高教版《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(第3版)》第7講-微分方程ppt課件

1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),微 分 方 程,實(shí)驗(yàn)?zāi)康?實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,2學(xué)會(huì)用MATLAB求微分方程的數(shù)值解,1學(xué)會(huì)用MATLAB求簡(jiǎn)單微分方程的解析解,1求簡(jiǎn)單微分方程的解析解,4實(shí)驗(yàn)作業(yè),2求微分方程的數(shù)值解,3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例,求微分方程的數(shù)值解,一）常微分方程數(shù)值解的定義,二）建立數(shù)值解法的一些途徑,三）用MATLAB軟件求常微分方程的數(shù)值解,返 回,1目標(biāo)跟蹤問題一：導(dǎo)彈追蹤問題,2目標(biāo)跟蹤問題二：慢跑者與狗,3地中海鯊魚問題,返 回,數(shù)學(xué)建模實(shí)例,微分方程的解析解,求微分方程（組）解析解的命令,dsolve(方程1,方程2,方程n,初始條件,自變量,To MATLAB（ff1,結(jié) 果：u = tg

2、(t-c,解 輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x,結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（5x,To MATLAB（ff2,解 輸入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z, Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 將x化簡(jiǎn) y=simple(y) z=simple(z,結(jié) 果 為：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c

3、1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t,To MATLAB（ff3,返 回,微分方程的數(shù)值解,一）常微分方程數(shù)值解的定義,在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜,且大多得不出一般解而實(shí)際中的對(duì)初值問題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式,因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的,返 回,二）建立數(shù)值解法的一些途徑,1用差商代替導(dǎo)數(shù),若步長(zhǎng)h較小，則有,故有公式,此即歐拉法,2使用數(shù)值積分,對(duì)方程y=f(x,y), 兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有,實(shí)際應(yīng)用時(shí)，與歐拉公式結(jié)合使用,此即改進(jìn)的歐拉法,故有公式

4、,3使用泰勒公式,以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫(kù)塔法、線性多步法等方法,4數(shù)值公式的精度,當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為O（hk+1）（其中k為正整數(shù)，h為步長(zhǎng)）時(shí)，稱它是一個(gè)k階公式,k越大，則數(shù)值公式的精度越高,歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式 龍格-庫(kù)塔法有二階公式和四階公式 線性多步法有四階亞當(dāng)斯外插公式和內(nèi)插公式,返 回,三）用MATLAB軟件求常微分方程的數(shù)值解,t，x=solver(f,ts,x0,options,1在解含n個(gè)未知數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，M文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫出,2使用MATLAB軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微

5、分方程組,注意,解: 令 y1=x，y2=y1,1建立M文件vdp1000m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1,2取t0=0，tf=3000，輸入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),3結(jié)果如圖,To MATLAB（ff4,解 1建立M文件rigidm如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3)

6、; dy(3)=-051*y(1)*y(2,2取t0=0，tf=12，輸入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),3結(jié)果如圖,To MATLAB（ff5,圖中，y1的圖形為實(shí)線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線,返 回,導(dǎo)彈追蹤問題,設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1, 0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦如果乙艦以最大的速度v0(常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中,解法一（解析法,由(1),(2)消去t, 整理得

7、模型,To MATLAB(chase1,軌跡圖見程序chase1,解法二(數(shù)值解法,1建立M文件eq1m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x,2 取x0=0，xf=09999，建立主程序ff6m如下： x0=0，xf=09999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b) hold on y=0:001:2; plot(1,y,b*,結(jié)論: 導(dǎo)彈大致在（1，02）處擊中乙艦,To MATLAB(ff6,令y1=y, y2=y1，將方程

8、（3）化為一階微分方程組,解法三(建立參數(shù)方程求數(shù)值解,設(shè)時(shí)刻t乙艦的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t)，導(dǎo)彈的坐標(biāo)為(x(t)，y(t,3因乙艦以速度v0沿直線x=1運(yùn)動(dòng)，設(shè)v0=1，則w=5，X=1，Y=t,4 解導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程,建立M文件eq2m如下： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2,取t0=0，tf=2，建立主程序chase2m如下： t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); Y=0:0

9、01:2; plot(1,Y,-)， hold on plot(y(:,1),y(:,2),*,To MATLAB(chase2,5 結(jié)果見圖1,導(dǎo)彈大致在（1，02）處擊中乙艦，與前面的結(jié)論一致,圖1,圖2,返 回,在chase2m中，按二分法逐步修改tf，即分別取tf=1，05,025,直到tf=021時(shí)，得圖2,結(jié)論：時(shí)刻t=021時(shí)，導(dǎo)彈在（1，021）處擊中乙艦,To MATLAB(chase2,慢跑者與狗,一個(gè)慢跑者在平面上沿橢圓以恒定的速率v=1跑步,設(shè)橢圓方程為: x=10+20cos t, y=20+5sin t 突然有一只狗攻擊他 這只狗從原點(diǎn)出發(fā),以恒定速率w跑向慢跑者,

10、狗的運(yùn)動(dòng)方向始終指向慢跑者分別求出w=20,w=5時(shí)狗的運(yùn)動(dòng)軌跡,1 模型建立,設(shè)t 時(shí)刻慢跑者的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t)，狗的坐標(biāo)為(x(t)，y(t,則 X=10+20cos t, Y=20+15sin t. 狗從(0,0)出發(fā), 與導(dǎo)彈追蹤問題類似，狗的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為,2 模型求解,1) w=20時(shí),建立文件eq3m如下: function dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=20*(20+15*sin

11、(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2,取t0=0，tf=10，建立主程序chase3m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0); T=0:01:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*,在chase3m中，不斷修改tf的值,分別取tf=5, 25, 35,至315時(shí), 狗剛好追上慢跑者,To MATLAB(chase3,建立M文件eq4m如下: function dy=e

12、q4(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)- y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2,取t0=0，tf=10，建立主程序chase4m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq4,t0 tf,0 0); T=0:01:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on

13、 plot(y(:,1),y(:,2),*,在chase3m中，不斷修改tf的值,分別取tf=20, 40, 80, 可以看出,狗永遠(yuǎn)追不上慢跑者,To MATLAB(chase4,2) w=5時(shí),返 回,地中海鯊魚問題,意大利生物學(xué)家Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，從第一次世界大戰(zhàn)期間,地中海各港口幾種魚類捕獲量百分比的資料中，他發(fā)現(xiàn)鯊魚等的比例有明顯增加（見下表），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降顯然戰(zhàn)爭(zhēng)使捕魚量下降，從而食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢,他無法解釋這個(gè)現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家VVolterra，希望建立一個(gè)食餌捕食系統(tǒng)

14、的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個(gè)問題,該 模型反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，沒有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡(jiǎn)單的模型,首先，建立M文件shierm如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-01*x(2); dx(2)=x(2)*(-05+002*x(1,其次，建立主程序sharkm如下： t,x=ode45(shier,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2,To MATLAB(shark,求解結(jié)果,左圖反映了x1（t）與x2（t）的關(guān)系 可以猜測(cè)： x1（t）與x2（t）都是周期函數(shù),模型（二） 考慮人工捕獲,設(shè)表示捕獲能力的系數(shù)為e，相當(dāng)于食餌的自然增長(zhǎng)率由r1 降為r1-e，捕食者的死亡率由r2 增為 r2+e,設(shè)戰(zhàn)前捕獲能力系數(shù)e=03, 戰(zhàn)爭(zhēng)中降為e=01, 則戰(zhàn)前與戰(zhàn)爭(zhēng)中的模型分別為,模型求解,1分別用M文件shier1m和shier2m 定義上述兩個(gè)方程,2建立主程序shark1m求解兩方程，并畫出兩種情況下鯊魚數(shù)在魚類總數(shù)中所占比例 x2(t)/x1(t)+x2(t)的圖形,To M