因式分解典型例題

1、典型例題一例01 選擇題：對(duì)運(yùn)用分組分解法分解因式，分組正確的是（）（A）（B）（C）（D）分析 本組題目用來判斷分組是否適當(dāng).（A）的兩組之間沒有公因式可以提取，因而（A）不正確；（B）的兩組，每一組第一次就沒有公因式可提，故（B）不正確；（D）中兩組也無公因式可提，故（D）不正確.（C）中第一組可提取公因式2，剩下因式；第二組可提取，剩下因式，這樣組間可提公因式，故（C）正確.例02 用分組分解法分解因式：（1）；（2）.分析 本題所給多項(xiàng)式為四項(xiàng)多項(xiàng)式，屬于分組分解法的基本題型，通過分組后提公因式或分組后運(yùn)用公式可以達(dá)到分解的目的.解 （合理分組）（組內(nèi)提公因式）（組間提公因式） （注意

2、符號(hào)）（組內(nèi)運(yùn)用公式）（組間運(yùn)用公式）說明 分組分解法應(yīng)用較為靈活，分組時(shí)要有預(yù)見性，可根據(jù)分組后“求同”有公因式或可運(yùn)用公式的原則來合理分組，達(dá)到分解的目的.另外在應(yīng)用分組分解法時(shí)還應(yīng)注意：運(yùn)用分組分解法時(shí)，可靈活選擇分組方法，通常一個(gè)多項(xiàng)式分組方法不只一種，只要能達(dá)到分解法時(shí)，殊途同歸.分組時(shí)要添加帶“”的括號(hào)時(shí)，各項(xiàng)要注意改變符號(hào)，如的第一步.典型例題三例03 分解因式：分析 本題按字母的降冪排列整齊，且沒有缺項(xiàng)，系數(shù)分別為，.系數(shù)比相等的有或，因而可分組為、或、. 解法一 （學(xué)會(huì)分組的技巧）解法二 說明 根據(jù)“對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例”的原則合理分組，可謂分組的一大技巧！典型例題四 例04 分解

3、因式：分析 本例為四項(xiàng)多項(xiàng)式，可考慮用分組分解法來分解.見前例，可用“系數(shù)成比例”的規(guī)律來達(dá)到合理分組的目的.解法一 解法二 說明 本例屬于靈活選擇分組方法來進(jìn)行因式分解的應(yīng)用題，對(duì)于四項(xiàng)式，并不是只要所分組的項(xiàng)數(shù)相等，便可完成因式分解.要使分解成功，需考慮到分組后能否繼續(xù)分解.本小題利用“對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例”的規(guī)律進(jìn)行巧妙分組，可謂思維的獨(dú)到之處，這樣避免了盲目性，提高了分解的速度.典型例題五例05 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）.分析 此組題項(xiàng)數(shù)較多，考慮用分組法來分解.解法 （1）（2）（3）說明 對(duì)于項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式合理分組時(shí)，以“交叉項(xiàng)”為突破口，尋找“相應(yīng)的平方項(xiàng)”進(jìn)行分組

4、，這使分組有了一定的針對(duì)性，省時(shí)提速.如中，“交叉項(xiàng)”為，相應(yīng)的平方項(xiàng)為、；中，“交叉項(xiàng)”為，相應(yīng)的平方項(xiàng)為、.典型例題六例06 分解因式：（1）；（2）.分析 本題兩例屬于型的二次三項(xiàng)式，可用規(guī)律公式來加以分解.解 （1），（2），.說明 抓住符號(hào)變化的規(guī)律，直接運(yùn)用規(guī)律.典型例題七例07 分解因式：（1）；（2）.分析 對(duì)（1），利用整體思想，將看作一個(gè)字母，則運(yùn)用型分解；對(duì)（2），將其看作關(guān)于的二次三項(xiàng)式，則一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，仍可用型的二次三項(xiàng)式的規(guī)律公式達(dá)到分解的目的.解 （1）（2），.典型例題八例08 分解因式：；.分析 本組題有較強(qiáng)的綜合性，且每小題均超過三項(xiàng)，因而可考慮通

5、過分組來分解.解 法一：（可繼續(xù)分解，方法很簡單：，對(duì)于方法類似，可以自己探索）法二：法三：（看作型式子分解）說明 中，雖然三法均達(dá)到分解目的，但從目前同學(xué)們知識(shí)范圍來看，方法二較好，分組既要合理又要巧妙，使分組不僅達(dá)到分解目的，又能簡化分解過程，降低思維難度.式雖超過四項(xiàng)，但通過分組仍可巧妙分解，只是分組后不是通常的提公因式或運(yùn)用公式，而是利用了型二次三項(xiàng)式的因式分解.將看做關(guān)于的二次三項(xiàng)式，.式表面看無法分解，既找不到公因式，又不符合公式特點(diǎn)，對(duì)待此類題目，應(yīng)采用“先破后立”的方式來解決.即先做多項(xiàng)式乘法打破原式結(jié)構(gòu)，然后尋找合適的方法.式項(xiàng)數(shù)多，但仔細(xì)觀察，項(xiàng)與項(xiàng)之間有著內(nèi)在聯(lián)系，可通過

6、巧妙分組以求突破.但應(yīng)注意：不可混淆因式分解與整式乘法的意義.如小題中做乘法的目的是為了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法.善于將外在形式復(fù)雜的題目看做熟悉類型，如小題中.典型例題九例09 分解因式：（1）；（2）分析 本組兩個(gè)小題既無公因式可提又不符合公式特點(diǎn)，原題本身給出的分組形式無法繼續(xù)進(jìn)行，達(dá)到分解的目的，對(duì)此類型題，可采用先去括號(hào)，再重新分組來進(jìn)行因式分解.解 （乘法運(yùn)算，去括號(hào)）（重新分組）（乘法運(yùn)算去括號(hào)）（重新分組）說明 “先破后立，不破不立”.思維的獨(dú)創(chuàng)性使表面看來無法分解的多項(xiàng)式找到最佳的分解方式.典型例題十例10分解因式分析 因式分解一般思路是：“一提、二代、三分組

7、、其次考慮規(guī)律式（十字相乘法）” .即：首先考慮是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考慮可否套用公式，用公式法分解；再考慮是否可以分組分解；對(duì)形如二次三項(xiàng)式或準(zhǔn)二次三項(xiàng)式可以考慮用“規(guī)律式”（或十字相乘法）分解.按照這樣的思路，本題首應(yīng)考慮用分組分解來嘗試.解 說明 當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式值為0，因而是的一個(gè)因式，因此，可從“湊因子” 的角度考慮，把6拆成，使分組可行，分解成功.運(yùn)用“湊因子”的技巧還可得出以下分解方法.法二：法三：（湊立方項(xiàng)）法四：（與湊立方項(xiàng)）（套用公式）法五：（拆項(xiàng)）法六：（湊平方差公式變項(xiàng)）法七：令則（為多項(xiàng)式一個(gè)因式，做變換）（做乘法展開）（還原回）說明 以上七種方

8、法中，前六種運(yùn)用了因式分解的一種常用技巧“拆項(xiàng)”（或添項(xiàng)），這種技巧以基本方法為線索，通過湊因式、湊公式等形式達(dá)到可分組繼而能分解的目的.“湊”時(shí)，需思、需悟、觸發(fā)靈感.第七種運(yùn)用了變換的方法，通過換元尋找突破點(diǎn).本題還可以如下變形： 典型例題十一例11若是完全平方式，求的值.分析 原式為完全平方式，由，即知為，展開即得值.解 是完全平方式應(yīng)為又，故.說明 完全平方式分為完全平方和與完全平方差，確定值時(shí)不要漏掉各種情況.此題為因式分解的逆向思維類，運(yùn)用來求解.典型例題十二例11 把下列各式分解因式： （1）； （2） （3）解：（1）由于16可以看作，于是有 ； （2）由冪的乘方公式，可以看作

9、，可以看作，于是有 ； （3）由積的乘方公式，可以看作，于是有 說明（1）多項(xiàng)式具有如下特征時(shí)，可以運(yùn)用完全平方公式作因式分解：可以看成是關(guān)于某個(gè)字母的二次三項(xiàng)式；其中有兩項(xiàng)可以分別看作是兩數(shù)的平方形式，且符號(hào)相同；其余的一項(xiàng)恰是這兩數(shù)乘積的2倍，或這兩數(shù)乘積2倍的相反數(shù). 而結(jié)果是“和”的平方還是“差”的平方，取決于它的符號(hào)與平方項(xiàng)前的符號(hào)是否相同. （2）在運(yùn)用完全平方公式的過程中，再次體現(xiàn)換元思想的應(yīng)用，可見換元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，學(xué)會(huì)運(yùn)用. 典型例題十三例12求證：對(duì)于任意自然數(shù)，一定是10的倍數(shù).分析 欲證是10的倍數(shù)，看原式可否化成含10的因式的積的形式.證明

10、是10的倍數(shù)，一定是10的倍數(shù).典型例題十四例13 因式分解（1）； （2）解：（1） 或 ； （2） 或 說明：（1）把有公因式的各項(xiàng)歸為一組，并使組之間產(chǎn)生新的公因式，這是正確分組的關(guān)鍵所在。因此，分組分解因式要有預(yù)見性； （2）分組的方法不唯一，而合理的選擇分組方案，會(huì)使分解過程簡單； （3）分組時(shí)要用到添括號(hào)法則，注意在添加帶有負(fù)號(hào)的括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)每項(xiàng)的符號(hào)都要改變； （4）實(shí)際上，分組只是為實(shí)際分解創(chuàng)造了條件，并沒有直接達(dá)到分解典型例題十五例14 把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）解：（1） （2） （3） 或 或 說明：（1）要善于觀察多項(xiàng)式中存在的公式形式，以便恰當(dāng)

11、地分組；同時(shí)還要注意統(tǒng)觀全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分組。如，就會(huì)分解不下去了； （2）有公因式時(shí)，“首先考慮提取公因式”是因式分解中始終不變的原則，在這里，當(dāng)提取公因式后更便于觀察分組情況，預(yù)測結(jié)果； （3）對(duì)于一道題中的多種分組方法，要善于選擇使分解過程簡單的分組方法，如題中前兩種分組顯然優(yōu)于后者。典型例題十六例15 把下列各式分解因式（1）；（2）.分析（1）的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)=，一次項(xiàng)系數(shù)1=，故這是一個(gè)型式子.（2）的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)=，一次項(xiàng)系數(shù) ，故這也是一個(gè)型式子.解：（1）因?yàn)?，并且1=，所以=.(2) 因?yàn)?，所以=.說明：因式分解時(shí)常數(shù)項(xiàng)因數(shù)分解的一般規(guī)律：（1）常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)時(shí)，它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們和一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相同.(2) 常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)時(shí),它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù),其中絕對(duì)值較大的因數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同. 典型例題十七例16 將分解因式