2014-2015年文科數(shù)學全國1卷真題及答案

1、2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新課標1卷）文一、選擇題：每小題5分,共60分1、已知集合，則集合中的元素個數(shù)為 （A） 5 （B）4 （C）3 （D）22、已知點，向量，則向量 （A） （B） （C） （D）3、已知復數(shù)滿足，則（ ） （A） （B） （C） （D）4、如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為（ ）（A） （B） （C） （D）5、已知橢圓E的中心為坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線的焦點重合，是C的準線與E的兩個交點，則 （A） （B） （C） （D）6、九章算術是我國古代內(nèi)

2、容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（ ）（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛7、已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（ ） （A） （B） （C） （D）8、函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ） （A） （B）（C）（D）9、執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ） （A） （B） （C）7 （D）81

3、0、已知函數(shù) ，且，則 （A） （B）（C）（D）11、圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則( )（A） （B）（C）（D）12、設函數(shù)的圖像與的圖像關于直線對稱，且，則( )（A） （B） （C） （D）二、填空題：本大題共4小題,每小題5分13、數(shù)列中為的前n項和，若，則 .14.已知函數(shù)的圖像在點的處的切線過點，則 .15. 若x,y滿足約束條件 ,則z=3x+y的最大值為 16.已知是雙曲線的右焦點，P是C左支上一點， ，當周長最小時，該三角形的面積為 三、解答題17. （本小題滿分12分）已知分

4、別是內(nèi)角的對邊，.（I）若，求 （II）若，且 求的面積.18. （本小題滿分12分）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，（I）證明：平面平面；（II）若， 三棱錐的體積為，求該三棱錐的側面積.19. （本小題滿分12分）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.（I）根據(jù)散點圖判斷，與，哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（II）根據(jù)（I）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x

5、的回歸方程；（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為 ，根據(jù)（II）的結果回答下列問題：（i）當年宣傳費=49時，年銷售量及年利潤的預報值時多少？（ii）當年宣傳費為何值時，年利潤的預報值最大？20. （本小題滿分12分）已知過點且斜率為k的直線l與圓C：交于M，N兩點.（I）求k的取值范圍；（II）若，其中O為坐標原點，求.21. （本小題滿分12分）設函數(shù).（I）討論的導函數(shù)的零點的個數(shù)；（II）證明：當時.請考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,做答時請寫清題號22. （本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖AB是O直徑，AC是O切線，B

6、C交O與點E.（I）若D為AC中點，證明：DE是O切線；（II）若 ，求的大小.23. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系 中，直線，圓，以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.（I）求的極坐標方程.（II）若直線的極坐標方程為，設的交點為，求 的面積.24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù) .（I）當 時求不等式 的解集；（II）若的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍.2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新課標1卷）文答案一、 選擇題（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B （8）D （9）C

7、 （10）A （11）B （12）C二、 填空題（13）6 （14）1 （15）4 （16） 三、 解答題17、解：（I）由題設及正弦定理可得=2ac.又a=b，可得cosB= 6分（II）由（I）知=2ac.因為B=，由勾股定理得.故，的c=a=.所以ABC的面積為1. 12分18、解：（I）因為四邊形ABCD為菱形，所以ACBD.因為BE平面ABCD,所以ACBE,故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED. 5分 （II）設AB=，在菱形ABCD中，又ABC= ，可得AG=GC=，GB=GD=.因為AEEC,所以在RtAEC中，可的EG=.由BE平面ABCD,知EBG為

8、直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱錐E-ACD的體積=ACGDBE=.故=2 9分 從而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面積為3，EAD的面積與 ECD的面積均為.故三棱錐E-ACD的側面積為3+2. 12分19、解：（I）由散點圖可以判斷，y=c+d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費的回歸方程式類型.（II）令，先建立y關于w的線性回歸方程式.由于,，所以y關于w的線性回歸方程為,因此y關于的回歸方程為（）（i）由（II）知，當=49時，年銷售量y的預報值，年利潤z的預報值 9分（ii）根據(jù)（II）的結果知，年利潤z的預報值 .所以當，即=46.24時，取得最大值.故年宣傳費為46.24

9、千元時，年利潤的預報值最大. 12分20、解：（I）由題設，可知直線的方程為.因為與C交于兩點，所以.解得 .所以k的取值范圍為. 5分（II）設.將代入方程，整理得.所以. . 由題設可得=12，解得k=1，所以的方程是y=x+1.故圓心C在上，所以. 12分21、解：（I）的定義域為.當0時，沒有零點；當時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，又，當b滿足0b且b時，故當0時存在唯一零點. 6分（II）由（I），可設在的唯一零點為，當時，0；當時，0.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當時，. 12分22、解：（I）連接AE，由已知得，AEBC,AC

10、AB.在RtAEC中，由已知得，DE=DC,故DEC=DCE.連結OE，則OBE=OEB.又OED+ABC=，所以DEC+OEB=，故OED=，DE是O的切線. 5分 （II）設CE=1，AE=，由已知得AB=，BE=.由射影定理可得，所以，即.可得，所以ACB=. 10分 23、解：（I）因為，所以的極坐標方程為，的極坐標方程為. 5分 （II）將代入，得，解得.故，即由于的半徑為1，所以的面積為. 10分 24、解：（I）當時，化為.當時，不等式化為，無解；當時，不等式化為，解得；當，不等式化為-+20，解得12.所以的解集為. 5分 （II）由題設可得，所以函數(shù)的圖像與軸圍成的三角形的三

11、個丁點分別為,ABC的面積為.由題設得6，故2.所以的取值范圍為. 10分 2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（課標I文科卷）數(shù)學（文科）1 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）已知集合，則（ ）A. B. C. D. （2） 若，則A. B. C. D. （3） 設，則A. B. C. D. 2（4）已知雙曲線的離心率為2，則A. 2 B. C. D. 1（5） 設函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是A. 是偶函數(shù) B. 是奇函數(shù) C. 是奇函數(shù) D. 是奇函數(shù)（6） 設分別為的三邊的中點，則A

12、. B. C. D. （7） 在函數(shù)， ，,中，最小正周期為的所有函數(shù)為A. B. C. D. 8.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的事一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（ ）A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱9.執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的分別為1,2,3，則輸出的( )A. B. C. D.10. 已知拋物線C：的焦點為,是C上一點，則（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8（11） 設，滿足約束條件且的最小值為7，則 （A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-3（12） 已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值 范圍是（A） （B） （C） （D）第II

13、 卷2、 填空題：本大題共4小題，每小題5分（13）將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概率為_.（14） 甲、乙、丙三位同學被問到是否去過、三個城市時， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過城市； 乙說：我沒去過城市； 丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市； 由此可判斷乙去過的城市為_.（15）設函數(shù)則使得成立的的取值范圍是_.（16）如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點.從點測得 點的仰角，點的仰角以及；從點測得.已知山高，則山高_.3、 解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17） （本小題滿分12分）已知是遞增的等差數(shù)列，是方程的根。（I

14、）求的通項公式；（II）求數(shù)列的前項和.（18） （本小題滿分12分） 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量表得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標值分組75，85)85，95)95，105)105，115)115，125)頻數(shù)62638228（I）在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（II）估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（III）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？19(本題滿分12分)如圖，三棱柱中，側面為菱形，的中點為，且平面.（

15、1） 證明：（2） 若,求三棱柱的高.20. （本小題滿分12分）已知點，圓:，過點的動直線與圓交于兩點，線段的中點為，為坐標原點.（1） 求的軌跡方程；（2） 當時，求的方程及的面積21（12分）設函數(shù)，曲線處的切線斜率為0（1） 求b;（2） 若存在使得，求a的取值范圍。請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，解答時請寫清題號.（22） （本小題滿分10分）選修4-1，幾何證明選講 如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的延長線與的延長線交于點，且.（I）證明：；（II）設不是的直徑，的中點為，且，證明：為等邊三角形.（23） （本小題滿分10分）選修4-4：坐標

16、系與參數(shù)方程已知曲線，直線（為參數(shù)）（1） 寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（2） 過曲線上任意一點作與夾角為30的直線，交于點，求的最大值與最小值.（24） （本小題滿分10分）選修4-5；不等式選講若且（I）求的最小值；（II）是否存在，使得？并說明理由.文科數(shù)學試題答案一、選擇題（1）B （2）A （3）B （4）D （5）A （6）C （7）C （8）B （9）D （10）C （11）B （12）A二、填空題（13） （14）A （15） （16）150三、解答題（17）解：（I）方程的兩根為2,3，由題意得設數(shù)列的公差為d，則故從而所以的通項公式為 6分（II）設的前n項和為由（

17、I）知則兩式相減得 所以 12分（18） 解：（I）（II）質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08 =100.質(zhì)量指標值的樣本方差為 =104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)的估計值為100，方差的估計值為104. 10分（III）質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為 0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計值小于0.8，故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定. 12分（19） 解：（I） 連接，則O為與的交點.因為側面為菱形，所以又平面，所以，故平面ABO.由于

18、平面ABO，故 6分（II） 作，垂足為D，連接AD.作，垂足為H. 由于，故平面AOD，所以.又，所以平面ABC. 因為，所以為等邊三角形，又BC=1， 可得.由于 ，所以 由，且，得又O為的中點，所以點到平面ABC的距離為故三棱柱的距離為.（20） 解：（I）圓C的方程可化為，所以圓心為，半徑為4，設，則，由題設知，故，即.由于點P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是. 6分（II）由（1）可知M的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓.由于，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而.因為ON的斜率為3，所以的斜率為，故的方程為.又，O到的距離為，所以的面積為. 12分（21） 解：（I），由題設知，解得. 4分（II）的定義域為，由（1）知，（）若，則，故當時，在單調(diào)遞增，所以，存在，使得的充要條件為，即，解得.（ii）若，則，故當時，；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以，存在，使得的充要條件為，而，所以不合題意.（iii）若，則.綜上，a