《線性代數(shù)》知識(shí)點(diǎn)歸納整理-大學(xué)線代基礎(chǔ)知識(shí)

1、線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn) 歸納整理 誠(chéng)毅學(xué)生 編01、余子式與代數(shù)余子式- 2 -02、主對(duì)角線- 2 -03、轉(zhuǎn)置行列式- 2 -04、行列式的性質(zhì)- 3 -05、計(jì)算行列式- 3 -06、矩陣中未寫(xiě)出的元素- 4 -07、幾類(lèi)特殊的方陣- 4 -08、矩陣的運(yùn)算規(guī)則- 4 -09、矩陣多項(xiàng)式- 6 -10、對(duì)稱(chēng)矩陣- 6 -11、矩陣的分塊- 6 -12、矩陣的初等變換- 6 -13、矩陣等價(jià)- 6 -14、初等矩陣- 7 -15、行階梯形矩陣 與 行最簡(jiǎn)形矩陣- 7 -16、逆矩陣- 7 -17、充分性與必要性的證明題- 8 -18、伴隨矩陣- 8 -19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：- 9 -20、矩陣的秩：

2、- 9 -21、矩陣的秩的一些定理、推論- 9 -22、線性方程組概念- 9 -23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）- 9 -24、行向量、列向量、零向量、負(fù)向量的概念- 11 -25、線性方程組的向量形式- 11 -26、線性相關(guān) 與 線性無(wú)關(guān) 的概念- 11 -27、向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)的向量組 必然線性相關(guān)- 11 -28、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩 這三者的關(guān)系及其例題- 11 -29、線性表示 與 線性組合 的概念- 11 -30、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩 這三者的關(guān)系其例題- 12 -31、線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）與線性表示的3個(gè)定理-

3、12 -32、最大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩- 12 -33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)- 12 -01、余子式與代數(shù)余子式（1）設(shè)三階行列式D，則元素，的余子式分別為：M11，M12，M13對(duì)M11的解釋?zhuān)簞澋舻?行、第1列，剩下的就是一個(gè)二階行列式，這個(gè)行列式即元素的余子式M11。其他元素的余子式以此類(lèi)推。元素，的代數(shù)余子式分別為：A11(1)11M11 ，A12(1)12M12 ，A13(1)13M13 . 對(duì)Aij的解釋?zhuān)╥表示第i行，j表示第j列）：Aij(1)ij M ij .（N階行列式以此類(lèi)推）（2）填空題求余子式和代數(shù)余子式時(shí)，最好寫(xiě)原式。比如說(shuō)，作業(yè)P1第1題：M31，A31(-1)3

4、+1（3）例題：課本P8、課本P21-27、作業(yè)P1第1題、作業(yè)P1第3題02、主對(duì)角線一個(gè)n階方陣的主對(duì)角線，是所有第k行第k列元素的全體，k=1, 2, 3 n，即從左上到右下的一條斜線。與之相對(duì)應(yīng)的稱(chēng)為副對(duì)角線或次對(duì)角線，即從右上到左下的一條斜線。03、轉(zhuǎn)置行列式即元素與元素的位置對(duì)調(diào)（i表示第i行，j表示第j列），比如說(shuō)，與的位置對(duì)調(diào)、與的位置對(duì)調(diào)。04、行列式的性質(zhì)詳見(jiàn)課本P5-8（性質(zhì)1.1.1 1.1.7）其中，性質(zhì)1.1.7可以歸納為這個(gè)： （i表示第i行，k表示第k列）熟練掌握行列式的性質(zhì)，可以迅速的簡(jiǎn)化行列式，方便計(jì)算。 例題：作業(yè)P1第2題05、計(jì)算行列式（1）計(jì)算二階行

5、列式：方法（首選）：（即，左上角右下角右上角左下角）方法： 例題：課本P14（2）計(jì)算三階行列式： (1)11M11 (1)12M12 (1)13M13N階行列式的計(jì)算以此類(lèi)推。通常先利用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，0元素較多時(shí)方便計(jì)算.（r是row，即行。c是column，即列）例題：課本P5、課本P9、課本P14、作業(yè)P1第4題、作業(yè)P2第3小題（3）n階上三角行列式（0元素全在左下角）與n階下三角行列式（0元素全在右上角）：D（主對(duì)角線上元素的乘積）例題：課本P10、作業(yè)P3第4小題有的題可以通過(guò)“從第二行起，將各行的元素對(duì)應(yīng)加到第一行”轉(zhuǎn)化成上三角行列式例題：課本P11（4）范德蒙行

6、列式：詳見(jiàn)課本P12-13（5）有的題可以通過(guò)“從第二行起，將各行的元素對(duì)應(yīng)加到第一行”提取出“公因式”，得到元素全為1的一行，方便化簡(jiǎn)行列式。例題：作業(yè)P2第1小題、作業(yè)P2第2小題06、矩陣中未寫(xiě)出的元素課本P48下面有注明，矩陣中未寫(xiě)出的元素都為007、幾類(lèi)特殊的方陣詳見(jiàn)課本P30-32（1）上（下）三角矩陣：類(lèi)似上（下）三角行列式（2）對(duì)角矩陣：除了主對(duì)角線上的元素外，其他元素都為0（3）數(shù)量矩陣：主對(duì)角線上的元素都相同（4）零矩陣：所有元素都為0，記作O（5）單位矩陣：主對(duì)角線上的元素都為1，其他元素全為0，記作E或En （其行列式的值為1）08、矩陣的運(yùn)算規(guī)則（1）矩陣的加法（同型

7、的矩陣才能相加減，同型，即矩陣A的行數(shù)與矩陣B的行數(shù)相同；矩陣A的列數(shù)與矩陣B的列數(shù)也相同）：課本P32“AB”、“AB”加法交換律：ABBA加法結(jié)合律：A（BC）（AB）C（2）矩陣的乘法（基本規(guī)則詳見(jiàn)課本P34陰影）：數(shù)與矩陣的乘法：I.課本P33“kA”II.kn（因?yàn)閗只等于用數(shù)k乘以矩陣A的一行或一列后得到的矩陣的行列式）同階矩陣相乘（高中理科數(shù)學(xué)選修矩陣基礎(chǔ)）：描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計(jì)算得到的矩陣為，則A的值為：中第1行的每個(gè)元素分別乘以中第1列的每個(gè)元素，并將它們相加。即AB的值為：中第1行的每個(gè)元素分別乘以中第2列的每個(gè)元素，并將它們相加。即BC的值為：中第2

8、行的每個(gè)元素分別乘以中第1列的每個(gè)元素，并將它們相加。即CD的值為：中第2行的每個(gè)元素分別乘以中第2列的每個(gè)元素，并將它們相加。即D.描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計(jì)算得到的矩陣為，則A的值為：中第1行的每個(gè)元素分別乘以中第1列的每個(gè)元素，并將它們相加。即AB、C、D、E、F、G、H、I的值的求法與A類(lèi)似。數(shù)乘結(jié)合律：k（lA）（kl）A ，（kA）BA（kB）k（AB）數(shù)乘分配律：（kl）AkAlA ，k（AB）kAkB乘法結(jié)合律：（AB）CA（BC）乘法分配律：A（BC）ABAC ，（AB）CACBC需注意的：I.課本P34例題兩個(gè)不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣II.課本P34

9、例題數(shù)乘的消去律、交換律不成立III.一般來(lái)講，（AB）k A k B k，因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律IV.課本P40習(xí)題第2題：（AB）2不一定等于A22ABB2 ，（AB）2不一定等于A22ABB2，（AB）（AB）不一定等于A2B2 . 當(dāng)ABBA時(shí)，以上三個(gè)等式均成立（3）矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律： (AT )TA (AB)TA TB T (kA)TkAT (AB)TB TAT (ABC)TCTB TAT (ABCD)TDTCTB TAT（4）同階方陣相乘所得的方陣的行列式等于兩個(gè)方陣的行列式的乘積：（詳見(jiàn)課本P46）（5）例題：課本P35、課本P36-37、課本P40第4大題、課本P40第5

10、大題、課本P51第1大題、課本P51第4大題、課本P60第4大題、作業(yè)P5全部、作業(yè)P5第3大題、作業(yè)P5第4大題09、矩陣多項(xiàng)式詳見(jiàn)課本P 3610、對(duì)稱(chēng)矩陣（1）對(duì)稱(chēng)矩陣、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣的概念（詳見(jiàn)課本P37）（2）同階對(duì)稱(chēng)（反對(duì)稱(chēng)）矩陣的和、差仍是對(duì)稱(chēng)（反對(duì)稱(chēng)）矩陣數(shù) 與 對(duì)稱(chēng)（反對(duì)稱(chēng)）矩陣的乘積仍是對(duì)稱(chēng)（反對(duì)稱(chēng)）矩陣對(duì)稱(chēng)（反對(duì)稱(chēng)）矩陣的乘積不一定是對(duì)稱(chēng)（反對(duì)稱(chēng)）矩陣11、矩陣的分塊線代老師說(shuō)這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見(jiàn)課本P38-4012、矩陣的初等變換三種行變換與三種列變換：詳見(jiàn)課本P 42 例題：作業(yè)P6全部13、矩陣等價(jià)若矩陣A經(jīng)過(guò)若干次初等變換后變成矩陣B，則稱(chēng)矩陣A與

11、矩陣B等價(jià)，記為AB14、初等矩陣（1）是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的矩陣。詳見(jiàn)課本P48-49（2）設(shè)A為mn矩陣，則對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘上一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣；A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘上一個(gè)相應(yīng)的n階初等矩陣.詳見(jiàn)課本P50-51（3）課本P51第3大題15、行階梯形矩陣 與 行最簡(jiǎn)形矩陣（1）對(duì)任意一個(gè)非零矩陣，都可以通過(guò)若干次初等行變換（或?qū)Q列）化為行階梯型矩陣（2）行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形矩陣：若在矩陣中可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為0，每個(gè)臺(tái)階只有一行（臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)），階梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元素

12、，也就是非零行的第一個(gè)非零元素，則稱(chēng)該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎(chǔ)上，若非零行的第一個(gè)非零元素為都為1，且這些非零元素所在的列的其他元素都為0，則稱(chēng)該矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣。例題：課本P45、作業(yè)P6全部、課本P51第2大題16、逆矩陣（1）設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得ABBAE，則稱(chēng)方陣A是可逆的，并稱(chēng)B為A的逆矩陣.（由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣）（2）如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的，并將A的逆矩陣記作A1，AA1E（3）n階方陣A可逆的充要條件為0，并且，當(dāng)A可逆時(shí)，A1（證明詳見(jiàn)課本P54） 例題：課本P59第1大題（4）可逆矩陣也稱(chēng)為非奇異方陣（否則稱(chēng)為奇

13、異方陣）（5）性質(zhì)：設(shè)A，B都是n階的可逆方陣，常數(shù)k0，那么 (A1)1A AT也可逆，并且(AT )-1(A-1)T kA也可逆，并且 (kA)-1A-1 AB也可逆，并且(AB) -1B-1A-1 AB不一定可逆，而且即使AB可逆，一般(AB)-1A-1B-1 AA-1E AA-1E1 AA-11 A-1 例題：課本P58例2.3.7、作業(yè)P7第1題（6）分塊對(duì)角矩陣的可逆性：課本P57（7）由方陣等式求逆矩陣：課本P58例2.3.6（8）單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的（初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過(guò)初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=10可逆

14、，所以初等矩陣可逆）（9）初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣（10）任一可逆方陣都可以通過(guò)若干次初等行變換化成單位矩陣（11）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積（證明：課本P67）（12）利用初等行變換求逆矩陣：A-1（例題：課本P68、課本P71）（13）形如AXB的矩陣方程，當(dāng)方陣A可逆時(shí)，有A-1 AXA-1B，即XA-1B.此時(shí)有：矩陣方程的例題：課本P35、課本P69、課本P41第6大題、課本P56、課本P58、課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P60第7大題、課本P71第3大題矩陣方程計(jì)算中易犯的錯(cuò)誤：課本P56“注意不能寫(xiě)成”17、充分性與必要性的證明題

15、（1）必要性：由結(jié)論推出條件（2）充分性：由條件推出結(jié)論例題：課本P41第8大題、作業(yè)P5第5大題18、伴隨矩陣（1）定義：課本P52 定義2.3.2（2）設(shè)A為n階方陣（n2），則AA*A*AEn（證明詳見(jiàn)課本P53-54）（3）性質(zhì)：（注意伴隨矩陣是方陣） A*A1 (kA)* (kA)-1 k nA-1 k n A-1 k n-1A*（k0） |A*| | A1 | n| A1| n（因?yàn)榇嬖贏1，所以0 ） n-1 (A*)* (A1)* | A1 |(A1)1 n | A1|(A1)1 nA n-2A （因?yàn)锳A1 E，所以A1的逆矩陣是A，即(A1)1 ） (AB) *B*A* (

16、A*)-1(A-1) *（4）例題：課本P53、課本P55 、課本P58、課本P60第6大題、作業(yè)P7第2題、作業(yè)P8全部19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：（1）定義：課本P61-62（2）任何一個(gè)非零矩陣都可以通過(guò)若干次初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形20、矩陣的秩：（1）定義：課本P63（2）性質(zhì)：設(shè)A是mn的矩陣，B是pq的矩陣，則 若k是非零數(shù)，則R (kA)R (A) R (A)R (AT ) 等價(jià)矩陣有相同的秩，即若AB，則R (A)R (B) 0R (Amn)min R (AB)min 設(shè)A與B都是mn矩陣，則R (AB)R (A)R (B)（3）n階方陣A可逆的充要條件是：A的秩等于其階數(shù)，即R (A)n

17、（4）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積。（證明：P67）（5） 設(shè)A是mn矩陣，P、Q分別是m階與n階可逆方陣，則R (A)R (PA)R (AQ)R (PAQ)（6）例題：課本P64、課本P66、課本P71、作業(yè)P7第3題、作業(yè)P9全部21、矩陣的秩的一些定理、推論線代老師說(shuō)這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見(jiàn)課本P7022、線性方程組概念線性方程組是各個(gè)方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。線性方程組經(jīng)過(guò)初等變換后不改變方程組的解。23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）（1）定義：課本P81（2）方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本P81（3）系數(shù)矩陣A、增廣

18、矩陣、矩陣式方程：課本P82（4）矛盾方程組（方程組無(wú)解）：課本P85例題（5）增廣矩陣的最簡(jiǎn)階梯形：課本P87（6）系數(shù)矩陣的最簡(jiǎn)階梯形：課本P87（7）課本P87下面有注明：交換列只是交換兩個(gè)未知量的位置，不改變方程組的解。為了方便敘述，在解方程組時(shí)不用交換列。（8）克萊姆法則：初步認(rèn)知：已知三元線性方程組，其系數(shù)行列式D.當(dāng)D0時(shí)，其解為：x1，x2，x3.（其中D1，D2，D3）（Dn以此類(lèi)推）定義：課本P15使用的兩個(gè)前提條件：課本P18例題：課本P3、課本P16-17、課本P18、作業(yè)P3第7題（9）解非齊次線性方程組（方程組施行初等變換實(shí)際上就是對(duì)增廣矩陣施行初等行變換）例題：課

19、本P26、課本P42、課本P82、課本P84、課本P85、課本P86第1大題、課本P88、課本P91、作業(yè)P10第1題（10）解齊次線性方程組例題：課本P17、課本P18、課本P85、課本P86、課本P90、課本P91、作業(yè)P1第5題、作業(yè)P10第2題（11）n元非齊次線性方程組AXb的解的情況：（R (A) 不可能 R ()）R (A) R () 無(wú)解 n 有無(wú)窮多個(gè)解R (A) R () 有解 n 有唯一解特別地，當(dāng)A是 0 有唯一解n階方陣時(shí)，可 R (A) R () 無(wú)解由行列式來(lái)判斷 R (A) R () 有解 當(dāng)0 有無(wú)窮多個(gè)解 例題：課本P86第2大題、課本P88、課本P92、作

20、業(yè)P11第三題（12）n元齊次線性方程組AXO的解的情況：（只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充要條件是只有零解，有無(wú)窮多個(gè)解的充要條件是有非零解）R (A) n 只有零解（有唯一解，為0）R (A) n 有非零解（有無(wú)窮多個(gè)解）特別地，當(dāng)A是n階方陣 0 只有零解（有唯一解，為0）時(shí)，可由行列式來(lái)判斷 0 有非零解（有無(wú)窮多個(gè)解）例題：課本P24、課本P90-91、作業(yè)P11全部24、行向量、列向量、零向量、負(fù)向量的概念詳見(jiàn)課本P92-93將列向量組的分量排成矩陣計(jì)算時(shí)，計(jì)算過(guò)程中只做行變換，不做列變換。初等行變換與初等行列變換的使用情況：矩陣、線性方程組、向量涉及行變換；列變換只在矩陣中

21、用。（行列式的性質(zhì)包括行與列的變換）手寫(xiě)零向量時(shí)不必加箭頭。25、線性方程組的向量形式詳見(jiàn)課本P9326、線性相關(guān) 與 線性無(wú)關(guān) 的概念詳見(jiàn)課本P93-94例題：課本P101第6大題 、作業(yè)P14第五大題27、向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)的向量組 必然線性相關(guān)線代老師課上提到的結(jié)論。28、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩 這三者的關(guān)系及其例題詳見(jiàn)課本P94 定理3.3.1、定理3.3.2例題：課本P94-95 例3.3.2、課本P101第3大題、課 22本P101第5大題、作業(yè)P12第3小題、作業(yè)P12第二大題、作業(yè)P13第三大題、作業(yè)P13第四大題29、線性表示 與 線性組合 的概念

22、詳見(jiàn)課本P9530、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩 這三者的關(guān)系其例題詳見(jiàn)課本P95-96 定理3.3.3例題：課本P95-96 例3.3.431、線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）與線性表示的3個(gè)定理詳見(jiàn)課本P96 定理3.3.4、課本P97定理3.3.5、課本P98定理3.3.632、最大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩詳見(jiàn)課本P98-100 定義3.3.5、定義3.3.6、定3.3.7單位列向量，即“只有一個(gè)元素為1，且其余元素都為0”的一列向量（求最大線性無(wú)關(guān)組 用）例題：課本P100 例3.3.5、課本P101第4大題、作業(yè)P14第六大題 33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)看此內(nèi)容之前，最好先復(fù)習(xí)下“n元非齊次

23、線性方程組AXb的解的情況”與“n元齊次線性方程組AXO的解的情況”。（1）n元齊次線性方程組AXO解的結(jié)構(gòu) 定理3.4.1：詳見(jiàn)課本P101-102 定義3.4.1（并理解“基礎(chǔ)解系、通解、結(jié)構(gòu)式通解、向量式通解”）：詳見(jiàn)課本P102 定理3.4.2：詳見(jiàn)課本P102 解題步驟（“注”為補(bǔ)充說(shuō)明）（以課本P104例3.4.1為例）：（I）A 注：往“行最簡(jiǎn)形矩陣”方向轉(zhuǎn)化（因?yàn)樵诮夥匠探M時(shí)不用列變換，所以一般沒(méi)法真正轉(zhuǎn)化成行最簡(jiǎn)形矩陣，所以說(shuō)“往方向轉(zhuǎn)化”）。（II）得到同解方程組 注：由得到同解方程組（III） 此方程組的一組解向量為：，注：在草稿紙上寫(xiě)成以下形式，其中未寫(xiě)出的系數(shù)有的是1有的是0，一看便知 （IV）顯然，線性無(wú)關(guān)