專題勾股定理培優(yōu)版綜合

1、專題 勾股定理在動態(tài)幾何中的應(yīng)用.勾股定理與對稱變換(一)動點(diǎn)證明題1.如圖，在 ABC中, AB=AC若P為邊BC上的中點(diǎn)，連結(jié) AP,求證：BPX CP=aW-AP;(1)(2)若P是BC邊上任意一點(diǎn)，上面的結(jié)論還成立嗎若成立請證明，若不成立請說明(3)若P是BC邊延長線上一點(diǎn)，線段 AB AP、BP CP之間有什么樣的關(guān)系請證明你的結(jié)論.(二)最值問題AB(1)求證： AMBs ENBB任意一點(diǎn),PI k(2)當(dāng)M點(diǎn)在何處時，AW CM的值最小;當(dāng)M點(diǎn)在何處時，AW BWCM的值最小，并說明理由;(3)當(dāng)AW BW CM的最小值為.3 1時，求正方形的邊長.4.問題：如圖，在 ABC中，

2、D是BC邊上的一點(diǎn)，若/BA=Z C=2Z DA(=450，DC=2求BD的長小明同學(xué)的解題思路是：禾U用軸對稱，把 ADC進(jìn)行翻折，再經(jīng)過推理、計算使問題得到解決.BANDEMCECEBC MBM2.如圖，E為正方形ABCD勺邊AB上一點(diǎn)，AE=3，BE=1, P為AC上的動點(diǎn)，則PBfPE的最小值是 3.如圖，四邊形ABCD是正方形， ABE是等邊三角形，M為對角線將BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BN連接EN AM CM.(1)請你回答：圖中BD的長為_；BC(2)參考小明的思路，探究并解答問題：如圖，在ABC中, D是BC邊上的一點(diǎn)，若/ BAD=/ C=2Z DAC=30 , DC=2

3、求 BD和 AB的長.圖圖二.勾股定理與旋轉(zhuǎn)5閱讀下面材料：BC為邊在BC的下方作等邊 PBC求AP的最大值。小偉是這樣思考A:利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合.到 A BC,連接AA,當(dāng)點(diǎn)CB：心將 ABP逆時針旋轉(zhuǎn)60請你回答:B弋值是參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題:果可以不化簡）如圖3，等腰Rt AB邊 AB=4,PABC內(nèi)部一點(diǎn),A他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中落在識C上時，此題可解（如圖2）.C則AP+BP+C的最小值是（結(jié)6.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，AP=3 BP=4 CP=5求/ 圖1變式 1: ?ABC中, / ACB=9Oo AC=BC 點(diǎn) P 是？ABC

4、內(nèi)一點(diǎn)，且B的度數(shù).CA的度數(shù)曰他將C變式2:問題：如圖1，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PA： PB： PC=1：P2 : 3，小娜同學(xué)的想法是：不妨設(shè) PA=1，PB=2, PC=3,設(shè)法把PA PB7F BCP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90得到 BAE（如圖2）,然后連結(jié)戸3問題得請你回答：圖2中/APB的度數(shù)為請你參考小娜同學(xué)的思路，解決下列問題:小偉遇到這樣一個問題：如圖1,在厶ABC（其中/ BAC是一個可以變化的角）中，AB=2 AC=4以如圖3, P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知/ APB=15,Z BPC=25.（1） 在圖3中畫出并指明以PA PB PC的長度為三邊長的一個三角形（保留

5、畫圖痕跡）；（2）求出以PAPBPC的長度為三邊長的三角形的各內(nèi)角的度數(shù)分別等于 圖1圖2圖37.已知Rt ABC中, / AC住90, CA=CB有一個圓心角為45，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE CF分別與直線AB交于點(diǎn)M N.（1）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在/ACE的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，如圖，求證： MN2 AM2 BN2；（2）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖的位置時，關(guān)系式 MN 證明；若不成立，請說明理由.變 式 1 :女口 圖， 在 Rt ABC 中BAC 90 , AC AB, DAE 45AM 2 BN2是否仍然成立若成立，請F(tuán)圖且 BD 3, CE 4,貝U DE = 變式

6、2:如圖，在Rt ABC中，AB AC , D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且/ DAE=45，將 ADC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90后，得到 AFB，連接EF，下列結(jié)論: 厶 AED AEF ; 厶 ABE = ACD ; BE DC DE ; BE2 DC2 DE2其中正確的是（）A.；B ；C ； D.（三）其它應(yīng)用7.在厶ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為小寶同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的 邊長為1），再在網(wǎng) 格中畫出格點(diǎn) ABC （即 ABC三個頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示這樣不需求 ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積.（1） 請你將 ABC的面積直接

7、填寫在橫線上 ;思維拓展：（2）我們把上述求 ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.若 ABC三邊的長分別為 Qa、Ti3a、（a 0），請利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為 a ）畫出相應(yīng)的 ABC，并 求出它的面積填寫在橫線上 ;探索創(chuàng)新：（3）若厶ABC中有兩邊的長分別為 返a、M0a （ a 0 ），且厶ABC的面積為2 a2，試運(yùn)用構(gòu)圖 法在圖3的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a ）中畫出所有符合題意的 ABC（全等的 三角形視為同一種情況），并求出它的第三條邊長填寫在橫線上.8.已知/ AB（=90,點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），分別以AB AP為邊在 / ABC的內(nèi)部作等邊 ABEH APQ連結(jié)QE并延長交BP于點(diǎn)F.（1） 如圖1,若AB=2 3，點(diǎn)A、E、P恰好在一條直線上時，求此時 EF