《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》ppt課件解讀

1、2021/1/29,鄭平正 制作,1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用,高二數(shù)學(xué) 選修1-2,比數(shù)學(xué)3中“回歸”增加的內(nèi)容,數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì) 畫散點(diǎn)圖 了解最小二乘法的思想 求回歸直線方程 ybxa 用回歸直線方程解決應(yīng)用問題,選修-統(tǒng)計(jì)案例 引入線性回歸模型 ybxae 了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)生的原因 了解相關(guān)指數(shù) R2 和模型擬合的效果之間的關(guān)系 了解殘差圖的作用 利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題 正確理解分析方法與結(jié)果,問題1：正方形的面積y與正方形的邊長(zhǎng)x之間 的函數(shù)關(guān)系是,問題2：某水田水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間是否 -有一個(gè)確定性的關(guān)系,例如：在 7 塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上

2、進(jìn)行施肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得到如下所示的一組數(shù)據(jù),復(fù)習(xí)、變量之間的兩種關(guān)系,自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系,1、定義,1）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系,注,2、現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。 如：人的身高與年齡； 產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量； 商品的銷售額與廣告費(fèi)； 家庭的支出與收入。等等,回歸分析的內(nèi)容與步驟,統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)通過后，最后是利用回歸模型，根據(jù)自變量去估計(jì)、預(yù)測(cè)因變量,回歸分析通過一個(gè)變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化,其主要內(nèi)容和步驟是： 首先根據(jù)理論和對(duì)問題的分析判斷，將變量分為自變量和因變量,其次，設(shè)法找出合適的數(shù)學(xué)方程式（即回

3、歸模型）描述變量間的關(guān)系,由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要對(duì)回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),最小二乘法,稱為樣本點(diǎn)的中心,3、對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行的線性分析叫做線性回歸分析,2、回歸直線方程,2.相應(yīng)的直線叫做回歸直線,1、所求直線方程 叫做回歸直 -線方程；其中,相關(guān)系數(shù),1.計(jì)算公式 2相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) (1)|r|1 (2)|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小 問題：達(dá)到怎樣程度，x、y線性相關(guān)呢？它們的相關(guān)程度怎樣呢,負(fù)相關(guān),正相關(guān),相關(guān)系數(shù),正相關(guān)；負(fù)相關(guān)通常， r-1,-0.75-負(fù)相關(guān)很強(qiáng); r0.75,1正相關(guān)很強(qiáng); r-0.75,-0.3-負(fù)相關(guān)一般; r0.3

4、, 0.75正相關(guān)一般; r-0.25, 0.25-相關(guān)性較弱,例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示,求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為 172cm的女大學(xué)生的體重,案例1：女大學(xué)生的身高與體重,解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖,2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系,分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量,2.回歸方程,1. 散點(diǎn)圖,例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示,求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高

5、預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為 172cm的女大學(xué)生的體重,案例1：女大學(xué)生的身高與體重,解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖,2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系,3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系,探究： 身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎,我們可以用下面的線性回歸模型來(lái)表示： y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差,思考: 產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么,隨機(jī)誤

6、差e的來(lái)源(可以推廣到一般）： 1、忽略了其它因素的影響：影響身高 y 的因素不只是體重 x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等因素； 2、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差； 3、身高 y 的觀測(cè)誤差。 以上三項(xiàng)誤差越小，說(shuō)明我們的回歸模型的擬合效果越好,函數(shù)模型與回歸模型之間的差別,函數(shù)模型,回歸模型,可以提供 選擇模型的準(zhǔn)則,函數(shù)模型與回歸模型之間的差別,函數(shù)模型,回歸模型,線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y的值由自變量x和 隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化,在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量,所以，對(duì)于身高為

7、172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為,思考： 如何刻畫預(yù)報(bào)變量（體重）的變化？這個(gè)變化在多大程度上 與解析變量（身高）有關(guān)？在多大程度上與隨機(jī)誤差有關(guān),假設(shè)身高和隨機(jī)誤差的不同不會(huì)對(duì)體重產(chǎn)生任何影響，那么所有人的體重將相 同。在體重不受任何變量影響的假設(shè)下，設(shè)8名女大學(xué)生的體重都是她們的平均值， 即8個(gè)人的體重都為54.5kg,在散點(diǎn)圖中，所有的點(diǎn)應(yīng)該落在同一條 水平直線上，但是觀測(cè)到的數(shù)據(jù)并非如 此。這就意味著預(yù)報(bào)變量（體重）的值 受解析變量（身高）或隨機(jī)誤差的影響,對(duì)回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),例如，編號(hào)為6的女大學(xué)生的體重并沒有落在水平直線上，她的體重為61kg。解析 變量（身高）

8、和隨機(jī)誤差共同把這名學(xué)生的體重從54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg， 所以6.5kg是解析變量和隨機(jī)誤差的組合效應(yīng),編號(hào)為3的女大學(xué)生的體重并也沒有落在水平直線上，她的體重為50kg。解析 變量（身高）和隨機(jī)誤差共同把這名學(xué)生的體重從50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg， 這時(shí)解析變量和隨機(jī)誤差的組合效應(yīng)為-4.5kg,用這種方法可以對(duì)所有預(yù)報(bào)變量計(jì)算組合效應(yīng),在例1中，總偏差平方和為354,那么，在這個(gè)總的效應(yīng)（總偏差平方和）中，有多少來(lái)自于解析變量（身高）？ 有多少來(lái)自于隨機(jī)誤差,假設(shè)隨機(jī)誤差對(duì)體重沒有影響，也就是說(shuō)，體重僅受身高的影響，那么散點(diǎn)圖 中所有的點(diǎn)將完全

9、落在回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據(jù)點(diǎn)并沒有完全落在回歸 直線上。這些點(diǎn)散布在回歸直線附近，所以一定是隨機(jī)誤差把這些點(diǎn)從回歸直線上 “推”開了,在例1中，殘差平方和約為128.361,例如，編號(hào)為6的女大學(xué)生，計(jì)算隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為,即,由于解析變量和隨機(jī)誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）為354，而隨機(jī)誤差的效應(yīng)為 128.361，所以解析變量的效應(yīng)為,解析變量和隨機(jī)誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和） =解析變量的效應(yīng)（回歸平方和）+隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差平方和,樣本決定系數(shù) （判定系數(shù) R2,1.回歸平方和占總偏差平方和的比例,反映回歸直線的擬合程度 取值范圍在 0 , 1 之間 R2 1，說(shuō)明回歸

10、方程擬合的越好；R20，說(shuō)明回歸方程擬合的越差 判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2(r)2,顯然，R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型擬合效果越好,在線性回歸模型中，R2表示解析變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率,R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解析變量和預(yù)報(bào)變量的 線性相關(guān)性越強(qiáng),如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較R2的值 來(lái)做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型,總的來(lái)說(shuō)： 相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。 在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力,從表3-1中可以看出，解析變量對(duì)總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了64%，即R2

11、0.64，可以敘述為 “身高解析了64%的體重變化”，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%。 所以，身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多,表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù),在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)粗略判斷它們是否線性相關(guān)， 是否可以用回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù),殘差分析與殘差圖的定義,然后，我們可以通過殘差 來(lái)判斷模型擬合的效果，判斷原始 數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析,我們可以利用圖形來(lái)分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本 編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖,2021/1/29,殘差圖的制作及作用

12、。 坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇； 若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域； 對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意,身高與體重殘差圖,幾點(diǎn)說(shuō)明： 第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高,例2、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為,求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說(shuō)

13、明擬合效果的好壞,解,練習(xí)、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為,求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞,列出殘差表為,0.994,因而，擬合效果較好,0,0.3,0.4,0.1,0.2,4.6,2.6,0.4,2.4,4.4,例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù),試建立y與x之間的回歸方程,解:1)作散點(diǎn)圖,從散點(diǎn)圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能用線性回歸模型來(lái)很好地近似。這些散點(diǎn)更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近,解: 令 則z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出變換后數(shù)據(jù)表并畫 出x與z 的散點(diǎn)圖,x和z之間的關(guān)

14、系可以用線性回歸模型來(lái)擬合,2) 用 y=c3x2+c4 模型,令 ,則y=c3t+c4 ,列出變換后數(shù)據(jù)表并畫出t與y 的散點(diǎn)圖,散點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，因此用線性回歸模型擬合他們的效果不是最好的,非線性回歸方程,二次回歸方程,殘差公式,在此處可以引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題需要注意的問題：對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)，有不同的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析，我們要用最有效的方法分析數(shù)據(jù),現(xiàn)在有三個(gè)不同的回歸模型可供選擇來(lái)擬合紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度數(shù)據(jù)，他們分別是,可以利用直觀（散點(diǎn)圖和殘差圖）、相關(guān)指數(shù)來(lái)確定哪一個(gè)模型的擬合效果更好,這些問題也使用于其他問題,涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想： 模型適用的總體； 模型的時(shí)間性； 樣本的取值范圍對(duì)模型的影響； 模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解,小結(jié),一般地，建立回歸模