數(shù)學(xué)奧賽-2(西姆松定理-歐拉線-九點(diǎn)圓

1、西姆松(Simson)定理 西姆松定理說明過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）西姆松定理的逆定理 若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。相關(guān)的結(jié)果有：（1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。 （2）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。 （3）若兩個(gè)三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。（4）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。 證明證明一： ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PEAC于E，PFA

2、B于F，PDBC于D，分別連DE、DF. 易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是FDP=ACP ，（都是ABP的補(bǔ)角） 且PDE=PCE 而ACP+PCE=180 FDP+PDE=180 即F、D、E共線. 反之，當(dāng)F、D、E共線時(shí)，由可見A、B、P、C共圓.證明二： 如圖，若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分別四點(diǎn)共圓，有PBN = PLN = PLM = PCM.故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則PBN = PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂

3、直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有PBN =PLN =PCM=PLM.故L、M、N三點(diǎn)共線。歐拉線 三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。萊昂哈德歐拉于1765年在它的著作三角形的幾何學(xué)中首次提出定理：三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線。他證明了在任意三角形中，以上四點(diǎn)共線。歐拉線上的四點(diǎn)中，九點(diǎn)圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。歐拉線的證法1： 作ABC的外接圓，連結(jié)并延長(zhǎng)BO，交外接圓于點(diǎn)D。連結(jié)AD、CD、AH、CH、OH。作中線AM，設(shè)AM交OH于點(diǎn)G BD是

4、直徑 BAD、BCD是直角 ADAB，DCBC CHAB，AHBC DACH，DCAH 四邊形ADCH是平行四邊形 AH=DC M是BC的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn) OM= 1/2DC OM= 1/2AH OMAH OMG HAGAG/GM=2/1 G是ABC的重心 G與G重合 O、G、H三點(diǎn)在同一條直線上 如果使用向量,證明過程可以極大的簡(jiǎn)化,運(yùn)用向量中的坐標(biāo)法,分別求出O G H三點(diǎn)的坐標(biāo)即可.歐拉線的證法2：設(shè)H,G,O,分別為ABC的垂心、重心、外心。連接AG并延長(zhǎng)交BC于D, 則可知D為BC中點(diǎn)。連接OD ，又因?yàn)镺為外心，所以O(shè)DBC。連接AH并延長(zhǎng)交BC于E,因H為垂心,所以 AEBC

5、。所以O(shè)D/AE，有ODA=EAD。由于G為重心，則GA:GD=2:1。連接CG并延長(zhǎng)交BA于F,則可知D為BC中點(diǎn)。同理，OF/CM.所以有OFC=MCF連接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以DFC=FCA，F(xiàn)DA=CAD，又OFC=MCF，ODA=EAD，相減可得OFD=HCA,ODF=EAC,所以有OFDHCA,所以O(shè)D:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以O(shè)D:HA=GA:GD=2:1又ODA=EAD，所以O(shè)GDHGA。所以O(shè)GD=AGH,又連接AG并延長(zhǎng)，所以AGH+DGH=180,所以O(shè)GD+DGH=180。即O、G、H三點(diǎn)共線。歐拉線的

6、證法3設(shè)H,G,O,分別為ABC的垂心、重心、外心.則向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，向量OG*3=向量OH所以O(shè)、G、H三點(diǎn)共線九點(diǎn)共圓定理九點(diǎn)共圓定理三角形三邊的中點(diǎn)，三條高的垂足，垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)這9點(diǎn)共圓.九點(diǎn)圓是幾何學(xué)史上的一個(gè)著名問題,最早提出九點(diǎn)圓的是英國的培亞敏.俾幾Benjamin Beven.第一個(gè)完全證明此定理的是法國數(shù)學(xué)家彭賽列1788-1867.一位高中教師費(fèi)爾巴哈1800-1834曾研究了九點(diǎn)圓,他的證明發(fā)表在1822年的直邊三角形的一些特殊點(diǎn)的性質(zhì)一文里,文中費(fèi)爾巴哈還獲得了九點(diǎn)圓的一些重要性質(zhì)如下列的性質(zhì)3,故有人稱九點(diǎn)圓為費(fèi)爾巴哈圓. 九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如: 1.三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半; 2.九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn); 3.三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切費(fèi)爾巴哈定理.4.九點(diǎn)圓是一個(gè)垂心組共有的九點(diǎn)圓,所以九點(diǎn)圓共與四個(gè)內(nèi)切圓,十二個(gè)旁切圓相切.5.九點(diǎn)圓心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四點(diǎn)共線且OG=2VG VO=2HO 九點(diǎn)圓圓心的重心坐標(biāo)的計(jì)算跟垂心、外心一樣麻煩。 事先定義的變量與垂心、外心一樣： d1,d2,d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另