16-1圓的概念及性質.講義學生版(1

1、目M歸 中考要求板塊考試要求A級要求B級要求C級要求圓的有關概 念理解圓及其有關概念會過不在同一直線上的三點作圓；能利用圓 的有關概念解決簡單問題圓的性質知道圓的對稱性，了解弧、 弦、圓心角的關系能用弧、弦、圓心角的關系解決簡單問題能運用圓的性質解決有 關問題圓周角了解圓周角與圓心角的關 系；了解直徑所對的圓周角 是直角會求圓周角的度數(shù)，能用圓周角的知識解決 與角有關的簡單問題能綜合運用幾何知識解 決與圓周角有關的問題目t雌 知識點睛一、圓的相關概念1. 圓的定義(1) 描述性定義：在一個平面內，線段A繞它固定的一個端點 旋轉一周，另一個端點 A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，其中固定端點叫做圓心

2、，A叫做半徑.(2) 集合性定義：平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，頂點叫做圓心，定長叫做半徑.(3) 圓的表示方法：通常用符號 O表示圓，定義中以 為圓心，OA為半徑的圓記作 ” 0；讀作” 圓0 ；(4) 同圓、同心圓、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同 心圓；能夠重合的兩個圓叫做等圓.注意：注意：同圓或等圓的半徑相等.2. 弦和弧(1) 弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.(2) 直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的2倍.(3) 弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距.(4) ?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧以A B為端點的圓弧記

3、作 AB，讀作弧AB .(5) 等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.(6) 半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.(7) 優(yōu)弧、劣弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧.(8) 弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.3. 圓心角和圓周角(1) 圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角將整個圓分為360等份，每一份的弧對應1的圓心角，我們也稱這樣的弧為1的弧圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.(2) 圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.、圓的對稱性1. 旋轉對稱性(1) 圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；圓是旋轉對稱圖形，無論繞圓心旋

4、轉多少度角，總能與自 身重合.(2) 圓的旋轉對稱性 =圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系.2. 軸對稱性(1) 圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線是它的對稱軸.(2) 圓的軸對稱性 =垂徑定理.三、圓的性質定理1. 圓周角定理(1) 定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.(2) 推論：推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.推論2 :半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑.推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.2. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系(1)定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角

5、所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.(2)推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等, 那么它們所對應的其余各組量分別相等. 前提條件是在同圓或等圓中； 在由等弦推出等弧時應注意：優(yōu)弧與優(yōu)弧相等；劣弧與劣弧相等.3. 垂徑定理(1) 定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.(2) 推論1 : 平分弦(非直徑)的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧. 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧. 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.(3) 推論2 :圓的兩條平行線所夾的弧相等.注意：若 過圓心

6、的直線”、垂直于弦”、平分弦(非直徑)”、平分弦所對的優(yōu)弧”、平分弦所 對的劣弧”中的任意兩個成立，則另外三個都成立.注意：應用垂徑定理與推論進行計算時，往往要構造如右圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定理有：rd2 (a)2，根據(jù)此公式，在 a , r , d三個量中知道任何兩個量就可以求出第2三個量.目財匸 例題精講-、圓的相關概念及性質【例1】判斷題：(1 )直徑是弦()(2 )弦是直徑()(3 )半圓是弧()(4 )弧是半圓()(5) 長度相等的兩條弧是等弧()(6 )等弧的長度相等()(7) 兩個劣弧之和等于半圓()(8) 半徑相等的兩個圓是等圓()(9) 兩個半圓是等弧()(1

7、0)圓的半徑是 R，則弦長的取值范圍是大于 0且不大于2R ()【鞏固】如圖，在兩半徑不同的同心圓中,ZAOB EAOB=60 ，則（）A . AB 二 ABB .AB ABC.AB的度數(shù)=AB的度數(shù)D.AB的長度工AB的長度【例2】 如圖，點A D、G、M在半圓0上，四邊形ABOC、DEOF、HMNO均為矩形，設BC = a , EF =b ,NH =c則下列格式中正確的是 （）B. a =b = c【鞏固】如圖，兩正方形彼此相鄰且內接于半圓,若小正方形的面積為G216cm ,則該半圓的半徑為 【例3】 如圖，, 02 ,。3 ,。4為四個等圓的圓心，A, B, C, D為切點，請你在圖中畫

8、出一條直 線，將這四個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個點是;如圖，0i,O2 ,O3 ,O4,O5為五個等圓的圓心，A,B,C ,D , E為切點，請你在圖中畫出一條直線,將這五個圓 分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個點是 .B、圓的性質定理1.圓周角定理【例4】 如圖， AOB =80，則弧AB所對圓周角 ACB的度數(shù)是（ ）A. 40 B. 45 C. 50 D. 80A【鞏固】如圖， OO是ABC的外接圓，已知.ABO=50，則.ACB的大小為A【例5】如下左圖，四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形, 為1，P是OO上的點，且位于右上方的小正方形內，則【例6

9、】 如圖，量角器外沿上有A B兩點，它們的度數(shù)分別是70，則/1的度數(shù)為 【鞏固】如圖，量角器外緣邊上有的大小為（）A. 10B. 20A, P, Q三點，它們所表示的讀數(shù)分別是 180 , 70 , 30，則/ PAQC. 30 D. 40【例7】 如圖，OO是 ABC的外接圓，已知 /B =60，則乙CAO的度數(shù)是（A. 15B . 30C. 45D . 60AB【鞏固】如圖，AB是L O的直徑,數(shù)為.CD是O O的弦，連接AC, AD，若 CAB =35，則 ADC的度DCBDACABOOBAEDCBDOCOBAEC A如圖，AB為。O的直徑，CD是OO的弦，AB、CD的延長線交于點 求

10、NAOC的度數(shù).E，若 AB 二 DEE =18如圖所示 CD是O O的直徑，.EOD =87，AE交OO于B，且AB =0C，求.A的度數(shù)E如圖，在O O中，ZAOB的度數(shù)為 m , C是ACB上一點，D、E是AB上不同的兩點（不與A B兩 點重合），則N D +NE的度數(shù)為.如圖， AB是 O O 的直徑，CD _AB，設.COD = ，貝U JAB sin2二AD 2【例8】【例10】.右【鞏固】如圖， AB是OO的直徑，弦PC交OA于點D，弦PE交OB于點F，且OC二DC ,OFNC =Ne，則 NCPE =.如圖所示的半圓中，AD是直徑，且 AD =3 ,AC=2，則si nB的值是

11、【例9】【鞏固】如圖， ABC的三個頂點都在OO上,【鞏固】如圖AB是半圓的長.O的直徑，點C、D在弧EC =30 , AB =2cm，貝U OO 的半徑為AB上，且 AD平分 /CAB ,已知 AB=10, AC =6 ,求AD【例11】如圖所示，在.：ABC中，.C =45 , AB=4，則O O的半徑為(A.2 2D .5B .4 C. 2一3C是優(yōu)弧AB上一點(點C不與A, B重合)，【例12】如圖， ABC是L O的內接三角形，點 設.OAB = ： ,. C.(1 )當:=35時，求1的度數(shù)；(2)猜想：與之間的關系，并給予證明.【鞏固】如圖， OO與O P相交于B、C兩點，BC是

12、O P的直徑，且把 O O分成度數(shù)比為 ：2的兩條弧,A是BmC上的動點(不是B、C重合)，連結AB、AC分別交O P于D、E兩點. (1 )當 ABC是鈍角三角形時，判斷 PDE的形狀.(2) 當AABC是直角三角形時，判斷(3) 當.IABC是銳角三角形時，判斷.：PDE的形狀.；PDE的形狀.這種情況加以證明.D【例13】圓Si及S,相交于點A及B .圓Si的圓心O落在S,的圓周上，圓S的弦AC交S2于點D (如圖)， 證明：線段 OD與BC是互相垂直的.【鞏固】兩圓相交于 A、B , P是大圓O上一點，過 A、P和B、P分別作直線交小圓于 C、D，過O、P作直徑PE 求證：PE_ CD

13、FE【例14】如圖，已知AB是OO的直徑，點C是O O上一點，連結BC、AC，過點C作直線CD _ AB于點D , 點E是AB上一點，直線CE交OO于點F，連結BF，與直線CD交于點G .求證：BCBG BF .【鞏固】 如圖，已知：在O O中，直徑AB=4，點E是OA上任意一點，過E作弦CD _ AB，點F是BC上一點，連接 AF交CE于H，連接AC、CF、BD、OD .求證：.ACH s . AFC ; 猜想：AH AF與AE AB的數(shù)量關系，并說明你的猜想； 探究：當點E位于何處時，S.AEc：SD 1：4 ?并加以說明.【例15】如圖，AB , AC , AD是圓中的三條弦，點 E在A

14、D上，且AB =AC =AE .請你說明以下各式 成立的理由：(1) /CAD =2/DBE ; (2) ADABBD DC .【鞏固】在ABC中，.ABC =60，點O、H分別是AABC的外心、垂心.點 D、E分別在邊BC、AB 上，使得 BD=BH , BE=BO，已知BO =1 .求 姐DE的面積.圖122.圓內接四邊形【例16】如圖，AB為L O的直徑，出以下四個結論：.A = 45 ; AC其中正確結論的序號是A .C .AC交L O于E點，BC交L O于D點，CD =BD , C =70 .現(xiàn)給二 AB ;B .D . AE =BE ； CE AB =2BD2.【鞏固】已知：如圖，

15、面積為2的四邊形ABCD內接于OO ,對角線AC經(jīng)過圓心，若/BAD =45, CD =$2則AB的長等于.C【例17】已知AD是O O的直經(jīng)，AB、AC是弦，若AD =2 , AB = 3 , AC = 2，求由A ,B ,C ,D四點 構成的四邊形的周長.BOC 圖1【鞏固】如圖，已知四邊形ABCD內接于直徑為3的圓0,對角線AC是直徑，對角線AC和BD的交點P ,AB二BD，且PC =0.6，求四邊形 ABCD的周長.【例18】如圖，四邊形ABCD為正方形，L 0過正方形的頂點 A和對角線的交點 P，分別交AB , AD于點F ,E .(1) 求證：DE =AF(2) 若L 0的半徑為,

16、AB = .2 1，求的值.2EDA EDBC【例19】圓內接四邊形 ABCD , AC _BD , AC交BD于E , EG _ CD于G，交AB于F .求證：AF =BF .A【鞏固】圓內接矩形 CEDF，過D作圓的切線 AB，分別與CE、CF的延長線相交于 A、B，求證:BF BC33AE AC33.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系【例20】在同圓中,CD的度數(shù)小于180，且AB =2CD，那么弦AB和弦CD的大小關系為（A. AB CDB . AB = CDC. AB : CDD .無法確定【鞏固】如圖所示在 OO中，AB =2CD，那么（）A. AB 2CDB. AB： 2C DC.

17、 AB =2CDD. AB與2CD的大小關系不能確定【例21】已知AB、AC是OO的弦，AD平分/BAC交OO于D，弦DE / AB交AC于P，求證：OP平 分 APD .【鞏固】如圖，過O O的直徑AB上兩點M , N，分別作弦CD , EF，若 CD / EF , AC =BF .求證：BEC =ADF ；(2) AM =BN .【例22】已知點A、B、C、D順次在AB =BDBMN COO上,BCBI AC于點M，求證:NCAM = DC CM . B【鞏固】在ABC中，AC BC , M是它的外接圓上包含點 C的弧AB的中點，AC上的點X使得MX _AC，求證： AX XC CB .A

18、【例23】如圖，ABC是OO的內接三角形,AC二BC , D為O O中AB上一點，延長 DA至點E，使1 2 2 CE、CD是關于x的方程：x 2m-3 -4m 12 -0的兩根. 求證：AE =BD ;若 AC _ BC，求證： AD BD =、. 2CD .COBAD【鞏固】如圖，四邊形 ABCD內接于圓，AB二AD，且其對角線交于點.BFC = BAD .若 BAD =2. DFC，求 BE 的值. DEE，點F在線段AC上，使得【例24】已知：如圖，D是Rt ABC中直角邊BC上的一點，以BD為直徑的圓交斜邊 AB于點E，連結EC 交此圓于點 F , BF交AC于點G .求證：GF C

19、A =CF EA .【鞏固】AB是半圓的直徑，C點在圓上，過點 A、B分別作過C點的切線的垂線 AD、BE, D、E為 垂足，求證：DE? =4AD DE .B)CAI課后作業(yè)1.如圖，AB 是 OO 的直徑，點 C、D 在 OO 上，.BOC =110 , AD / OC ,則.AD 二2. 如圖，已知 ACB是L O的圓周角， ACB =50，則圓心角 AOB是（A. 40 B. 50 C. 80 D . 1003.如圖，四邊形ABCD是OO的內接正方形，點P是劣弧CD上不同于點C的任意一點，貝BPC的4.5.6.7.度數(shù)是（）A.45B. 60C.75P50，則.C的度數(shù)如圖，CD為OO的直徑，過點 是（ ）A. 25C.如圖,如圖,如圖,已知AB為O O的直徑,AB是L O的直徑，點CAB是L O的直徑，點CD的弦DE平行于半徑OA ,若.D的度數(shù)是30D . 50.E = 20 , . DBC =50 ，則.CBE,D , E都在L O上，若Z C二Z D,D , E都在L O上，若Z C二Z D二/E，求/A ZB .E，求 Z A ZB .8.如圖，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點A處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是65 .為了臺.監(jiān)控整個展廳，