m材料力學(xué)第11章 能量法

第11章能量法11.1外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式11.2變形體虛功原理11.3單位載荷法11.4沖擊應(yīng)力分析11.5構(gòu)件加速運(yùn)動時(shí)的動應(yīng)力分析11.1外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式外力功的計(jì)算在外力作用下，彈性體發(fā)生變形，載荷作用點(diǎn)隨之產(chǎn)生位移。載荷作用點(diǎn)在載荷作用方向的位移分量，稱為該載荷的相應(yīng)位移。對于由零緩慢增加到最終值的靜載荷f，假設(shè)其相應(yīng)位移為Δ〔見圖11－1(a)〕，那么此力的功為〔11－1〕如果材料服從胡克定律，而且構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的變形很小，那么構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的位移與載荷成正比〔見圖11－1(b)〕，此時(shí)研究對象為線性彈性體，顯然此時(shí)外力的功為〔11－2〕式(11－2)是計(jì)算線性彈性體外力功的根本公式。應(yīng)該指出，式中的F為廣義力，即或?yàn)榧辛?，或?yàn)榧辛ε?，或?yàn)橐粚Υ笮∠嗟取⒎较蛳喾吹牧蛄ε嫉?；式中的Δ那么為相?yīng)的廣義位移，與集中力相應(yīng)的位移為線位移，與集中力偶相應(yīng)的位移為角位移，與一對大小相等、方向相反的力相應(yīng)的位移為相對線位移，與一對大小相等、方向相反的集中力偶對應(yīng)的相應(yīng)位移為相對角位移?？傊瑥V義力在相應(yīng)廣義位移上做功。圖11－1另外可以證明，當(dāng)線性彈性體上同時(shí)作用幾個(gè)載荷F1、F2、…、Fn時(shí)，不管按何種方法加載，廣義力在相應(yīng)廣義位移Δ1、Δ2、…、Δn上所做之總功恒為〔11－3〕上述關(guān)系稱為克拉比隆定理。應(yīng)變能的計(jì)算

根據(jù)功能原理，存儲在構(gòu)件內(nèi)的應(yīng)變能等于外力所做之功，對于線性彈性體1.軸向拉壓時(shí)的應(yīng)變能在前面已經(jīng)討論過，當(dāng)桿件處于軸向拉伸或壓縮時(shí)，其應(yīng)變能為假設(shè)軸力FN沿桿件軸線為一變量FN(x)，那么應(yīng)變能的一般表達(dá)式為〔11－4〕假設(shè)結(jié)構(gòu)是由n根直桿組成的桁架，整個(gè)結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)變能為〔11－5〕式中FNi、li、Ei和Ai分別為桁架中第i根桿的軸力、長度、彈性模量和橫截面面積。2.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能

圓軸受扭時(shí)〔見圖11－2〕，扭轉(zhuǎn)角為其應(yīng)變能為〔11－6〕假設(shè)扭矩T沿軸線為一變量T(x)，那么應(yīng)變能的一般表達(dá)式為〔11－7〕圖11－23.梁彎曲時(shí)的應(yīng)變能

在一般情況下〔見圖11－3(a)〕，梁的彎矩和剪力均沿軸線變化，因此，梁的應(yīng)變能應(yīng)從微段dx入手進(jìn)行計(jì)算〔見圖11－3(b)〕。

在彎矩M〔x〕作用下，微段兩端橫截面作相對轉(zhuǎn)動〔見圖11－3(c)〕，且在剪力FS〔x〕作用下，微段產(chǎn)生剪切變形〔見圖11－3(d)〕。所以，橫力彎曲時(shí)，彎矩僅在相應(yīng)的彎曲變形上做功；剪力僅在相應(yīng)的剪切變形上做功。但是，對于細(xì)長梁，剪力所做的功遠(yuǎn)小于彎矩所做的功，通常可忽略不計(jì)。所以，梁微段dx的應(yīng)變能為而整個(gè)梁的變形能那么為〔11－8〕圖11－3

4.組合變形桿件的應(yīng)變能

組合變形時(shí)，圓截面桿微段受力的一般形式如圖11－4(a)所示。圖11－4由于小變形的情況下各內(nèi)力分量引起的應(yīng)變互不耦合，在忽略剪力影響的情況下，由功能原理與克拉比隆定理可得，微段dx的應(yīng)變能為而整個(gè)桿或桿系結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為上式只適用于圓截面桿。對于非圓截面等一般桿件，那么有〔11－9〕〔11－10〕

例11－1圖11－5所示懸臂梁，在自由端承受集中力F與矩為Me的集中力偶作用。試計(jì)算外力所做之總功。設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。

解對于線性彈性體，根據(jù)疊加原理，截面A的撓度與轉(zhuǎn)角分別為(↑)圖11－5根據(jù)式〔11－3〕可知，載荷F與Me所做之總功為討論：假設(shè)載荷F與Me分別單獨(dú)作用在該懸臂梁時(shí)，他們所做功的和為即載荷所做之總功不能利用疊加原理進(jìn)行計(jì)算。因?yàn)樵谝话闱闆r下，各載荷所做之功并非僅與該載荷引起的位移有關(guān)，而且與其他載荷在該點(diǎn)處引起的位移也有關(guān)?；サ榷ɡ?/p>

當(dāng)線性彈性體上作用幾個(gè)外力時(shí)，外力所做之總功或彈性體的應(yīng)變能與外力的加載次序無關(guān)。據(jù)此，可以建立兩個(gè)重要的定理——功的互等定理與位移互等定理。

圖11－6(a)、(b)所示為同一線性彈性體〔以簡支梁為例〕的兩種受力變形狀態(tài)。規(guī)定廣義位移Δij表示作用在點(diǎn)j的載荷Fj引起的點(diǎn)i沿Fi方向的位移。在第一種受力狀態(tài)

〔見圖11－6(a)〕下，那么點(diǎn)1、點(diǎn)2的位移分別為Δ11、Δ21；在第二種受力狀態(tài)〔見圖11－6(b)〕下，那么點(diǎn)1、點(diǎn)2的位移分別為Δ12、Δ22。圖11－6考慮兩種加載方式。一是先加F1、然后再加F2〔見圖11－6(c)〕，那么外力所做總功為〔a〕另一種加載方式是先加F2、然后再加F1〔見圖11－6(d)〕，那么外力所做總功為〔b〕而外力所做之總功與加載次序無關(guān)，W1=W2，因此可得〔11－11〕作為上述定理的一個(gè)重要推論，如果F1=F2，那么由式(11－11)得〔11－12〕即當(dāng)F1與F2的數(shù)值相等時(shí)，F(xiàn)2在點(diǎn)1沿F1方向引起的位移Δ12，等于F1在點(diǎn)2沿F2方向引起的位移Δ21。此定理稱為位移互等定理。另外，還可以進(jìn)一步證明，功的互等定理不僅存在于兩個(gè)外力之間，而且存在于兩組外力系之間。功的互等定理可以表述為：對于線性彈性體，第一組外力在第二組外力所引起的位移上所做之功，等于第二組外力在第一組外力所引起的位移上所做之功。功的互等定理與位移互等定理是兩個(gè)重要定理，在固體力學(xué)與結(jié)構(gòu)分析中具有重要作用。例11－2圖11－7(a)所示簡支梁AB，在跨度中點(diǎn)C承受集中力F作用時(shí)，橫截面B的轉(zhuǎn)角為θFB=Fl3/16EI。試計(jì)算在截面B作用矩為Me的力偶時(shí)〔見圖11－7(b)〕，截面C的撓度ΔC。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。圖11－7

解根據(jù)功的互等定理，有由此解得(↓) 11.2變形體虛功原理

1.變形體虛功原理

虛功原理是分析靜力學(xué)的一個(gè)根本原理，適用于任意質(zhì)點(diǎn)系。對于處于平衡狀態(tài)的變形體，除了外力在任意虛位移上要做功外，內(nèi)力在相應(yīng)的變形虛位移上也要做功，前者稱為外力虛功，用We表示；后者稱為內(nèi)力虛功，用Wi表示。變形體的虛功原理可以表述為：

變形體平衡的充分必要條件是作用于其上的外力和內(nèi)力在任意虛位移上所做的虛功相等，即〔11－13〕此處的虛位移是除作用在桿件上的原力系本身以外，由其他因素引起的滿足位移邊界條件與變形連續(xù)條件的任意無限小位移。它是在原力系作用下的平衡位置上再增加的位移。它可以是真實(shí)位移的增量，也可以是與真實(shí)位移無關(guān)的其他位移，例如由另外的廣義力或溫度變化、支座移動等引起的位移，甚至可以是完全虛擬的。

虛位移既然可以與作用的力無關(guān)，就不受外力與位移關(guān)系的限制，也不受材料應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的限制，所以虛功原理不僅適用于線性彈性體，而且適用于非線性彈性體與非彈性體。2.內(nèi)力虛功的計(jì)算

結(jié)構(gòu)在靜平衡狀態(tài)下，微段dx的內(nèi)力如圖11－8所示。

對于任意的虛位移，微段的虛位移可以分為剛性虛位移和變形虛位移。該微段因其他各微段的變形而引起的虛位移稱為剛性虛位移，由于該微段本身變形而引起的虛位移那么稱為變形虛位移。如圖11－9所示，微段的變形虛位移分別用dδ*、dφ*、dθ*表示。忽略高階微量，作用在微段上的內(nèi)力所做之虛功為圖11－8圖11－9作用在結(jié)構(gòu)所有微段上的內(nèi)力所做之總虛功為〔11－14〕假設(shè)Fi是作用在結(jié)構(gòu)上的原力系中的廣義力，Δ*i是與Fi相應(yīng)的廣義虛位移，那么外力的虛功為那么變形體虛位移原理可具體表示為〔11－15〕〔11－16〕11.3單位載荷法由變形體虛功原理可以得到計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的一般方法——單位載荷法?？紤]圖11－10(a)所示任意桿（或桿系結(jié)構(gòu)），現(xiàn)在擬求其軸線上任意一點(diǎn)K沿任意方位a－a的位移Δ。為了求得位移Δ，可以再取一個(gè)同樣的結(jié)構(gòu)如圖11－10(b)所示，并且只在K點(diǎn)沿方位a－a施加一大小等于1的廣義力，即所謂單位力，該力以及與其平衡的內(nèi)力FN(x)、T(x)、M(x)構(gòu)成單位力系統(tǒng)。將結(jié)構(gòu)在所有外力作用下的實(shí)位移（見圖11－10(a)中的虛線）作為該單位力系統(tǒng)的虛位移，這時(shí)，單位力在位移Δ上所做的虛功為圖11－10We=1·Δ

同時(shí)，內(nèi)力在相應(yīng)的變形虛位移上所做的虛功為根據(jù)變形體虛功原理，于是得〔11－17〕以上所述計(jì)算位移的方法，稱為單位載荷法。需要指出的是，這里所求的位移以及施加的單位力都是廣義的。如果按上述公式求得的位移為正，即表示所求位移與所加的單位載荷同向；反之，那么表示所求位移與所加的單位載荷反向。單位載荷法不僅適用于線性彈性體，也適用于非線性彈性體與非彈性體。

對于線性彈性體，微段的變形為于是，公式〔11－17〕可寫為〔11－18〕式(11－18)稱為莫爾積分或莫爾定理。對于分別處于平面彎曲的梁與剛架、扭轉(zhuǎn)的圓軸、桁架，莫爾積分可分別簡化為〔11－19〕〔11－20〕〔11－21〕例11－3求圖11－11(a)所示簡支梁截面A的轉(zhuǎn)角。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。

解為了計(jì)算截面A轉(zhuǎn)角，在該簡支梁的截面A處加單位力偶〔見圖11－11(b)〕。

(1〕求約束力。根據(jù)靜平衡方程分別求出圖11－11(a)、(b)的約束力：圖11－11(2〕分段列彎矩方程。在建立彎矩方程M(x)與M(x)時(shí)，梁段的劃分與坐標(biāo)的選取要完全一致。按此原那么，將該梁劃分為AB與BC兩段，并選坐標(biāo)x1與x2如下圖，各梁段的彎矩方程為AB段：BC段：(3)計(jì)算θA。由莫爾積分得計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說明截面A的轉(zhuǎn)角與所加單位力偶的轉(zhuǎn)向相反，即截面A沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動。例11－4求圖11－12(a)所示剛架截面A的水平位移。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。

解為了計(jì)算截面A的水平位移，在該剛架的截面A處沿水平方向加單位力〔見圖11－12(b)〕。

(1〕求約束力。計(jì)算圖11－12(a)、(b)兩種情形下的約束力:圖11－12(2〕分段列彎矩方程。將該梁劃分為AB與CB兩段，并選坐標(biāo)x1與x2如下圖，各梁段的彎矩方程為AB段：CB段：〔3〕計(jì)算ΔA。由莫爾積分得

例11－5圖11－13(a)為一開有細(xì)小缺口的圓環(huán)，抗彎剛度EI為常數(shù)。試計(jì)算在均勻壓力q作用下缺口處的張開位移。圖11-13解為了計(jì)算圓環(huán)缺口處的相對位移，應(yīng)在該圓環(huán)缺口處加一對單位力〔見圖11－13(b)〕。

在外力q作用下，圓環(huán)任一截面的彎矩為在單位力作用下，圓環(huán)任一截面的彎矩為由莫爾積分得例11-6圖11-14a所示圓弧形小曲率圓截面桿，在桿端A承受鉛垂方向的載荷，試求相應(yīng)位移。設(shè)抗彎剛度EI與扭轉(zhuǎn)剛度GIP均為常數(shù)。圖11－14解為了計(jì)算截面A的鉛垂位移，在該曲桿截面A處沿鉛垂方向加單位力〔見圖11－14(b)〕。

在載荷F作用下，曲桿任一截面B的彎矩與扭矩分別為在單位力作用下，曲桿任一截面B的彎矩與扭矩分別為由莫爾積分得

例11－7圖11－15(a)所示桁架，在節(jié)點(diǎn)B承受鉛垂集中力F作用，試計(jì)算節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移。設(shè)桿1和桿2均為等截面直桿，材料服從胡克定律，且拉壓剛度EA相同。圖11-15解為了計(jì)算節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移，在該桁架的節(jié)點(diǎn)B處沿鉛垂方向加單位力〔見圖11－15(b)〕。

(1〕軸力分析。在載荷F作用下，桿1、桿2的軸力分別為在單位載荷作用下，桿1、桿2的軸力分別為(2〕節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算。由線性彈性體桁架的莫爾定理式〔11－21〕，得節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移為(↓)例11－8圖11－15(a)所示桁架，如果桿1材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為；桿2材料服從胡克定律，彈性模量為E；兩桿的橫截面面積均為A。試計(jì)算節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移。

解對于非線性彈性材料的結(jié)構(gòu)，應(yīng)根據(jù)式〔11－17〕表示的單位載荷法計(jì)算位移。對于桁架，由式〔11－17〕得〔11－22〕例題11－7已經(jīng)得到該桁架各桿的軸力；而各桿的軸向變形分別為將桿1、桿2的軸力FNi與軸向變形Δli代入式〔11－22〕，即得節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移為用單位載荷法計(jì)算線性彈性體位移時(shí)，對于等截面直桿，莫爾積分可以采用圖形相乘的方法進(jìn)行計(jì)算。用圖乘法計(jì)算積分的內(nèi)容，請參閱劉鴻文、單輝祖教授編寫的教材?材料力學(xué)?。鉛垂沖擊是指沖擊物與被沖擊物即將接觸的瞬間，沖擊物的速度是鉛垂向下的。如圖11－16所示，一重量為P的沖擊物自高度h處自由下落，沖擊某線性彈性體。由于彈性構(gòu)件的阻礙，沖擊物的速度在極短的時(shí)間內(nèi)迅速減小為零；與此同時(shí)，彈性體受到的沖擊載荷及相應(yīng)位移也到達(dá)最大值，并分別用Fd與Δd表示；此后系統(tǒng)開始振動。根據(jù)機(jī)械能守恒定律以及根本假設(shè)可知，在沖擊過程中，沖擊物減少的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為被沖擊彈性構(gòu)件存儲的應(yīng)變能。即〔a〕11.4沖擊應(yīng)力分析圖11－16沖擊物減少的機(jī)械能為〔b〕被沖擊彈性體增加的應(yīng)變能為〔c〕將式〔b〕、〔c〕代入式〔a〕，得〔d〕在線彈性范圍內(nèi)，定義沖擊動荷因數(shù)Kd為〔11－23〕式(11－23)中，Δst與σst是假設(shè)沖擊物的重力P以靜載荷的方式作用在被沖擊物時(shí)產(chǎn)生的靜變形與靜應(yīng)力；Δd與σd是沖擊載荷Fd產(chǎn)生的相應(yīng)截面的最大沖擊變形與沖擊應(yīng)力。將式〔11－23〕代入式〔d〕，整理后得由上式解得具有實(shí)際意義的最大沖擊變形為由此得到自由落體沖擊的動荷因數(shù)為〔11－24〕構(gòu)件受沖擊時(shí)的強(qiáng)度條件可寫為〔11－25〕式中［σ］為靜載荷時(shí)的許用應(yīng)力。以上討論對其他形式的沖擊問題同樣也適用，只是動荷因數(shù)不同而已。作為自由落體沖擊的特例，如果h=0，即將重物突然施加在線性彈性體上，其動荷因數(shù)Kd=2。所以在突加載荷作用下，構(gòu)件產(chǎn)生的變形和應(yīng)力是靜載荷的兩倍。例11－9圖11－17所示正方形截面梁跨中受自由落體沖擊。P=500N，h=20mm，梁的跨度l=1.0m，橫截面邊長b=50mm，彈性模量E=200GPa。試在以下兩種情況下計(jì)算截面C的撓度Δd與梁中的最大彎曲正應(yīng)力σd,max?！?〕梁兩端用鉸支座支持；〔2〕梁兩端用彈簧常數(shù)為k=100N/mm的彈簧支座支持。

解(1〕梁兩端用鉸支座支持時(shí)，在靜載荷P作用下截面C的撓度與梁中最大的正應(yīng)力分別為動荷因數(shù)為截面C的撓度與梁中最大的沖擊應(yīng)力分別為圖11－17水平?jīng)_擊應(yīng)力分析

如圖11－18所示，重量為P的沖擊物，沿水平方向以速度v沖擊某線性彈性體。根據(jù)機(jī)械能守恒定律以及有關(guān)假定可知，在沖擊過程中，沖擊物減少的動能全部轉(zhuǎn)化為被沖擊彈性構(gòu)件增加的應(yīng)變能,即即求解上式，可得水平?jīng)_擊的動荷因數(shù)為〔11－26〕假設(shè)圖11－18所示懸臂梁長為l，抗彎剛度為EI，抗彎截面系數(shù)為W，那么受沖擊截面B沿沖擊方向的靜撓度與梁中最大的靜應(yīng)力分別為那么梁端B的沖擊撓度與梁中最大的沖擊應(yīng)力分別為圖11－18吊索沖擊應(yīng)力分析

如圖11－19所示，吊索的末端C懸掛一重量為P的物體，吊索繞在鼓輪上，當(dāng)鼓輪轉(zhuǎn)動時(shí)，重物以速度v勻速下降。如果突然剎車或鼓輪突然被卡住，試分析吊索中的沖擊應(yīng)力。

設(shè)剎車前、后吊索中的軸向變形分別為Δst與Δd，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，重物減少的機(jī)械能等于吊索增加的彈性應(yīng)變能，于是有由此解得由上式得到吊索沖擊的動荷因數(shù)為〔11－27〕假設(shè)剎車時(shí)吊索的長度為l，橫截面面積為A，彈性模量為E，那么剎車前吊索的靜變形與靜應(yīng)力分別為剎車后吊索中的最大沖擊應(yīng)力為圖11－19扭轉(zhuǎn)沖擊應(yīng)力分析

圖11－20所示的飛輪，如果在A端突然剎車，即突然停止轉(zhuǎn)動，而B端的飛輪由于慣性作用將繼續(xù)轉(zhuǎn)動，這樣AB軸就受到?jīng)_擊，發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。將飛輪視為沖擊物，AB軸視為被沖擊物，這類問題稱為扭轉(zhuǎn)沖擊。圖11－20在扭轉(zhuǎn)沖擊過程中，飛輪損失的動能為設(shè)飛輪轉(zhuǎn)速為零時(shí)，軸內(nèi)最大沖擊扭矩與扭轉(zhuǎn)角分別為Td與φd，那么飛輪軸增加的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為。根據(jù)機(jī)械能守恒定律由此求得軸內(nèi)的最大扭矩為軸內(nèi)產(chǎn)生的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為(11－28〕以上討論了幾種根本的沖擊問題。假設(shè)沖擊物沖擊到一個(gè)靜不定結(jié)構(gòu)上，首先應(yīng)該按靜載荷方式求解靜不定問題；假設(shè)被沖擊結(jié)構(gòu)中有受壓桿件，還應(yīng)考慮其在沖擊情況下的穩(wěn)定性問題等。這些綜合性問題都需要具體問題具體分析，在各種不同情況下尋找動荷因數(shù)Kd。求出動荷因數(shù)Kd后，只要在靜載荷下會解決各種問題，沖擊情況下的一切問題就迎刃而解了。

總之，沖擊會造成構(gòu)件破壞，影響儀器儀表的正常工作，甚至造成人身傷害，故通常要設(shè)法防止或減輕沖擊。但另一方面，鍛壓、沖壓、打樁、爆炸加工和撤除、采礦等正是利用沖擊時(shí)產(chǎn)生的巨大載荷使被沖擊物產(chǎn)生永久變形或破壞，以到達(dá)工程目的。*11.5構(gòu)件加速運(yùn)動時(shí)的動應(yīng)力分析

構(gòu)件作加速直線平動時(shí)的動應(yīng)力分析

圖11－21(a)所示桿件AB以加速度a向上運(yùn)動，假設(shè)桿件橫截面面積為A，材料的密度為ρ，那么桿件單位長度的重力為Aρg；相應(yīng)的單位長度的慣性力為Aρa(bǔ)，方向向下。按照達(dá)朗貝爾原理，將此慣性力加于桿件上，與桿件的重力和提升力FAy、FBy組成平衡力系〔見圖11－21(b)〕。這個(gè)動載荷問題就簡化為橫力彎曲問題。圖11－21桿件的均布載荷集度的大小為桿件的最大彎矩發(fā)生在中央截面處，大小為相應(yīng)的最大應(yīng)力為最大撓度為強(qiáng)度條件為式中［σ］是