復(fù)變函數(shù)冪級(jí)數(shù)

1、2 冪級(jí)數(shù),第四章 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法,定義,設(shè)復(fù)變函數(shù)列,1. 冪級(jí)數(shù)的概念,2. 收斂定理,定理1 (阿貝爾(Able)定理,3. 收斂圓與收斂半徑,由Able定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況,i) 在復(fù)平面上處處收斂,ii ) 在復(fù)平面上除z = a外處處發(fā)散,將收斂部分染成紅色， 將發(fā)散部分染成藍(lán)色， 紅色、藍(lán)色不會(huì)交錯(cuò),冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散， 在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析,根值法,比值法,4. 收斂半徑的求法,分析運(yùn)算,定理4,冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算,冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算,5. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì),代數(shù)運(yùn)算,冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算,冪級(jí)數(shù)的乘

2、法運(yùn)算,注： 冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂 滿足加法的結(jié)合律、交換律及分配律,冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算,冪級(jí) 數(shù)的代換運(yùn) 算在函數(shù)展 成冪級(jí)數(shù)中 很有用,例3,分析,解,3 解析函數(shù)的泰勒展式,通過對(duì)冪級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓的內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。 現(xiàn)在我們來研究與此相反的問題，就是： 任何一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級(jí)數(shù)來表示？ 這個(gè)問題不但有理論意義，而且很有實(shí)用價(jià)值,Taylor定理：設(shè)f (z) 在區(qū)域D內(nèi)解析，aD，只要圓K: z - a R含于D，則 f (z) 在K內(nèi)能展為冪（Taylor）級(jí)數(shù),且展示是惟一的,z,證明思路： 據(jù)柯西積分公式,將函數(shù)展開成泰勒

3、級(jí)數(shù)的方法,例1：求 f (z) = 1 / (1 - z) 在 z = i 處的Taylor展開,解,例2：將f ( z ) = e z在z = 0展為Taylor級(jí)數(shù),解, z | +,根據(jù)泰勒展式的唯一性，因此通常用間接展開法， 即利用基本展開公式及冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、代換、 逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分等將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)， 基本展開公式如下,例3：將cosz和sinz以z=0為中心展為Taylor級(jí)數(shù),解,z| ,注意：代數(shù)運(yùn)算 交換律與結(jié)合律 級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂,z| ,逐項(xiàng)求導(dǎo),1,解,解,代數(shù)運(yùn)算,代換 交換律與結(jié)合律 級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂,絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法（柯西乘積,解,將上面兩式直接相乘即可,解：利用,參照多項(xiàng)式的除法,解,化成微分方程法,于是,據(jù)直接法進(jìn)而得到此函數(shù)的在0點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開式 （即麥克勞林級(jí)數(shù),解：先計(jì)算展開系數(shù),例將f ( z ) = （1 + z) m在 z = 0展為Taylor級(jí)數(shù),易求其收斂半徑為1，故,式中,