因式分解的常用方法

1、因式分解的常用方法第一部分：方法介紹多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解 決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解 內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中數(shù)學(xué) 教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材 基礎(chǔ)上，對因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹.、提公因式法.:ma+mb+mc=m（a+b+c）、運用公式法 在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，

2、例如:2 2 2 2(1) (a+b)(a -b) = a -b a -b =(a+b)(a -b);2 2 2 2 2 2(a b) = a 2ab+ba 2ab+b =(a b);3.33.3(3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b a +b =(a+b)(a -ab+b );223 33 322、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b a -b =(a-b)(a +ab+b ).下面再補(bǔ)充兩個常用的公式：2 2 2 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c);3,33222(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c

3、 -ab-bc-ca);三、分組分解法（一）分組后能直接提公因式練習(xí)：分解因式 1、a2 ab ac bc2、xy x y 1（二）分組后能直接運用公式例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。解：原式：= (x2y2)(ax ay)=(xy)(xy)a(x y)=(xy)(xya)例4、分解因式：2 a2abb22 c解：原式：= (a22abb2)c2=(ab)22 c=(ab c)(ab c)綜合練習(xí)：1.a26ab 12b 9b2 4a2.a42 a32 a93.4a2x4a2.2.

4、2y b x b y4. x22xyxz2yz y5. a2 2ab22b 2ab 16.y(y2)(m1)(m 1)四、十字相乘法（一）二次項系數(shù)為 1的二次三項式直接利用公式x2 (p q)x pq (x p)(x q)進(jìn)行分解。特點：(1) 二次項系數(shù)是1;(2) 常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3) 次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？個完全平例.已知Ov a 0而且是- 方數(shù)。于是 9 8a為完全平方數(shù)，a 12(3) 10x217x32(4)6y2 11y 10(二)二次項系數(shù)不為1的二次三項式一一ax2bxc條件：(1)aa1 a2a12C1(2)cC1C2aC2

5、(3)ba C2a 2ba C2a2 C1分解結(jié)果：ax2bxc = (a1x c1)(a2xC2)例7、分解因式：3x211x10分析：1 . -23-5(-6) + (-5) = -11解：3x211x10=(x 2)(3x 5)練習(xí)7、分解因式:(1)5x2 7x 62(2) 3x 7x 2(三) 二次項系數(shù)為 1的齊次多項式例8、分解因式：a2 8ab 128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于a的二次三項式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。8b -16b2解：a 8ab8b+(-16b)= -8b2 2128b =a 8b( 16b)a 8b ( 16b)=(a 8b)(a16b)練習(xí)

6、8、分解因式(1) x2 3xy 2y2 (2) m22 2 26mn 8n a ab 6b(四)二次項系數(shù)不為 1的齊次多項式2 2例 9、2x 7xy 6y2 2例 10、x y 3xy 2把xy看作一個整體-12(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2y)(2x 3y)練習(xí)9、分解因式：(1) I5x2 7xy 4y2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy 1)( xy 2)2 2(2) a x 6ax 8綜合練習(xí) 10、(1) 8x6 7x3 1(3) (x y)23(x y) 102 2 2 2(5) x y 5x y 6x2 2(7) x 4xy 4y2x 4y 3(

7、9) 4x2 4xy 6x 3y y2 102 2(2) 12x 11xy 15y(4)(6)(8)(a b)2 4a 4b 32 2m4mn4n3m6n 22 2 2 25( ab)23(ab)10(ab)2 2 2 2(10) 12(x y) 11(x y )2(x y)2 2 2 2(11.) abcx (a b c )x abc五、換元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 (20052 1)x 20052(2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x 解：(1)設(shè) 2005= a，則原式=ax2 (a2 1)x a=(ax 1)(x a)= (2005x1)(x 2005)

8、(2)型如abcd e的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式= (x27x 6)( x25x 6)2 x設(shè)x25x6 A，則 x27x 6A 2x原式=(A2x)A x2= A22 Ax2 x=(Ax)2 = (x2 6x6)2練習(xí)13、分解因式(1) (x2 xyy2)24xy(x2 y2)(2) (x2 3x2)(4x28x 3) 90(3) (a2 1)2(a2 5)2 4(a23)2例15、分解因式(1)x33x24解法1 拆項。解法2-添項。原式=x31 3x23原式=x3x24x 4x 4=(x 1)(x2x1)3( x1)(x1)=(x1)(x2 x13x3)=x(

9、x1)(x4)4(x=(x1)(x2 4x4)2)2=(x1)(x 2)2=(x1)(x(2) x9x6x33解：原式=(x91)(x61)(x31)= (x31)(x63 x1) (x3八/31)(x1) (x31)六、添項、拆項、配方法，試根法，短除法。2x(x 3x 4)21)= (x 1)(x(4x 4)4x 4)= (x3=(x1)(xi)(x21 x31)(x612x31)3)練習(xí)15、分解因式(1)3 x9x8(2) (x 1)4(x21)2(x 1)4(3)x47x21(4) x4x22ax1a2(5)4 x4 y(x y)4(6) 2a2 b22a2c22b2c2 a4七、待

10、定系數(shù)法或雙十字相乘法。b4 c4例16、分解因式x2分析：原式的前(x 3y m)(x 2y 解：設(shè)/ (x 2x2 x3yxy 6y23項x2n)x 13y2xy13y66y2可以分為(x3y)(x 2y),則原多項式必定可分為xyxy 6y2m)(x 2y n) = x6 =6y2 x 13yn)(m n)x (3n2m) y mn2m)y mn對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得2 xxy 6y2 (m n)x(3nmn 1m23n2m 13,解得n3mn66 = (x 3y m)(x 2y xy 6y2原式=(x 3y 2)(x2y3)練習(xí)17、(1)分解因式(2)分解因式2x2x3xy3xy2 y 2y210x 9y5x 7y1 在 ABC 中，三邊 a,b,c 滿足 a2 16b2 c2 6ab lobe 0求證：a c 2b2已知：x 12，則x31x3 x3.已知：x y 6, xy