壓軸大題突破練(二)直線與圓錐曲線(2

1、壓軸大題突破練（二）直線與圓錐曲線（2）2 XQ1.(2018浙江)如圖，設(shè)橢圓-2+ y = 1(a 1).a（1）求直線y= kx+ 1被橢圓截得的線段長（用a, k表示）；若任意以點A（0, 1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍解（1）設(shè)直線y= kx+ 1被橢圓截得的線段為 AM ,kx+ 1,得(1 + a2k2)x2 + 2a2kx= 0,故 X1 = 0,2a2kX2=廠2,1+ a k因此 |AM|= “ 1 + k2|x1 X2|=22a |k| 2. 21 + a k(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設(shè) y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P,

2、Q,滿足 |AP|= |AQ|.記直線AP, AQ的斜率分別為k1, k2,且 k1, k2 0,峪工 k?.2a2|k1 J1 + k2a2 |k21 + k2由(1)知，|AP|=二 ,|AQ|=7,1 + a k11 + a k22a2|k1| . 1 + k1 2a2|k2. 1 + k2故2 2=2 2,1 + a k11 + a k2所以(k2 k2)1 + k2 + k2 + a2(2 a2)k?k2 = 0.由于 k1* k2, k1, k20 得 1 + k1+ k2 + a2(2 a2)k= 0,因此 k1+ 1k2+ 1 = 1 + a2(a2 2).因為式關(guān)于ki, k

3、2的方程有解的充要條件是1 + a2(a2 2) 1,所以a .2.1 v a 2,得00)交于A,B兩點，且OB= 3,其中O為坐標原點(1)求p的值；當|AM|+ 4|BM|最小時，求直線I的方程解(1)設(shè) A(X1, y1), B(x2, y2),直線I的方程為x= my+ p.fp 2聯(lián)立 x= my+ 2，y = 2px消去 x,得 y2 2pmy p2= 0. 2-y1 + y2 = 2pm, y1y2= p .TOA OB = 3,二 X1X2+ y1y2= 3.2 2y1 y2 x1x2 = 2p2p=2p-4, p_42 2p = 3? p = 4.因此，任意以點 A(0,

4、1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為/ p0, p= 2.p由拋物線定義，得|AM|= X1 + 2 = * + 1,p|BM |= x2+ 2= x2 + 1 , |AM|+ 4|BM |= X1+ 4x2 + 5 2 4x1x2+ 5= 9,當且僅當X1= 4X2時取等號.將 Xi = 4X2 代入 XiX2= p = 1 ,41 得X2 = 2（負值舍去）.1 2將X2 =代入y = 4x,得 y2 = 2，即點 B 2， 土 2 .將點B代入x= my+ 1,得m=晉.直線l的方程為 X=4y + 1,即卩 4x 2y 4= 0.3.已知動點S（x，y）到直線I: x= 2

5、 2的距離是它到點 T（ .2, 0）的距離的,2倍.（1）求動點S的軌跡C的方程；（2）設(shè)軌跡C上一動點P滿足：0P= XDM + 2 QN，其中M , N是軌跡C上的點，直線 0M 與ON的斜率之積為一2,若Q（入”為一動點，E1（烏3, 0）, E2（，0）為兩定點，求|QE1|+ |QE2|的值.解 （1）點S（x, y）到直線x= 2 ,2的距離，是到點T（ 2, 0）的距離的2倍，則|x 2 .2=2 - ； x 2 2+ y2,2 2 化簡得x+專=1.2 2所以軌跡c的方程為x+=1.設(shè) P(x, y), M(X1, y1), N(X2, y2),則 OP = DM + 2pO

6、N,即 x=入 x+ 22, y= Xy+ 22,2 2因為點p, m , n在橢圓x+y = 1上，所以 x1+ 2y1= 4, x2 + 2y2 = 4, x2 + 2y2= 4,故 x2 + 2y2= D(X + 2y1) + 4(i(x2+ 2y2)+ 4 入(X1X2+ 2yy2)2 2=4 入 + 16卩 + 4 入(X1X2+ 2y1y2)= 4,設(shè)koM , koN分別為直線OM , ON的斜率, 由題意知， koM koN=Z= ,X1X22因此 X1X2+ 2yiy2= 0，所以 卡 + 4 i= 1 ,所以點Q是橢圓4=1上的點，而Ei, E2恰為該橢圓的左，右焦點，所以

7、由橢圓的定義可得，|QEi|+ |QE2|= 2.4已知曲線C上任意一點P到兩定點Fi( 1, 0)與F2(1, 0)的距離之和為4.(1)求曲線C的方程；設(shè)曲線C與x軸負半軸交點為 A，過點M( 4, 0)作斜率為k的直線I交曲線C于B、C 兩點(B在M、C之間),N為BC中點. 證明：k kON為定值； 是否存在實數(shù) k,使得F1N丄AC?如果存在，求直線I的方程，如果不存在，請說明理由 .(1) 解 由已知可得：曲線 C是以兩定點F1( 1, 0)和F2(1 , 0)為焦點，長軸長為 4的橢圓， 所以 a= 2, c= 1? b=p孑-c “64 k 12X1X2 =24k + 3 =羽

8、，2 2故曲線C的方程為y + y = 1.43(2) 證明 設(shè)過點M的直線I的方程為y= k(x+ 4),設(shè) B(X1, y1), C(X2, y2)(X2X1).y= k(x+ 4 ,聯(lián)立方程組x2 y2X+A1,2 2 2 2得(4k + 3)x + 32k x+ 64k 12= 0,2 32 k2X1 + x2 =2,4k2+ 3故Xn =X1 + X2216k24k2+ 312kyN= k(XN+ 4) =24k + 33所以 koN = 4k ,3所以k koN = 3為定值.4解 若 FiN丄AC,貝U kAc kFiN= 1, 因為 Fi( 1, 0),12kkF1N =216k2 * 14k24k + 3因為 A(