X也是A-的對(duì)應(yīng)于l-的特征向量.,性質(zhì)2 設(shè)l是可逆方陣A的一個(gè)特征值，X是它對(duì)應(yīng)的特征 向量，則l0 ， l-1 是A-1的一個(gè)特征值，且X也是A-1的對(duì)應(yīng) 于l-1的特征向量

23、,下頁,性質(zhì)3設(shè)l是方陣A的一個(gè)特征值，X為對(duì)應(yīng)的特征向量，m是 一個(gè)正整數(shù)，則lm是Am的一個(gè)特征值，X為對(duì)應(yīng)的特征向量,下頁,證明: 由于Al，兩端都左乘A得 A2lA, 把Al代入上式得 A2l(l)= l2， 依次類推可得 Amlm， 即lm是Am一個(gè)特征值，為對(duì)應(yīng)的特征向量,即 若f (x)是一個(gè)多項(xiàng)式，則f (l)是f (A)的特征值,下頁,推論 設(shè)l是方陣A的一個(gè)特征值， X為對(duì)應(yīng)的特征向量，則,是矩陣,的一個(gè)特征值(m為正整數(shù))， X為對(duì)應(yīng)的特征向量.,特別，若,則必有，,證明：,證明: 因?yàn)锳2=A ，所以A2-A=o, 設(shè)A的特征值為l ，則由性質(zhì) 4之推論可得l 2- l

24、 =0，解得，l 10， l 21. 證畢.,例7. 設(shè)3階矩陣A的三個(gè)特征值分別為l1=1, l2=0, l3= -1, 求矩 陣B=A2+3A+2E的特征值.,下頁,例6. 設(shè)n階矩陣A滿足A2=A，證明A有特征值為0或1.,解：令B=f(A)=A2+3A+2E，則由性質(zhì)4之推論可知f (l)是f (A) 的特征值，從而得矩陣B的三個(gè)特征值分別為：,性質(zhì)4 設(shè)X1, X2, Xm都是矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值l的特征向量, 如果它們的線性組合 k1X1+k2X2+ kmXmo, 則k1X1+k2X2+ kmXm也是矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值l的特征向量,下頁,特征向量的性質(zhì),證明：,性質(zhì)5 n階矩陣A互不相同的特征值l1，l2， ，lm，對(duì)應(yīng)的特征向量X1，X2， ，Xm線性無關(guān),下頁,證明:(用數(shù)學(xué)歸納法),性質(zhì)5 n階矩陣A互不相同的特征值l1，l2， ，lm，對(duì)應(yīng)的特征向量X1，X2， ，Xm線性無關(guān),性質(zhì)6 矩陣A的m個(gè)不同的特征值所對(duì)應(yīng)的m組線性無關(guān)的特征向量組并在一起仍然是線性無關(guān)的。,性質(zhì)7 設(shè)0是n階方陣A的一個(gè)t重特征值，則0對(duì)應(yīng)的特征向量集合中線性無關(guān)的向量個(gè)數(shù)不超過t.,補(bǔ)充性質(zhì),下頁,由性質(zhì)6和性質(zhì)7知:n階方陣A至多有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,性質(zhì)8 設(shè)A為n階矩陣，則A與AT有相同的特征值,證明：,|