大學(xué)物理真空中的靜電場(chǎng)

1、第7章 真空中的靜電場(chǎng),本章內(nèi)容,7. 1 電荷 庫(kù)侖定律,7. 2 電場(chǎng) 電場(chǎng)強(qiáng)度e,7. 3 電通量 高斯定理,7. 4 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理 電勢(shì)能,7. 5 電勢(shì) 電勢(shì)差,7. 6 等勢(shì)面 *電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的微分關(guān)系,7. 7 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體 電容,7. 8 靜電能,7.1 電荷 庫(kù)侖定律,7.1.1.電荷,1. 正負(fù)性,2. 量子性,3. 守恒性,在一個(gè)孤立系統(tǒng)中總電荷量不變,4. 點(diǎn)電荷,帶電體的大小、形狀可以忽略,把帶電體視為一個(gè)帶電的幾何點(diǎn),一種理想模型,7.1.2. 庫(kù)侖定律,在真空中兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間的靜電作用力與這兩個(gè)點(diǎn)電荷所帶電量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比，作

2、用力的方向沿著兩個(gè)點(diǎn)電荷的連線,電荷q1 對(duì)q2 的作用力f21,電荷q2對(duì)q1的作用力f12,真空中的介電常數(shù),1) 庫(kù)侖定律適用于真空中的點(diǎn)電荷,2) 庫(kù)侖力滿足牛頓第三定律,3) 電荷之間距離小于 時(shí), 庫(kù)侖定律仍保持有效.至于 大距離方面,雖然未作過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,但也并沒(méi)有特殊的理由 預(yù)料在大距離情況下庫(kù)侖定律將失效,討論,氫原子中電子和質(zhì)子的距離為,解,例,此兩粒子間的電力和萬(wàn)有引力,求,兩粒子間的靜電力大小為,兩粒子間的萬(wàn)有引力為,7.2 電場(chǎng) 電場(chǎng)強(qiáng)度e,7.2.1. 電場(chǎng),場(chǎng)的概念,超距作用,電場(chǎng)的特點(diǎn),1) 對(duì)位于其中的帶電體有力的作用,2) 帶電體在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng), 電場(chǎng)力要作功,

3、7.2.2. 電場(chǎng)強(qiáng)度e,檢驗(yàn)電荷,帶電量足夠小,質(zhì)點(diǎn),在電場(chǎng)中,電荷,電荷,電荷,電荷,電場(chǎng),電場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小等于單位電荷在該點(diǎn)受力的大小，其方向?yàn)檎姾稍谠擖c(diǎn)受力的方向,7.2.3. 電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理,點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng),定義,點(diǎn)電荷系,點(diǎn)電荷系在某點(diǎn)p產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)在該 點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和。這稱(chēng)為電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理,連續(xù)分布帶電體,: 電荷線密度,:電荷面密度,:電荷體密度,p,p,r,求電偶極子在中垂線上一點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度,例,解,p,它在空間一點(diǎn) p 產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。（p點(diǎn)到桿的垂直距離為 a,解,dq,由圖上的幾何關(guān)系,2,1,例,長(zhǎng)為l的均勻帶電直桿，電

4、荷線密度為,求,無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線,討論,圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)p 的電場(chǎng)強(qiáng)度,r,p,解,dq,r,例,半徑為r 的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，帶電量為q,求,由于圓環(huán)上電荷分布關(guān)于x 軸對(duì)稱(chēng),1) 當(dāng) x = 0（即p點(diǎn)在圓環(huán)中心處）時(shí),2) 當(dāng) xr 時(shí),可以把帶電圓環(huán)視為一個(gè)點(diǎn)電荷,討論,求面密度為的圓板軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度,解,p,r,例,r,桿對(duì)圓環(huán)的作用力,q,l,解,r,例,已知圓環(huán)帶電量為q ，桿的線密度為 ，長(zhǎng)為l,求,例,解,相對(duì)于o點(diǎn)的力矩,1,力偶矩最大,力偶矩為零,電偶極子處于穩(wěn)定平衡,2,3,力偶矩為零,電偶極子處于非穩(wěn)定平衡,求電偶極子在均勻電場(chǎng)中受到的力偶矩,討論,7.3.1.電場(chǎng)

5、線（電力線,反映電場(chǎng)強(qiáng)度的分布,任何兩條電場(chǎng)線不會(huì)在沒(méi)有電荷的地方相交,起始于正電荷（或無(wú)窮遠(yuǎn)處），終止于負(fù)電荷（或無(wú)窮遠(yuǎn)處,7.3 電通量 高斯定理,電場(chǎng)線的特點(diǎn),場(chǎng)強(qiáng)方向沿電場(chǎng)線切線方向,場(chǎng)強(qiáng)大小取決于電場(chǎng)線的疏密,靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線不會(huì)形成閉合曲線,dn,7.3.2.電通量,穿過(guò)任意曲面的電場(chǎng)線條數(shù)稱(chēng)為電通量,1.均勻場(chǎng)中ds 面元的電通量,矢量面元,2.非均勻場(chǎng)中曲面的電通量,2) 電通量是代數(shù)量,穿出為正,穿入為負(fù),3. 閉合曲面電通量,方向的規(guī)定,1,穿出、穿入閉合面電力線條數(shù)之差,3) 通過(guò)閉合曲面的電通量,說(shuō)明,7.3.3.高斯定理,q 在任意閉合面內(nèi),e 與曲面的形狀和 q 的位

6、置無(wú)關(guān)的，只與閉合曲面包圍的電荷電量 q 有關(guān),1. 點(diǎn)電荷 q,穿過(guò)球面的電力線條數(shù)為 q/ 0,穿過(guò)閉合面的電力線條數(shù)仍為 q/ 0,q 在球心處,球面電通量為,電通量為,q,q 在閉合面外,2. 多個(gè)電荷,穿出、穿入的電力線條數(shù)相等,任意閉合面電通量為,反映靜電場(chǎng)的性質(zhì),真空中的任何靜電場(chǎng)中，穿過(guò)任一閉合曲面的電通量，等于該曲面所包圍的電荷電量的代數(shù)和乘以,不連續(xù)分布的源電荷,連續(xù)分布的源電荷,有源場(chǎng),電荷就是它的源,意義,是所有電荷產(chǎn)生的; e 只與內(nèi)部電荷有關(guān),3. 高斯定理,與電荷量，電荷的分布有關(guān),與閉合面內(nèi)的電量有關(guān),與電荷的分布無(wú)關(guān),2,3,凈電荷,就是電荷的代數(shù)和,4) 利

7、用高斯定理求解特殊電荷分布電場(chǎng)的思路,1) 靜電場(chǎng)的高斯定理適用于一切靜電場(chǎng),說(shuō)明,分析電荷對(duì)稱(chēng)性,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性取高斯面,根據(jù)高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)度,均勻帶電球面，總電量為q，半徑為r,電場(chǎng)強(qiáng)度分布,q,r,解,取過(guò)場(chǎng)點(diǎn)p的同心球面為高斯面,對(duì)球面外一點(diǎn)p,r,根據(jù)高斯定理,例,求,對(duì)球面內(nèi)一點(diǎn),電場(chǎng)分布曲線,例,已知球體半徑為r，帶電量為q（電荷體密度為,r,解,球外,r,均勻帶電球體的電場(chǎng)強(qiáng)度分布,求,球內(nèi),r,r,電場(chǎng)分布曲線,r,解,電場(chǎng)強(qiáng)度分布具有面對(duì)稱(chēng)性,選取一個(gè)圓柱形高斯面,已知“無(wú)限大”均勻帶電平面上電荷面密度為,電場(chǎng)強(qiáng)度分布,求,例,根據(jù)高斯定理有,已知“無(wú)限長(zhǎng)”均勻帶電直線的電荷

8、線密度為,解,電場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱(chēng)性,過(guò)p點(diǎn)作高斯面,例,距直線r 處一點(diǎn)p 的電場(chǎng)強(qiáng)度,求,根據(jù)高斯定理得,7.4 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理 電勢(shì)能,單個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng),b,a,l,與路徑無(wú)關(guān),o,7.4.1.靜電力的功 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理,1.靜電力的功,q0,電場(chǎng)力做功只與始末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)，所以靜電力是保守力，靜電場(chǎng)是保守場(chǎng),任意帶電體系產(chǎn)生的電場(chǎng),在電荷系q1、q2、的電場(chǎng)中，移動(dòng)q0，靜電力所作功為,a,b,l,q0,q0,結(jié)論,在靜電場(chǎng)中，沿閉合路徑移動(dòng)q0，電場(chǎng)力作功,l1,l2,2. 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理,a,b,1) 環(huán)路定理要求電力線不能閉合,2) 靜電場(chǎng)是有源、無(wú)旋場(chǎng)，可引進(jìn)電

9、勢(shì)能,討論,7.4.2. 電勢(shì)能,電勢(shì)能的差,自 a 點(diǎn)移至 b 點(diǎn)過(guò)程 中電場(chǎng)力所做的功,定義,q0 在電場(chǎng)中a、b 兩點(diǎn) 電勢(shì)能之差,電勢(shì)能,取電勢(shì)能零點(diǎn) w“b” = 0,等于把 q0,q0 在電場(chǎng)中某點(diǎn) a 的電勢(shì)能,1) 電勢(shì)能應(yīng)屬于 q0 和產(chǎn)生電場(chǎng)的源電荷系統(tǒng)所共有,3) 選電勢(shì)能零點(diǎn)原則,2) 電荷在某點(diǎn)電勢(shì)能的值與電勢(shì)能零點(diǎn)有關(guān),而兩點(diǎn)的差值與電勢(shì)能零點(diǎn)無(wú)關(guān),實(shí)際應(yīng)用中取大地、儀器外殼等為勢(shì)能零點(diǎn),當(dāng)(源)電荷分布在有限范圍內(nèi)時(shí)，一般選無(wú)窮遠(yuǎn)處,無(wú)限大帶電體，勢(shì)能零點(diǎn)一般選在有限遠(yuǎn)處一點(diǎn),說(shuō)明,如圖所示, 在帶電量為 q 的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中，有一帶電量為q 的點(diǎn)電荷,解

10、,選無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)能零點(diǎn),q 在a 點(diǎn)和 b 點(diǎn)的電勢(shì)能,求,例,選 c 點(diǎn)為電勢(shì)能零點(diǎn),兩點(diǎn)間的電勢(shì)能差為,7.5 電勢(shì) 電勢(shì)差,電勢(shì)定義,電勢(shì)差,移動(dòng)單位正電荷自該點(diǎn)“勢(shì)能零點(diǎn)”過(guò)程中電場(chǎng)力作的功,移動(dòng)單位正電荷自 ab過(guò)程中電場(chǎng)力作的功,7.5.1. 電勢(shì) 電勢(shì)差,a,r,q,點(diǎn)電荷的電勢(shì),點(diǎn)電荷系的電勢(shì),p,7.5.2. 電勢(shì)疊加原理,對(duì)n 個(gè)點(diǎn)電荷,在點(diǎn)電荷系產(chǎn)生的電場(chǎng)中，某點(diǎn)的電勢(shì)是各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存 在時(shí)，在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和。這稱(chēng)為電勢(shì)疊加原理,對(duì)連續(xù)分布的帶電體,結(jié)論,均勻帶電圓環(huán)半徑為r，電荷線密度為,解,建立如圖坐標(biāo)系，選取電荷元 dq,例,圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電勢(shì),求,半徑

11、為r，帶電量為q 的均勻帶電球體,解,根據(jù)高斯定律可得,求,帶電球體的電勢(shì)分布,例,對(duì)球外一點(diǎn)p,對(duì)球內(nèi)一點(diǎn)p1,求電荷線密度為的無(wú)限長(zhǎng)帶電直線空間中的電勢(shì)分布,解,取無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn),例,取a點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn),a點(diǎn)距離直線為xa,場(chǎng)中任意一點(diǎn)p的電勢(shì)表達(dá)式最簡(jiǎn)捷,離帶電直線的距離,xp,取,7.6 等勢(shì)面 *電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的微分關(guān)系,7.6.1. 等勢(shì)面,電場(chǎng)中電勢(shì)相等的點(diǎn)連成的面稱(chēng)為等勢(shì)面,等勢(shì)面的性質(zhì),1,2)電力線指向電勢(shì)降的方向,3) 等勢(shì)面的疏密反映了電場(chǎng)強(qiáng)度的大小,等勢(shì)面,7.6.2. 電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系,取兩個(gè)相鄰的等勢(shì)面，把點(diǎn)電荷從p移到q，電場(chǎng)力做功為,電場(chǎng)強(qiáng)度的大小等于沿過(guò)

12、該點(diǎn)等勢(shì)面法線方向上電勢(shì)的變化率,某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于該點(diǎn)電勢(shì)梯度的負(fù)值，這就是電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的微分關(guān)系,在直角坐標(biāo)系中,r,求半徑為r,帶電量為q(電荷無(wú)規(guī)則分布)的細(xì)圓環(huán)軸線上任,意一點(diǎn)的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度按軸線的分量,x,例,解,7.7 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體 電容,7.7.1. 導(dǎo)體的靜電平衡,1. 靜電平衡,導(dǎo)體內(nèi)部和表面上任何一部分都沒(méi)有宏觀電荷運(yùn)動(dòng)，我們就說(shuō)導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài),2. 導(dǎo)體靜電平衡的條件,導(dǎo)體表面,1) 從電場(chǎng)角度,2) 從電勢(shì)角度,導(dǎo)體是等勢(shì)體,表面是等勢(shì)面,導(dǎo)體的靜電平衡,1) 靜電平衡導(dǎo)體的內(nèi)部處處不帶電,證明：在導(dǎo)體內(nèi)任取體積元,由高斯定理,體積元任取,導(dǎo)體靜電平衡時(shí)，

13、電荷只能分布在導(dǎo)體表面,3. 靜電平衡導(dǎo)體上電荷的分布,導(dǎo)體中各處,如果有空腔,且空腔中無(wú)電荷,則,如果有空腔,且空腔中有電荷,則,電荷只能分布在外表面,在內(nèi)外表面都分布有電荷,q,導(dǎo)體上的電荷重新分布,2) 靜電平衡導(dǎo)體表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度與導(dǎo)體表面電荷的關(guān)系,設(shè)導(dǎo)體表面電荷面密度為,設(shè) p 是導(dǎo)體外緊靠導(dǎo)體表面的一點(diǎn),相應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為,確定電場(chǎng)強(qiáng)度e 和電荷密度 的關(guān)系,為導(dǎo)體表面附近的場(chǎng)強(qiáng)，是所有電荷產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng),為導(dǎo)體外法線方向,尖端放電,導(dǎo)體球 孤立帶電,4) 靜電屏蔽(腔內(nèi)、腔外的場(chǎng)互不影響,由實(shí)驗(yàn)可得以下定性的結(jié)論,在表面凸出的尖銳部分(曲率是正值且較大)電荷面密度較大，在比較平坦

14、部分(曲率較小)電荷面密度較小，在表面凹進(jìn)部分帶電面密度最小,3) 處于靜電平衡的孤立帶電導(dǎo)體電荷分布,已知導(dǎo)體球殼a帶電量為q ，導(dǎo)體球b帶電量為q,1) 將a接地后再斷開(kāi)，電荷和電勢(shì)的分布,解,a與地?cái)嚅_(kāi)后,q,電荷守恒,2) 再將b接地，電荷和電勢(shì)的分布,a接地時(shí)，內(nèi)表面電荷為-q,外表面電荷設(shè)為,例,求,1,b球球心處的電勢(shì),設(shè)b上的電量為,根據(jù)孤立導(dǎo)體電荷守恒,2,電容只與導(dǎo)體的幾何因素和介 質(zhì)有關(guān)，與導(dǎo)體是否帶電無(wú)關(guān),7.7.2.孤立導(dǎo)體的電容,單位:法拉( f,孤立導(dǎo)體的電勢(shì),孤立導(dǎo)體的電容,q,u,e,求半徑為r 的孤立導(dǎo)體球的電容,電勢(shì)為,電容為,r,通常，由彼此絕緣相距很近的兩導(dǎo)體構(gòu)成電容器,極板,極板,使兩導(dǎo)體極板帶電,兩導(dǎo)體極板的電勢(shì)差,7.7.3. 電容器的電容,電容器的電容,電容器電容的大小取決于極板的形狀、大小、相對(duì)位置以及極板間介質(zhì),d,u,s,q,q,1) 平行板