安徽省安慶市第二中學(xué)2019_2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

1、安徽省安慶市第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）第卷（選擇題)一、單選題1.已知等比數(shù)列的公比，該數(shù)列前3項(xiàng)的乘積為1，則（ ）a. -2b. 2c. -4d. 4【答案】a【解析】【分析】先由數(shù)列前3項(xiàng)的乘積為1，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，從而可求出結(jié)果.【詳解】由已知，所以，即，又，所以，即.故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及等比數(shù)列的基本量計(jì)算，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)與通項(xiàng)公式即可，屬于?？碱}型.2.已知，下列說(shuō)法正確的是 （ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】d【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)得d成立，舉例說(shuō)明a,b,c錯(cuò)誤.

2、【詳解】因?yàn)?1,-1-2,2(-1)=1(-2),所以a錯(cuò)；因?yàn)?1 ,202=102,所以b錯(cuò)；因?yàn)?2-1 ,所以c錯(cuò)；由不等式性質(zhì)得若，則，所以d對(duì)，選d.【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查分析判斷能力.3.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解即可得到所求結(jié)果【詳解】由正弦定理得，又，為銳角，故選b【點(diǎn)睛】在已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，需要進(jìn)行解的個(gè)數(shù)的討論，解題時(shí)要結(jié)合三角形中的邊角關(guān)系，即“大邊（角）對(duì)大角（邊）”進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題4.九章算術(shù)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有竹九節(jié)，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減）

3、，上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，中三節(jié)容幾何？（）a. 二升b. 三升c. 四升d. 五升【答案】b【解析】【分析】由題意可得，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列再利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出中三節(jié)容量，即可得到答案【詳解】由題意，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列，上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，則中三節(jié)容量為，故選b【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的等差中項(xiàng)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題5.已知的三個(gè)內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，且，則這個(gè)三角形的形狀是（ ）a. 等邊三角形b. 鈍角三角形c. 直角三角形d. 等腰直角三角形【答案】a【解析】分析：先由正弦

4、定理進(jìn)行角化邊得到a2+b2-c2=ab再由余弦定理可得c值，結(jié)合即可得出結(jié)論.詳解：由正弦定理化簡(jiǎn)（a-c）（sina+sinc）=（a-b）sinb，得：（a-c）（a+c）=b（a-b），整理得：a2-c2=ab-b2，即a2+b2-c2=ab，由余弦定理得，再由，可得a=b，結(jié)合c=60，故三角形的形狀為等邊三角形，選a.點(diǎn)睛：考查正余弦定理的運(yùn)用，對(duì)角化邊得到a2+b2-c2=ab再由余弦定理得出c值是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.6.下列函數(shù)中，的最小值為4的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由基本不等式求最值的規(guī)則：“一正，二定，三相等”，對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可.【詳

5、解】選項(xiàng)錯(cuò)誤，可能為負(fù)數(shù)，沒有最小值；選項(xiàng)錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)可得，由基本不等式可得取等號(hào)的條件為，即，顯然沒有實(shí)數(shù)滿足；選項(xiàng)錯(cuò)誤，由基本不等式可得取等號(hào)的條件為，但由三角函數(shù)的值域可知；選項(xiàng)正確，由基本不等式可得當(dāng)，即時(shí)，取最小值，故選c.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.7.設(shè)變量滿足條件，則的最大值為（

6、）a. 13b. 14c. d. 119【答案】b【解析】【分析】先根據(jù)變量滿足條件，畫可行域，將變形為，平移直線，使得直線在y軸上的截距最大時(shí)的整點(diǎn)，即為最優(yōu)點(diǎn)再求解.【詳解】由變量滿足條件，畫可行域如圖所示a,b兩點(diǎn)， 將變形為，平移直線，在過(guò)整點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為.故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.8.在中，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)面積公式得到，再利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到答案.【詳解】利用余弦定理得到： 正弦定理： 故故選【點(diǎn)睛】本

7、題考查了面積公式，正弦定理，余弦定理，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.9.已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，的外接圓的面積為，且，則的最大邊長(zhǎng)為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，根據(jù)正弦定理得到，根據(jù)余弦定理得到，再計(jì)算得到答案.【詳解】的外接圓的面積為則，根據(jù)正弦定理： 根據(jù)余弦定理：故為最長(zhǎng)邊： 故選【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，外接圓面積，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.10.已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】根據(jù)題意，anf(n)，nn*，要使an是遞增數(shù)列，必有，據(jù)此有

8、：，綜上可得2a3.本題選擇d選項(xiàng).11.已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的最小值為（ ）a. 4b. 3c. d. 2【答案】d【解析】【分析】由題意得，求出公差的值，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和，從而可得，換元，利用基本不等式，即可求出函數(shù)的最小值【詳解】解：，、成等比數(shù)列，得或（舍去），令，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為2故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查基本不等式，屬于中檔題12.已知函數(shù)，若關(guān)于不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）a. 2b. 3c. 5d. 8【答案】d【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用一元二次不

9、等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解：函數(shù)，如圖所示當(dāng)時(shí)，由于關(guān)于不等式恰有1個(gè)整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又，則當(dāng)時(shí)，則不滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，沒有整數(shù)解當(dāng)時(shí)，至少有兩個(gè)整數(shù)解綜上，實(shí)數(shù)的最大值為故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.第卷（非選擇題)二、填空題（每題5分，共20分）13.如圖，從氣球上測(cè)得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為和，如果這時(shí)氣球的高是30米，則河流的寬度為_米.【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，利用特殊角的三角函數(shù)，可得答案詳解】解：由題意可知，故答案為.【點(diǎn)睛】本題給出實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，著重考查了三角函數(shù)的定義，屬于簡(jiǎn)

10、單題14.設(shè)且，則_【答案】【解析】【分析】討論，兩種情況，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可得出答案.詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列則由等比數(shù)列的求和公式可得故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等比數(shù)列的前項(xiàng)和，解題時(shí)不要忽略公比為1的情況，屬于中檔題.15.在中，角的對(duì)邊分別為，且，若外接圓的半徑為，則面積的最大值是_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合范圍可求的值，利用正弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：，由正弦定理可得：，又，即，可得：，外接圓的半徑為，解得，由余弦定

11、理，可得，又，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即最大值為4，面積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若不等式，對(duì)恒成立，則整數(shù)的最大值為_【答案】4【解析】【詳解】當(dāng)時(shí)，得， 當(dāng)時(shí)，又，兩式相減得，得，所以又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即因?yàn)?，所以不等式，等價(jià)于記，時(shí)，所以時(shí)，綜上，所以，所以整數(shù)的最大值為4考點(diǎn)：1數(shù)列的通項(xiàng)公式；2解不等式三、解答題（共70分）17.的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求角c；（2）若，

12、求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長(zhǎng).試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長(zhǎng)為考點(diǎn)：正余弦定理解三角形.18.設(shè)數(shù)列滿足：，且（），.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（）（2）【解析】【分析】(1)先根據(jù)等差中項(xiàng)判別法判斷出數(shù)列是等差數(shù)列,然后根據(jù)已知條件列式求出公差,即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求出前項(xiàng)和.【詳解】(1)由()可知數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)公差為,因?yàn)?所以,解得,所以的通項(xiàng)

13、公式為:();(2)由(1)知,所以數(shù)列的前項(xiàng)和:.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和,難度不大.19.已如函數(shù). （1）若不等式解集為時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式.【答案】(1) 或 (2)答案見解析【解析】【分析】（1）易得和2是方程的根（2）可知兩根為或者，再分別討論和的大小即可.【詳解】（1）的解集為或或（2）當(dāng)，即時(shí)，恒成立. 當(dāng)，即時(shí)，或當(dāng)，即時(shí)，或 綜上：時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為或；時(shí)，不等式的解集為或【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)含參解不等式題型，涉及到分類討論，討論時(shí)注意不重不漏，屬于較難題目20.在中，角，所對(duì)的邊分別

14、是，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得，進(jìn)而求得和，代入求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可將表示為，利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為，根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得： 即 （2）由（1）知： ， ，即的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解三角形知識(shí)的相關(guān)應(yīng)用，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用、與三角函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問(wèn)題；求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題，進(jìn)而利用正弦型函

15、數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.21.設(shè)函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于，有恒成立，求的取值范圍；（2）已知，若對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，并且存在，使得成立，求最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）據(jù)題意知，把不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最大致，即可求解.（2）由題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，進(jìn)而利用基本不等式，即可求解.【詳解】（1）據(jù)題意知，對(duì)于，有恒成立， 即恒成立，因此 ，設(shè)，所以，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的， ， （2）由對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，可得， 由存在，使得成立可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，【點(diǎn)睛】本題主要考查了恒成立問(wèn)題的求解，以及基本不等式求解最值問(wèn)題，其中解答中掌握利用分離參數(shù)法是求解恒成立問(wèn)題的重要方法，再合理利用二次函數(shù)的性質(zhì)，合理利用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.22.已知數(shù)列中，.（1）求，；（2）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（3）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.【答案】（1），（2）見解析，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)