微積分入門精華課件

1、微積分入門精華,定積分,第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì),微積分入門精華,實(shí)例1 （求曲邊梯形的面積）,一、問題的提出,微積分入門精華,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積,（四個小矩形）,（九個小矩形）,微積分入門精華,曲邊梯形如圖所示，,微積分入門精華,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,微積分入門精華,實(shí)例2 （求變速直線運(yùn)動的路程）,思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值,微積分入門精華,（1）分割,（2）求和,（3）取極限,路程的精確值,微積

2、分入門精華,二、定積分的定義,定義,微積分入門精華,記為,積分上限,積分下限,積分和,微積分入門精華,注意：,微積分入門精華,定理1,定理2,三、存在定理,微積分入門精華,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負(fù)值,四、定積分的幾何意義,微積分入門精華,幾何意義：,微積分入門精華,例1 利用定義計(jì)算定積分,解,微積分入門精華,五、定積分 的性質(zhì),微積分入門精華,證,（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）,性質(zhì)1,微積分入門精華,證,性質(zhì)2,微積分入門精華,補(bǔ)充：不論 的相對位置如何, 上式總成立.,例 若,（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）,則,性質(zhì)3,微積分入門精華,證,性質(zhì)4,性質(zhì)5,微積分入

3、門精華,解,令,于是,可以直接作出答案,微積分入門精華,性質(zhì)5的推論：,證,（1）,微積分入門精華,證,說明： 可積性是顯然的.,性質(zhì)5的推論：,（2）,微積分入門精華,證,（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）,性質(zhì)6,曲邊梯形的面積 夾在兩個矩形之間,微積分入門精華,解,例2 不計(jì)算定積分 估計(jì) 的大小,微積分入門精華,證,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,性質(zhì)7（Th5.1 定積分第一中值定理）,積分中值公式,微積分入門精華,使,即,積分中值公式的幾何解釋：,微積分入門精華,Th5.2(推廣的積分第一中值定理）,微積分入門精華,考察定積分,記,積分上限函數(shù),六、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),微積分入

4、門精華,證,微積分入門精華,由積分中值定理得,微積分入門精華,計(jì)算下列導(dǎo)數(shù),微積分入門精華,補(bǔ)充,證,微積分入門精華,例1 求,解,分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.,微積分入門精華,定理2（原函數(shù)存在定理）,定理的重要意義：,（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.,（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.,微積分入門精華,定理 3（微積分基本公式）,證,七 牛頓萊布尼茨公式,微積分入門精華,令,令,牛頓萊布尼茨公式,微積分入門精華,微積分基本公式表明：,注意,求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.,微積分入門精華,例4 求,原式,例5 設(shè) , 求 .,解,解,微積分入門精華,例6

5、 求,解,由圖形可知,微積分入門精華,則有,1. 微積分基本公式,積分中值定理,微分中值定理,牛頓 萊布尼茨公式,微積分入門精華,定理,八、換元公式,微積分入門精華,證,微積分入門精華,應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:,（1）,（2）,微積分入門精華,例1 計(jì)算,例2 計(jì)算,微積分入門精華,例1 計(jì)算,解,湊微分是第一類換元積分法，特點(diǎn)是不要明顯地?fù)Q元，也就不要更換積分的上下限。,微積分入門精華,例2 計(jì)算,解,原式,微積分入門精華,例3 計(jì)算,解,微積分入門精華,三角代換和根式代換,微積分入門精華,例4 計(jì)算,解,令,原式,明顯換元,微積分入門精華,證,微積分入門精華,奇函數(shù),例6 計(jì)算,解,原式,偶

6、函數(shù),單位圓的面積,微積分入門精華,總結(jié)： 1、定積分公式 2、定積分計(jì)算方法（直接代入，湊微分，根式代換，三角代換） 3、根式和三角代換為明顯的代換，所以換元要換上下限 4、 介紹了積分上限函數(shù) 5、積分上限函數(shù)是原函數(shù) 6、計(jì)算上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù),微積分入門精華,證,（1）設(shè),微積分入門精華,（2）,由此計(jì)算,設(shè),微積分入門精華,推導(dǎo),九、分部積分公式,微積分入門精華,例 計(jì)算,解,微積分入門精華,例2 計(jì)算,解,令,則,微積分入門精華,例3 計(jì)算,解,例4 計(jì)算,微積分入門精華,例5 計(jì)算,解,微積分入門精華,第四節(jié) 廣義積分一、無窮限的廣義積分,微積分入門精華,例1 計(jì)算廣義積分,解,簡記

7、為,微積分入門精華,例1 計(jì)算廣義積分,解,微積分入門精華,證,微積分入門精華,微積分入門精華,微積分入門精華,微積分入門精華,微積分入門精華,微積分入門精華,微積分入門精華,回顧,曲邊梯形求面積的問題,第五節(jié)、定積分應(yīng)用,微積分入門精華,1、幾何上的應(yīng)用,微積分入門精華,面積,微積分入門精華,微積分入門精華,一、平面圖形的面積,1. 直角坐標(biāo)情形,設(shè)曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,邊梯形面積為 A ,右圖所示圖形，面積元素為,微積分入門精華,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積,微積分入門精華,有時(shí)也會選 y 為積分變量,微積分入門精華,解,（1）作圖 （2）求出兩曲線的交點(diǎn),（3） 選 為積

8、分變量,（4）代公式,微積分入門精華,解,兩曲線的交點(diǎn),選 為積分變量,微積分入門精華,解題步驟：,(2) 求出交點(diǎn)；,(3) 選擇合適的積分變量，確定積分區(qū)間，計(jì)算。,(1) 畫出草圖；,微積分入門精華,例3. 求橢圓,解: 利用對稱性 ,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式,微積分入門精華,二、立體體積,設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則對應(yīng)于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,上連續(xù),1. 已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,微積分入門精華,例1. 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并,與底面交成 角,解: 如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為,垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為,利用對稱性,計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .,微積分入門精華,思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?,此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?,如何用定積分表示體積 ?,提示:,微積分入門精華,旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,圓柱,圓錐,圓臺,旋轉(zhuǎn)體的體積,微積分入門精華,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有,2. 旋轉(zhuǎn)體的體積,微積分入門精華,旋轉(zhuǎn)體的體積為,微積分入門精華,例1. 計(jì)算