2021年全章測(cè)試分類討論思想在一元二次方程中運(yùn)用舉例_第1頁(yè)
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1、分類討論思想在一元二次方程中的運(yùn)用 在數(shù)學(xué)中,常常要根據(jù)研究對(duì)象的性質(zhì)差異,分別對(duì)各種不同的情況予以分析的思想方法叫分類討論。本文以一元二次方程為例,談?wù)劮诸愑懻撍枷朐诮忸}中的運(yùn)用。 例1. 已知方程有實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍。 分析:字母系數(shù)的取值范圍問題,首先引起警覺,想到分類討論。因?yàn)檫@里并沒有指明是二次方程,故要考慮是一次方程的可能。 解:(1)當(dāng),即,方程為一元一次方程,有實(shí)數(shù)根; (2)當(dāng),即時(shí),方程為二次方程。由有實(shí)根的條件得: 所以,且 綜合(1)、(2),得: 評(píng)注:字母系數(shù)的取值范圍問題是否要討論,要看清題目的條件。一般設(shè)問方式有兩種(1)前置式,即“二次方程”;(2)后置式

2、,即“兩實(shí)數(shù)根”。這都表明是二次方程,不需討論,但切不可忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為零的要求。本例是根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行分類討論。 例2. 當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí),關(guān)于x的一元二次方程與的根都是整數(shù)。 解析:由于給出的關(guān)于x的方程是一元二次方程,所以二次項(xiàng)系數(shù)不為零,即。又由于方程均有實(shí)數(shù)根,所以 解得: 又 解得: 所以 又m是整數(shù),且,且或1 當(dāng)時(shí),方程為,解得方程的根為,它的根不是整數(shù),故舍去。 當(dāng)時(shí),方程的根為,方程根為,均為整數(shù),所以。 評(píng)注:本例是根據(jù)方程的根是否為整數(shù)進(jìn)行分類討論。 例3. 已知關(guān)于x的方程: (1)求證:無論m取什么實(shí)數(shù)值,這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根。 (2)若這個(gè)方程的兩

3、個(gè)實(shí)數(shù)根滿足,求m的值及相應(yīng)的。 解:(1) 所以不論m取何值,總有 所以,即 所以方程總有兩個(gè)相異的實(shí)根。 (2)因?yàn)?所以或 若,則 所以 所以 此時(shí) 所以 若,則 所以 所以,此時(shí) 所以 評(píng)注:本例是根據(jù)方程根的正負(fù)進(jìn)行分類討論,旨在去掉絕對(duì)值符號(hào)。 例4. 若實(shí)數(shù)a、b滿足,求的值。 解:由方程根的定義,知a、b是方程的兩個(gè)根 所以 所以 事實(shí)上,題設(shè)中的a與b是可以相等的,當(dāng)時(shí),原式2 綜上所述:當(dāng)時(shí),原式,當(dāng)時(shí)原式2 評(píng)注:本例是根據(jù)方程的根是否相等進(jìn)行分類討論。從上面例題我們可以歸納出用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解題的一般步驟是:(1)明確討論的對(duì)象;(2)進(jìn)行合理分類。所謂合理分類

4、,應(yīng)該符合三個(gè)原則:分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行,分類應(yīng)當(dāng)沒有遺漏,分類應(yīng)是沒有重復(fù)的;(3)逐類討論,分級(jí)進(jìn)行;(4)歸納并作出結(jié)論。練習(xí)題1若方程x2-2x+(2-)=0的兩根是a和b(ab),方程x2-4=0的正根是c,試判斷以a、b、c為邊的三角形是否存在若存在,求出它的面積;若不存在,說明理由2已知關(guān)于x的方程(a+c)x2+2bx-(c-a)=0的兩根之和為-1,兩根之差為1,其中a,b,c是ABC的三邊長(zhǎng) (1)求方程的根;(2)試判斷ABC的形狀3某服裝廠生產(chǎn)一批西服,原來每件的成本價(jià)是500元,銷售價(jià)為625元,經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè),該產(chǎn)品銷售價(jià)第一個(gè)月將降低20%,第二個(gè)月比第一個(gè)月提高6%

5、,為了使兩個(gè)月后的銷售利潤(rùn)達(dá)到原來水平,該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低百分之幾?4李先生乘出租車去某公司辦事,下午時(shí),打出的電子收費(fèi)單為“里程11公里,應(yīng)收29.10元”出租車司機(jī)說:“請(qǐng)付29.10元”該城市的出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)按下表計(jì)算,請(qǐng)求出起步價(jià)N(N12)是多少元里程(公里)0x336價(jià)格(元) N 參考答案1解:解方程x2-2x+(2-)=0,得x1=,x2=2- 方程x2-4=0的兩根是x1=2,x2=-2 所以a、b、c的值分別是,2-,2 因?yàn)?2-=2,所以以a、b、c為邊的三角形不存在 點(diǎn)撥:先解這兩個(gè)方程,求出方程的根,再用兩邊的和與第三邊相比較等來判斷2解:(1)設(shè)方程的兩

6、根為x1,x2(x1x2),則x1+x1=-1,x1-x2=1,解得x1=0,x2=-1(2)當(dāng)x=0時(shí),(a+c)02+2b0-(c-a)=0所以c=a當(dāng)x=-1時(shí),(a+c)(-1)2+2b(-1)-(c-a)=0a+c-2b-c+a=0,所以a=b即a=b=c,ABC為等邊三角形 點(diǎn)撥:先根據(jù)題意,列出關(guān)于x,x的二元一次方程組,可以求出方程的兩個(gè)根0和-1進(jìn)而把這兩個(gè)根代入原方程,判斷a、b、c的關(guān)系,確定三角形的形狀3解:設(shè)該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低x 625(1-20%)(1+6%)-500(1-x)2=625-500 整理,得500(1-x)2=405,(1-x)2=0.81 1-x=0.9,x=10.9, x1=1.9(舍去),x2=0.1=10% 答:該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低10% 點(diǎn)撥:題目中該產(chǎn)品的成本價(jià)在不斷變化,銷售價(jià)也在不斷變化,要求變化后的銷售利潤(rùn)不變,即利潤(rùn)仍要達(dá)到125元,關(guān)鍵在于計(jì)算和表達(dá)變動(dòng)后的銷售價(jià)和成本價(jià)4解:依題意,N+(6-3)+(11-6)=29.10, 整理,得N2-29.1N+191=0,解得N1=19.1,N2=10, 由于N12,所以N1=19.1舍去,所以N=10 答:起步價(jià)是10元 點(diǎn)撥:讀懂表格是正確列出方程的基

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