拉普拉斯變換(自動(dòng)控制原理)PowerPoint 演示文稿

1、拉普拉斯變換,補(bǔ)充內(nèi)容,一、什么叫做拉普拉斯變換,古典的求解微分方程的方法，求解過(guò)程比較繁瑣，而且只能處理一些比較簡(jiǎn)單（一階或二階的微分方程）。 而對(duì)我們以后要面對(duì)的自動(dòng)控制系統(tǒng)將包含很多環(huán)節(jié)，它們之間的變化互相制約著。如果還要通過(guò)古典法求解微分方程來(lái)分析自動(dòng)控制系統(tǒng)，那將是一個(gè)是分困難和不切實(shí)際的,拉普拉斯變換為我們提供了一種簡(jiǎn)單的求解微分方程的方法，是我們進(jìn)行系統(tǒng)分析的一個(gè)很好數(shù)學(xué)的工具。 拉普拉斯變換是將一個(gè)時(shí)域函數(shù)f(t)變換成一個(gè)復(fù)數(shù)域的函數(shù)F(s,像函數(shù),原函數(shù),這里像函數(shù)的具體形式取決于原函數(shù)的具體形式，也就是說(shuō)原函數(shù)和像函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的,假如已知F(s）又可以通過(guò)拉斯反變換求出

2、原函數(shù)，即,到此大家可能會(huì)問(wèn)：為什么要進(jìn)行拉普拉斯變換？是不是將問(wèn)題復(fù)雜化了,大家在初等數(shù)學(xué)中都學(xué)過(guò)自然對(duì)數(shù)。；例如,其中a，b，c代表的已知的數(shù)值，當(dāng)然我們可以直接用乘除法進(jìn)行計(jì)算，但當(dāng)這些數(shù)的數(shù)值較大，則乘除運(yùn)算還是相當(dāng)麻煩的。 為簡(jiǎn)化計(jì)算起見(jiàn)，可以對(duì)上式去自然對(duì)數(shù)，這樣一來(lái)就可將原來(lái)的計(jì)算此結(jié)果的乘除運(yùn)算變化為代數(shù)運(yùn)算,要計(jì)算此結(jié)果可以先查對(duì)數(shù)表，進(jìn)行計(jì)算，然后再查反對(duì)數(shù)表即可得到運(yùn)算結(jié)果,拉普拉斯變換的作用和對(duì)數(shù)計(jì)算有著相同的功效，不過(guò)拉斯變換不象對(duì)數(shù)那樣只是一個(gè)數(shù)與數(shù)之間的變換，而是函數(shù)與函數(shù)之間的變換。利用拉斯變換可以把解微分方程中遇到的微分、積分的運(yùn)算簡(jiǎn)化為關(guān)于s的代數(shù)運(yùn)算，因此

3、簡(jiǎn)化了解微分方程的求解過(guò)程。 和對(duì)數(shù)運(yùn)算一樣，在拉普拉斯變化的運(yùn)算中也有現(xiàn)成的變換表可查，不需要運(yùn)用定義去進(jìn)行復(fù)雜的積分運(yùn)算,二、拉斯變換主要運(yùn)算定理,拉斯變換之所以好用，就是因?yàn)樗哂幸恍┛梢约右岳玫幕拘再|(zhì)，下面的幾條主要運(yùn)算定理就是闡明拉斯變換的性質(zhì)，只有掌握了這些的定理才能發(fā)揮拉斯變換的作用。 下面就簡(jiǎn)述一下它的幾個(gè)主要定理,1、疊加定理,疊加定理告訴我們，如果,那么,即,證明：按定義,推廣,2、微分定理,微分定理是拉普拉斯變換的核心定理，為什么利用拉斯變換可以將微分、積分的運(yùn)算簡(jiǎn)化為一般的代數(shù)運(yùn)算？它的依據(jù)就是微分定理,微分定理告訴我們,如果,下面我們進(jìn)行證明,證明：依據(jù)拉斯變換的

4、定義，有,上式利用分部積分法進(jìn)行積分，現(xiàn)令,微分定理得以證明,依次類推，求三階導(dǎo) 的拉斯變化,推廣之,當(dāng)在零初始條件下,以上各階導(dǎo)數(shù)的拉斯變換為,也就是說(shuō)，對(duì)原函數(shù)每進(jìn)行一次微分后的拉斯變換就相當(dāng)于它像函數(shù)用s來(lái)乘一次。這里將微分運(yùn)算簡(jiǎn)化為乘以s，這就是拉斯變換的奧妙之處,3、積分定理,積分定理告訴我們，如果,證明：根據(jù)拉斯變換的定義 將f(t)看成是 的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)微分定理,所以,定理得以證明,在此基礎(chǔ)上加以推廣，求二次積分 拉斯變換，同理將 看成為 的導(dǎo)函數(shù),所以,在零初始條件下,也就是說(shuō)，原函數(shù)每積分一次的拉斯變換，即相當(dāng)于它的像函數(shù)用s來(lái)除一次,4、位移定理,位移定理告訴我們,如果,則

5、,證明： 根據(jù)拉斯變換的定義,又上式可見(jiàn)：上式只是在F(s)中的s由（s-a）代替即可，這個(gè)性質(zhì)表明一個(gè)原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù) 等于其象函數(shù)作位移a,5、延時(shí)定理（第二位移定理,f(t,f(t-z,z,若,則根據(jù)卡斯變換定義，有,令t-z=u,6、初值定理和終值定理,1）初值定理,此定理表明，原函數(shù)在t=0時(shí)情形與像函數(shù)在s時(shí)的情形有著密切的關(guān)系，既有,證明：根據(jù)拉斯變換的微分定理,上式中的f(0)是一個(gè)常數(shù)，與s無(wú)關(guān)，因此,從另一個(gè)角度看，又有,固有,所以,此性質(zhì)表明函數(shù)f(t)在t=0時(shí)函數(shù)的值可以通過(guò)f(t)的像函數(shù)F(s)乘以s取s的極限值而獲得它，建立原函數(shù)f(t)在坐標(biāo)原點(diǎn)的值與像函數(shù)sF(s)在s的值之間的關(guān)系,2）終值定理,次定理表明，原函數(shù)f(t)在t時(shí)的情形與像函數(shù)F(s)在s0時(shí)的情形有著密切的關(guān)系，即,根據(jù)拉斯變換的微分定理,上式中f(0)是一常數(shù)，與s無(wú)關(guān),從另一個(gè)角度看，又有,所以,這個(gè)性質(zhì)表明函數(shù)f(t)在t時(shí)的函數(shù)值（即穩(wěn)態(tài)值），可以通過(guò)f(t)的像函數(shù)乘以s取s0時(shí)的極限值而得到。它建立了函數(shù)f(t)在無(wú)限遠(yuǎn)的值與函數(shù)sF(s)在原點(diǎn)的值之間的關(guān)系,7、拉斯反變換,上面介紹的是拉普拉斯