奧數(shù)——流水行船問(wèn)題

1、行程問(wèn)題流水行船問(wèn)題知識(shí)廣角船在流水中航行的問(wèn)題叫做行船問(wèn)題。行船問(wèn)題是行程問(wèn)題中比較特殊的類型，它除了具備行程問(wèn)題中路程、速度和時(shí)間之間的基本數(shù)量關(guān)系，同時(shí)還涉及到水流的問(wèn)題，因船在江、河里航行時(shí)，除了它本身的前進(jìn)速度外，還會(huì)受到流水的順推或逆阻。行船問(wèn)題中常用的概念有：船速、水速、順?biāo)俣群湍嫠俣取４陟o水中航行的速度叫船速；江河水流動(dòng)的速度叫水速；船從上游向下游順?biāo)械乃俣冉许標(biāo)俣龋淮瑥南掠瓮嫌文嫠械乃俣冉心嫠俣?。除了行程?wèn)題中路程、速度和時(shí)間之間的基本數(shù)量關(guān)系在這里要反復(fù)用到外，行船問(wèn)題還有幾個(gè)基本公式要用到。順?biāo)俣?船速速+水（1） 逆水速度=船速-水速（2）公式（1

2、）表明，船順?biāo)叫袝r(shí)的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這是因?yàn)轫標(biāo)畷r(shí)，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進(jìn)，同時(shí)這艘船又在按著水的流動(dòng)速度前進(jìn)，因此船相對(duì)地面的實(shí)際速度等于船速與水速之和。公式（2）表明，船逆水航行時(shí)的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差。根據(jù)加減互為逆運(yùn)算的原理，由公式（1）可得：水速=順?biāo)俣?船速， 船速=順?biāo)俣?水速 由公式（2）可得：水速=船速-逆水速度， 船速=逆水速度+水速 這就是說(shuō)，只要知道了船在靜水中的速度、船的實(shí)際速度和水速這三者中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)。另外，已知某船的逆水速度和順?biāo)俣龋€可以求出船速和水速。因?yàn)轫標(biāo)俣染褪谴倥c水

3、速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據(jù)和差問(wèn)題的算法，可知：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）2 水速=（順?biāo)俣?逆水速度）2 方法探究例1：船在靜水中的速度為每小時(shí)13千米，水流的速度為每小時(shí)3千米，船從甲港順流而下到達(dá)乙港用了15小時(shí)，從乙港返回甲港需要多少小時(shí)？ 【思路導(dǎo)航】求乙港返回甲港所需要的時(shí)間，實(shí)際還是要用甲、乙兩港的全程除以返回時(shí)的速度，也就是說(shuō)路程、速度和時(shí)間三者關(guān)系很重要，只是速度上要注意是順?biāo)俣冗€是逆水速度。根據(jù)條件，用船在靜水中的速度+水速=順?biāo)俣?，知道了順?biāo)俣群晚標(biāo)畷r(shí)間，可以求出甲乙兩港之間的路程。因?yàn)榉祷貢r(shí)是逆水航行，用船在靜水中的速度-水速=逆水速度，再用甲乙

4、兩港之間的全長(zhǎng)除以逆水速度即可求出乙港返回甲港所需時(shí)間。解： 順?biāo)俣龋?3+3=16（千米/小時(shí)） 逆水速度：13-3=10（千米/小時(shí)） 全程：1615=240（千米）返回所需時(shí)間：24010=20（千米/小時(shí)）答：從乙港返回甲港需要24小時(shí)?！九e一反三】1、一只船在靜水中每小時(shí)行12千米，在一段河中逆水航行4小時(shí)行了36千米。這條河水流的速度是多少千米？ 例2： 一艘小船往返于一段長(zhǎng)120千米的航道之間，上行時(shí)行了15小時(shí)，下行時(shí)行了12小時(shí)，求船在靜水中航行的速度與水速各是多少？【思路導(dǎo)航】求船在靜水中航行的速度是求船速，用路程除以上行的時(shí)間就是逆行速度，路程除以下行時(shí)間就是順?biāo)俣取?/p>

5、順?biāo)俣扰c逆水速度的和除以2就是船速，順?biāo)俣扰c逆水速度的差除以2就是水速。解：逆水速度：12015=8（千米/小時(shí)）順?biāo)俣龋?2012=10（千米/小時(shí)）船速：（10+8）2=9（千米/小時(shí)）水速：（10-8）2=1（千米/小時(shí)）答：船在靜水中航行的速度是每小時(shí)9千米，水速是每小時(shí)1千米?！九e一反三】2、甲、乙兩港間的水路長(zhǎng)180千米，一只船從甲港開(kāi)往乙港，順?biāo)?小時(shí)到達(dá)，從乙港返回到甲港，逆水10小時(shí)到達(dá)，求船在靜水中的速度和水速。例3： 甲、 乙兩港相距200千米。一艘輪船從甲港順流而下10小時(shí)到達(dá)乙港，已知船速是水速的9倍。這艘輪船從乙港返回甲港用多少個(gè)小時(shí)？【思路導(dǎo)航】根據(jù)甲、乙兩

6、港的距離和從甲港到乙港的時(shí)間可以求出順?biāo)俣仁敲啃r(shí)20010=20（千米/小時(shí)），順?biāo)俣仁谴倥c水速的和，已知船速是水速的9倍，可以求出水速是20（1+9）=2（千米/小時(shí)），船速為29=18（千米/小時(shí)），逆水速度為18-2=16（千米/小時(shí)）解：順?biāo)俣龋?00 10=20（千米/小時(shí)） 水速：20（1+9）=2（千米/小時(shí)） 船速：29=18（千米/小時(shí)） 逆水速度：18-2=16（千米/小時(shí)）返回時(shí)間：20016=12.5（小時(shí)）答：這艘輪船從乙港返回甲港用12.5個(gè)小時(shí)?！九e一反三】3、a、b兩個(gè)碼頭相距112千米，一艘船從b碼頭逆水而上，行了8小時(shí)到達(dá)a碼頭。已知船速是水速的1

7、5倍，這只船從a碼頭返回b碼頭需要幾小時(shí)？ 例4： a、b兩港間相距360千米，一艘輪船往返兩港需35小時(shí)，逆流航行比順流航行多花了5小時(shí)。另有一艘機(jī)帆船，靜水中速度是每小時(shí)12千米，這艘機(jī)帆船往返兩港要多少小時(shí)？【思路導(dǎo)航】這是兩艘不同速度的船在兩港間航行，雖然兩船的速度不同，但兩船行駛的路程是相同的、水速也是不變的，因此我們要根據(jù)一條船中給出的相關(guān)條件，求出共同需要的條件“水速”，此題就不難解決了。先根據(jù)和差問(wèn)題的解題思路，分別求出順行時(shí)間和逆行時(shí)間；再根據(jù)兩港相距360千米和輪船的順行時(shí)間、逆行時(shí)間求出輪船的順行速度和逆行速度；求出了順行速度和逆行速度就可以求出水流的速度；最后，根據(jù)兩港

8、相距360千米和機(jī)帆船的船速、水速可求出機(jī)帆船順流航行和逆流航行的時(shí)間，兩者相加的和即是所求的問(wèn)題。解：順行時(shí)間：（35-5）2=15（小時(shí)） 逆行時(shí)間：35-15=20（小時(shí)） 順?biāo)俣龋?6015 = 24（千米/小時(shí)） 逆水速度：36020=18（千米/小時(shí)） 水速：（24-18）2=3（千米/小時(shí)） 往返時(shí)間：360（12+3）+360（12-3）=64（小時(shí)）答：這艘機(jī)帆船往返兩港要64小時(shí)?！九e一反三】4、乙船順?biāo)叫?小時(shí)，行了120千米，返回原地用了4小時(shí)，甲船順?biāo)叫型欢嗡罚昧?小時(shí)，甲船返回原地比去時(shí)多用了幾小時(shí)？知識(shí)廣角下面繼續(xù)研究?jī)芍淮诤恿髦邢嘤鰡?wèn)題車輛相遇問(wèn)題

9、：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)路程和等于甲乙兩車的速度和。 路程和=時(shí)間速度和 單位時(shí)間靠攏的路程等于甲、乙兩船速度和。推導(dǎo)：甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。結(jié)論：兩船在水中的相遇問(wèn)題與靜水中的及兩車在陸地上的相遇問(wèn)題一樣，與水速?zèng)]有關(guān)系。 同樣道理，如果兩只船，同向運(yùn)動(dòng)，一只船追上另一只船所用的時(shí)間，也只與路程差和船速有關(guān)，與水速無(wú)關(guān).這是因?yàn)椋?車輛同向：路程差=速度差時(shí)間 ，兩船同向：路程差=船速差時(shí)間推導(dǎo)： 甲船順?biāo)俣?乙船順?biāo)俣?=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。如果兩船逆向追趕時(shí)，也有：甲船逆水速度-乙船逆水速 =（甲船速-水

10、速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速。結(jié)論：水中追及問(wèn)題與在靜水中追及問(wèn)題及兩車在陸地上追及問(wèn)題一樣。例5：甲、乙兩只小船在靜水中速度分別為每小時(shí)12千米和每小時(shí)16千米，兩船同時(shí)從相距168千米的上、下游兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，幾小時(shí)相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，幾小時(shí)乙船追上甲船？【思路導(dǎo)航】此題為水中相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題，甲、乙兩船一個(gè)順流，一個(gè)逆流，那么它們的速度和為甲、乙兩只小船在靜水中速度的和，而水中的追擊問(wèn)題不論兩船同向逆流而上還是順流而下速度差均為甲、乙兩只小船在靜水中速度的差，因此用路程和速度和=相遇時(shí)間，路程差速度差=追及時(shí)間解：相遇時(shí)間：168（12+16）=6（

11、小時(shí)） 追及時(shí)間：168（16-12）=42（小時(shí)）答：6小時(shí)相遇；42小時(shí)乙船追上甲船?！九e一反三】5、a、b兩船的速度分別是每小時(shí)20千米和16千米，兩船先后從同一個(gè)港口開(kāi)出，b比a早出發(fā)兩小時(shí)，若水速每小時(shí)4千米，a開(kāi)出后多少小時(shí)追上b？（考慮不同情況喲）例6：一艘輪船從上游的甲港到下游的乙港，兩港間的水路長(zhǎng)72千米。已知這艘船順?biāo)?小時(shí)能行48千米，逆水6小時(shí)能行48千米。開(kāi)船時(shí)，一個(gè)小朋友放了個(gè)木制玩具在水里，船到乙港時(shí)玩具離乙港還有多少千米？【思路導(dǎo)航】當(dāng)運(yùn)動(dòng)物體不止一個(gè)時(shí)，分析物體的運(yùn)動(dòng)方向及運(yùn)動(dòng)結(jié)果，以確定將速度相加或相減，這是正確解答行程問(wèn)題的首要前提。本例題中，玩具本身并無(wú)

12、動(dòng)力，落入水中后，水的速度就是玩具的速度，明確這一點(diǎn)非常重要。由于輪船此時(shí)是順?biāo)叫?，玩具是順流而下，輪船與玩具同向而行，這時(shí)輪船與玩具每小時(shí)相距的是一個(gè)速度差。 根據(jù)條件，先求出輪船的順?biāo)俣群湍嫠俣?，然后很容易求出船速和水速，此時(shí)的水速也就是玩具運(yùn)動(dòng)的速度，輪船和玩具都是順流而下，它們每小時(shí)相距一個(gè)速度差，再用全長(zhǎng)72千米除以輪船的順行速度，得出輪船的順行時(shí)間，用順行時(shí)間乘以速度差即可。解：順?biāo)俣龋?84=12（千米/小時(shí)） 逆水速度： 486=8（千米/小時(shí)）船速：（12+8）2=10（千米/小時(shí)） 水速：（12-8）2=2（千米/小時(shí)）船到甲港的時(shí)間：72（10+2）=6（小時(shí)）玩

13、具離乙港的距離：6（10+2-2）=60（千米）答：船到乙港時(shí)玩具離乙港還有60千米?！九e一反三】6、小林坐在一只手劃船逆流而上，不知何時(shí)他的水壺掉進(jìn)了水里，水壺順流而下，經(jīng)過(guò)30分鐘小林才發(fā)現(xiàn)水壺丟失，他立即掉頭回去尋找，結(jié)果在丟失地點(diǎn)下游6千米的地方找到水壺，小林返回尋找用了多長(zhǎng)時(shí)間？水流速度是多少？ 課后作業(yè)1、一艘輪船在靜水中航行，每小時(shí)行15千米，水流的速度為每小時(shí)3千米。這艘輪船順?biāo)叫?70千米到達(dá)目的地，用了幾個(gè)小時(shí)？如果按原航道返回，需要幾小時(shí)？2、一艘輪船從a地順流而下開(kāi)往b地，每小時(shí)行28千米，返回a地時(shí)用了6小時(shí)。已知水速是每小時(shí)4千米，a、b兩地相距多少千米？3、一條

14、大河，河中內(nèi)（主航道）水的流速為每小時(shí)8千米，沿岸邊的速度為每小時(shí)6千米，一條船在河中間順流而下，13小時(shí)行520千米，求這條船沿岸邊返回原地，需要多少小時(shí)？ 4、甲、乙兩港相距90千米，一艘輪船順流而下要6小時(shí)，逆流而上要10小時(shí)；一艘汽艇順流而下要5小時(shí)，如果汽艇逆流而上需要幾小時(shí)？5、一條河上游的甲港和下游的乙港相距160千米，a、b兩船分別從甲港和乙港同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過(guò)8小時(shí)相遇，這時(shí)a船比b船多航行64千米，已知水速每小時(shí)2千米，求a、b兩船的靜水速度。6、一條河上有相距90千米的上、下兩個(gè)碼頭，甲、乙兩船在靜水中的速度相同，分別從兩地相對(duì)開(kāi)出，甲船從上游出發(fā)時(shí)，拋下一物，此物浮于水面順流漂下，一分鐘后與甲船相距0.5千米，問(wèn)乙船出發(fā)后幾小時(shí)能與此物相遇？7、小剛和小強(qiáng)租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進(jìn)江中，當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)并調(diào)過(guò)船頭時(shí)，水壺與船已經(jīng)相距2千米，假定小船的速度是每小時(shí)4千米，水流速度是每小時(shí)2千米，那么他們追上水壺需要多